Tangente am Kreis berechnen

Tangente am Kreis berechnen Übung

• Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis in dem Punkt $P(2|1)$.

  Tipps

  Du möchtest die Steigung der Geraden berechnen. Dividiere dazu die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten (in der gleichen Reihenfolge).

  Das klingt kompliziert, ist es aber nicht. Schau mal in die Abbildung.

  Die Tangente $t$ steht senkrecht auf der Geraden $g$.

  Für die Steigungen zweier senkrechter Geraden $g$ und $t$ gilt $m_t\cdot m_g=-1$.

  Dazu äquivalent ist $m_t=-\frac1{m_g}$.

  Lösung

  Die Tangentengleichung lautet $t:y=m_tx+n_t$.

  Gesucht ist zuerst die Steigung $m_t$ sowie der y-Achsenabschnitt $n_t$.

  Fangen wir mit der Steigung an:

  Die Tangente $t$ steht senkrecht auf der Geraden $g$. Deshalb muss gelten:

  $m_t=-\frac1{m_g}$.

  Die Steigung $m_g$ der Geraden muss noch berechnet werden:

  $m_g=\frac{1-3}{2-1}=-2$.

  Damit kann die Tangentensteigung berechnet werden:

  $m_t=-\frac1{-2}=\frac12$.

  Somit lautet die bisherige Tangentengleichung $y=\frac12x+n_t$.

  Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, werden die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung eingesetzt:

  $1=\frac12\cdot 2+n_t$.

  Subtraktion von $1$ führt zu $n_t=0$.

  Dann lautet die Tangentengleichung $y=\frac12x$. Der zugehörige Graph ist eine Ursprungsgerade. Diese ist rot in dem Bild zu sehen.

• Ermittle die Geradengleichung der Tangente in Parameterform.

  Tipps

  Nutze die Eigenschaft, dass die Gerade $g$ und die Tangente $t$ senkrecht zueinander sind.

  Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren $0$ ist.

  Den Verbindungsvektor zweier Punkte erhältst du, indem du vom dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.

  Der Stützvektor einer Geraden ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden.

  Welchen Punkt der Tangente kennst du bereits? $P$ wie Pinguin.

  Lösung

  Die Tangente steht senkrecht auf der Geraden $g$ durch $M(2,5|1,5)$ und $P(2|4)$. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor der Tangente senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden steht. Der Richtungsvektor der Geraden ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte $M$ und $P$. Man zieht von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab:

  $\vec{MP}=\begin{pmatrix}-0,5\\2,5\end{pmatrix}$.

  Es muss also gelten:

  $v_x\cdot (-0,5)+v_y\cdot 2,5=0$

  oder äquivalent dazu $v_x=5v_y$. Für $v_y=1$ erhält man somit den Richtungsvektor

  $\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$

  der Tangente. Nun fehlt nur noch der Stützvektor $\vec p$. Dieser ist gerade der Ortsvektor des Punktes $P$, welcher auf der Tangente liegt.

  Somit lautet die Tangentengleichung

  $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$.

• Leite die Gleichung der Tangente $t$ in Koordinatenform her.

  Tipps

  Der Berührpunkt der gesuchten Tangente liegt dem Punkt $P$ im Kreis direkt gegenüber.

  Die Steigungen zweier paralleler Geraden stimmen überein.

  Setze den Berührpunkt in die Tangentengleichung ein.

  Lösung

  Wie hier zu sehen, existiert noch eine weitere Tangente, welche parallel zu $t:y=\frac12x$ verläuft.

  Der Berührpunkt ist $Q(0|5)$ und damit lautet die Gleichung der Geraden $t:y=\frac12x+5$.

  Nur wie kann man diesen Berührpunkt berechnen?

  $Q$ liegt auf der Geraden durch $M$ und $P$. Die Steigung dieser Geraden ist $m_g=-2$. Um den y-Achsenabschnitt zu erhalten, werden die Koordinaten von $P$ oder $M$ in die Geradengleichung eingesetzt:

  $1=-2\cdot 2+n_g$.

  Addition von $4$ führt zu $n_g=5$. Die Geradengleichung lautet also $g:y=-2x+5$.

  Der Punkt $Q$ liegt auf der Gerade und auf dem Kreisrand. Man berechnet also die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis. $P$ kennen wir ja schon, wir suchen also noch $Q$.

  Hierfür setzen wir $g$ in die Kreisgleichung ein:

  \begin{align} (x-1)^2+(y-3)^2 & =\sqrt5^2\\ (x-1)^2+(-2x+5-3)^2 & =5 \end{align}.

