Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen

Du kannst den Scheitelpunkt einer Funktion mit Nullstellen bestimmen. Verstehe den Zusammenhang zwischen Nullstellen und dem Scheitelpunkt, lerne die drei verschiedenen Fälle kennen und wie du den Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktform berechnest. Neugierig? Lies weiter!

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bereit für eine echte Prüfung?

Das Scheitelpunkt mit Nullstellen berechnen Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Lerntext zum Thema Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen

Die Bedeutung des Scheitelpunkts für eine quadratische Funktion

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt und dieser ist der höchste oder tiefste Punkt des Funktionsgraphen. Daher versucht man häufig, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden. Falls eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen: Die Funktion f(x)=(x5)2+3{f(x)=(x{-}5)^{2}+3} hat z. B. den Scheitelpunkt S(53)S(5\vert 3). Wenn die Parabel in der Normalform bzw. der allgemeinen Form gegeben ist (z. B. f(x)=2x2+12x+18{f(x)=2x^{2}+12x+18}), muss man zuerst einige Rechenschritte durchführen, um den Scheitelpunkt zu finden.

Hier lernst du ein Verfahren kennen, mit dem du den Scheitelpunkt bestimmen kannst, ohne die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion zu verwenden. Dabei wirst du auch wiederholen, wie man Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnet, und dein Wissen zur pqpq-Formel auffrischen.

Der Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt

Um das Rechenverfahren anwenden zu können, müssen wir zuerst den Zusammenhang zwischen den Nullstellen und dem Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen verstehen. Dazu schauen wir uns die Abbildung an und erkennen, dass es drei verschiedene Fälle gibt.

Nullstellen und Scheitelpunkte von Parabeln

  • Fall 1 (die roten Graphen): Wenn es genau eine Nullstelle gibt, dann liegt der Scheitelpunkt auf der xx-Achse.
  • Fall 2 (die blauen Graphen): Wenn es zwei Nullstellen gibt, dann liegt der Scheitelpunkt unterhalb der xx-Achse bei einer nach oben geöffneten Parabel und oberhalb der xx-Achse bei einer nach unten geöffneten Parabel.
  • Fall 3 (die grünen Graphen): Wenn es keine Nullstellen gibt, dann liegt der Scheitelpunkt oberhalb der xx-Achse bei einer nach oben geöffneten Parabel und unterhalb der xx-Achse bei einer nach unten geöffneten Parabel.

In der Regel hast du nur einen Funktionsterm und keinen Graphen gegeben und weißt zu Beginn noch nicht, welcher Fall zutrifft. Das ist kein Problem: Du beginnst in jedem Fall damit, den Funktionsterm gleich null zu setzen und die Nullstellen zu berechnen. Danach bestimmst du, welcher Fall eintritt.

Bestimme als Erstes die Nullstellen der Funktion (f(x)=0f(x)=0) und überlege dann, um welchen der drei Fälle es sich handelt.

Fall 1: eine Nullstelle – Scheitelpunkt auf der Achse

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion f(x)=2x2+12x+18f(x)=2x^{2}+12x+18.

Setze den Funktionsterm gleich null und bringe die Gleichung in Normalform (Division durch den Koeffizienten vor x2x^{2}):

2x2+12x+18=0:22x^{2}+12x+18=0 \quad \vert :2

x2+6x+9=0x^{2}+6x+9=0

Wende anschließend die pqpq-Formel an:

x1,2=62±(62)29=3±99=3±0=3±0x_{1,2}=-\frac{6}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{6}{2}\right )^{2}-9}=-3 \pm \sqrt{9-9}=-3 \pm \sqrt{0}=-3 \pm 0

    x=3\implies x=-3

Da die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) gleich null ist, haben wir nur eine Nullstelle bei x=3x=-3.

Wenn du eine Nullstelle erhältst, bedeutet das, dass der Scheitelpunkt auf der xx-Achse liegt und als xx-Koordinate den Wert der Nullstelle hat. Der Scheitelpunkt hat also die xx-Koordinate x=3x=-3 und die yy-Koordinate y=0y=0. Zur Bestimmung der yy-Koordinate kannst du als Probe x=3x=-3 in den Funktionsterm einsetzen: f(3)=2(3)2+12(3)+18=0{f(-3)=2\cdot(-3)^{2}+12\cdot (-3)+18=0}. Der Scheitelpunkt lautet S(30){S(-3\vert 0)}.

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2+20x100f(x)=-x^{2}+20x-100.

Wir setzen f(x)=0f(x)=0, formen die Gleichung um und wenden die pqpq-Formel an:

x2+20x100=0(1)-x^{2}+20x-100=0 \quad \vert \cdot (-1)

x220x+100=0x^{2}-20x+100=0

x1,2=202±(202)2100=10±102100=10±0x_{1,2}=-\frac{-20}{2}\pm \sqrt{(\frac{-20}{2})^{2}-100}=10\pm \sqrt{10^{2}-100}=10\pm 0

    x=10\implies x=10

Es gibt eine Nullstelle bei x=10x=10 und der Scheitelpunkt liegt bei S(100){S(10\vert 0)}.

Wenn eine quadratische Funktion eine Nullstelle xnx_n hat, dann liegt der Scheitelpunkt der Parabel auf der xx-Achse und hat die Koordinaten S(xn0)S(x_n\vert 0).

Fall 2: zwei Nullstellen – Scheitelpunkt liegt zwischen den Nullstellen

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion f(x)=x214x+45f(x)=x^{2}-14x+45.

Setze den Funktionsterm gleich null und wende die pqpq-Formel an:

x214x+45=0x^{2}-14x+45=0

x1,2=142±(142)245=+7±(7)245=+7±4=+7±2x_{1,2}=-\frac{-14}{2}\pm \sqrt{(\frac{-14}{2})^{2}-45}=+7 \pm \sqrt{(-7)^{2}-45}=+7 \pm \sqrt{4}=+7 \pm 2

    x1=9 und x2=5\implies x_1=9 \text{ und } x_2=5

Wenn du zwei Nullstellen erhältst und die Parabel nach oben geöffnet ist, bedeutet das, dass der Scheitelpunkt unterhalb der xx-Achse liegt. Mithilfe der Nullstellen können wir die xx-Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden, wenn wir uns daran erinnern, dass jede Parabel symmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitelpunkt ist. Somit muss die xx-Koordinate in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegen. Wir können ihn mit der Formel für den Mittelwert bzw. mit dem arithmetischen Mittel berechnen:

xS=x1+x22=5+92=142=7x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7

Die 77 liegt genau in der Mitte zwischen 55 und 99, das ist die xx-Koordinate des Scheitelpunkts.

Die yy-Koordinate erhalten wir durch Einsetzen in den Funktionsterm: f(7)=72147+45=4{f(7)=7^{2}-14\cdot 7+45=-4}

Der Scheitelpunkt liegt bei S(74){S(7\vert -4)}.

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion f(x)=14x2+12x+34{f(x)=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}.

Wir setzen f(x)=0f(x)=0, formen die Gleichung um und wenden die pqpq-Formel an:

14x2+12x+34=0(4)-\frac {1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} =0 \quad \vert \cdot (-4)

x22x3=0x^{2}-2x-3=0

x1,2=22±(22)2(3)=1±1+2=1±2x_{1,2}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-2}{2}\right )^{2}-(-3)}=1\pm \sqrt{1+2}=1\pm 2

    x1=3 und x2=1\implies x_1=3 \text{ und } x_2=-1

Es gibt zwei Nullstellen und die xx-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei x=3+(1)2=22=1x=\frac{3+(-1)}{2}=\frac{2}{2}=1.

Berechnung der yy-Koordinate: f(1)=1412+121+34=1{f(1)=-\frac {1}{4}\cdot 1^{2}+\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{3}{4}=1}

Der Scheitelpunkt liegt bei S(11){S(1\vert 1)}.