  Diese Gleichung kann umgeformt und zusammengefasst werden. Dies führt zu $5x^2-10x=0$, was äquivalent zu $5x(x-2)$ ist. Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist $x=0$ oder $x=2$. Da $x=2$ zu $P$ führt, setzen wir $x=0$ ein und erhalten mit $y=5$ den Punkt $Q(0|5)$.

  Da die beiden Tangenten parallel zueinander sind (die Steigung mit $m_t=\frac12$ also identisch), lautet die Gleichung der oberen Tangente

  $t:y=\frac12x+n_t$.

  Einsetzen der Koordinaten von $Q$ führt zu

  $5=n_t$.

  Damit lautet die Tangentengleichung

  $t:y=\frac12x+5$.

• Stelle die Tangentengleichung auf.

  Tipps

  Die Steigung einer Geraden durch die Punkte $P(p_1|p_2)$ sowie $Q(q_1|q_2)$ ist gegeben durch

  $m=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}$.

  Achte darauf, dass die Reihenfolge in Zähler und Nenner gleich ist.

  Wenn du die Steigung $m_g$ einer Geraden $g$ kennst, erhältst du die Steigung $m_t$ einer dazu senkrechten Geraden $t$ durch

  $m_t=-\frac{1}{m_g}$.

  Sei die Geradengleichung $y=3x+n$ gegeben sowie der Punkt $P(5|7)$ auf dieser Geraden, dann erhältst du den y-Achsenabschnitt wie folgt:

  • Setze $y=7$ auf der linken Seite und
  • $x=5$ für $x$ auf der rechten Seite in die Gleichung ein.

  Das ergibt $7=3\cdot 5+n$. Forme nun diese Gleichung nach $n$ um, indem du $15$ subtrahierst: $n=-8$.

  Die Geradengleichung lautet dann $y=3x-8$.

  Lösung

  Die Steigung der blauen Geraden ist gegeben durch

  $m_g=\frac{1-0}{5-2}=\frac13$.

  Damit ist die Steigung der roten Tangente

  $m_t=-\frac{1}{\frac13}=-3$.

  Damit lautet die Tangentengleichung $y=-3x+n_t$.

  Nun muss noch der y-Achsenabschnitt ermittelt werden. Hierfür werden die Koordinaten des Punktes $P$ in die Tangentengleichung eingesetzt:

  $0=-3\cdot 2+n_t$.

  Addition von $6$ führt zu $n_t=6$ und somit zu der Tangentengleichung

  $y=-3x+6$.

• Zeige die besondere Lage einer Tangente.

  Tipps

  In dem Bild befindet sich die Gerade $g$ durch den Mittelpunkt des Kreises und den Punkt $P$. Diese ist blau eingezeichnet.

  Des Weiteren kannst du zwei Sekanten, eine Tangente und eine Passante erkennen.

  Eine Tangente hat nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam, nämlich $P$.

  Die Tangente steht senkrecht auf der Gerade $g$.

  Lösung

  Wenn man eine Gerade $g$ durch den Mittelpunkt des Kreises und einen Randpunkt des Kreis $P$ zeichnet, dann kann man erkennen, dass die Tangente an den Kreis in dem Punkt $P$ senkrecht auf dieser Geraden steht.

  Damit kann die Steigung der Tangente bestimmt werden, wenn die Steigung der Geraden $g$ bekannt ist.

• Gib die Gleichung der Tangente in Parameterform an.

  Tipps

  Prüfe, ob der Punkt $P(8|0)$ auf der Geraden liegt.

  Der Richtungsvektor der Tangente muss senkrecht zu dem Verbindungsvektor $\vec{MP}$ sein.

  Es ist

  $\vec{MP}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Die Tangente steht senkrecht auf der Geraden, die durch die Punkte $M$ und $P$ verläuft. Deren Richtungsvektor ist

  $\vec{MP}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.

  Der Richtungsvektor der Tangente muss senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen. Somit ist

  $\vec v=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$

  ein Richtungsvektor der Tangente.

  Tipp: Vertausche die Koordinaten und wechsle bei einer Koordinate das Vorzeichen, um einen senkrechten Vektor zu finden.

  Nun fehlt nur noch der Stützvektor $\vec p$. Dieser ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Tangente, zum Beispiel $P(8|0)$.

  Somit lautet eine mögliche Tangentengleichung

  $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

  Für $r=-8$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $Q(0|-24)$, der natürlich ebenso auch Stützvektor der Tangente sein kann:

  $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -24 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.