Wenn eine quadratische Funktion zwei Nullstellen x1x_1 und x2x_2 hat, dann liegt die xx-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel aus Symmetriegründen zwischen den beiden Nullstellen: xS=x1+x22{x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(xSf(xS)){S(x_S\vert f(x_S))}.

Fall 3: keine Nullstellen – Konstruktion einer Hilfsgeraden

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion f(x)=x24x+7f(x)=x^{2}-4x+7.

Wir setzen f(x)=0f(x)=0, formen die Gleichung um und wenden die pqpq-Formel an:

x24x+7=0x^{2}-4x+7=0

x1,2=42±(42)27=2±3x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-7}=2\pm \sqrt{-3}

Da die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, die keine Nullstellen hat. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der xx-Achse. Um trotzdem Schnittstellen zu bekommen, schneiden wir die Parabel mit einer Geraden, die parallel zur xx-Achse verläuft. Für diese waagerechte Hilfsgerade verwenden wir immer das Absolutglied (die konstante Zahl ohne xx). Für den allgemeinen Funktionsterm f(x)=ax2+bx+c{f(x)=ax^2+bx+c} lautet die Hilfsgerade y=cy=c. In diesem Fall schneiden wir also die Parabel mit der Geraden y=7y=7. In der Abbildung siehst du die Parabel und Hilfsgerade im Koordinatensystem.

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen

Um die Schnittstellen rechnerisch zu bestimmen, setzen wir beide Funktionsterme gleich und formen die Gleichung in Normalform (auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens muss 00 stehen):

x24x+7=77x^{2}-4x+7=7 \quad \vert -7

x24x=0x^{2}-4x= 0

Jetzt kann man ausklammern oder die pqpq-Formel anwenden:

x1,2=42±(42)20=2±4=2±2x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-0}=2\pm \sqrt{4}=2\pm 2

    x1=4 und x2=0\implies x_1=4 \text{ und } x_2=0

Wie in Fall 2 liegt jetzt die xx-Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den beiden Schnittstellen und wir berechnen sie mit dem arithmetischen Mittel:

xS=x1+x22=4+02=42=2x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2

Die yy-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen wir durch Einsetzen:

f(2)=2242+7=3f(2)=2^{2}-4\cdot 2+7=3

Der Scheitelpunkt liegt bei S(23)S(2\vert 3).

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion f(x)=12x24x9f(x)=-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9.

Berechnung der Nullstellen:

12x24x9=0(2)-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9=0 \quad \vert \cdot (-2)

x2+8x+18=0x^{2}+8x+18=0

x1,2=82±(82)218=4±4x_{1,2}=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^{2}-18}=-4\pm \sqrt{-4}

     keine Lo¨sung\implies\text{ keine Lösung}

Wir berechnen die Schnittstellen mit der Hilfsgeraden y=9y=-9, indem wir die Funktionsterme gleichsetzen, die Gleichung in Normalform bringen und dann die pqpq-Formel anwenden:

12x24x9=9+9-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9=-9 \quad \vert+9

12x24x=0(2)-\frac {1}{2}x^{2}-4x=0 \quad \vert \cdot (-2)

x2+8x=0x^{2}+8x=0

x1,2=82±(82)2=4±16=4±4x_{1,2}=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^{2}}=-4\pm \sqrt{16}=-4\pm 4

    x1=0 und x2=8\implies x_1=0 \text{ und } x_2=-8

Berechnung der xx-Koordinate des Scheitelpunkts mit dem arithmetischen Mittel:

xS=x1+x22=0+(8)2=82=4x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+(-8)}{2}=\frac{-8}{2}=-4

Berechnung der yy-Koordinate des Scheitelpunkts durch Einsetzen:

f(4)=12(4)24x(4)9=1f(-4)=-\frac {1}{2}\cdot(-4)^{2}-4x\cdot (-4)-9=-1

Der Scheitelpunkt liegt bei S(41)S(-4\vert -1).

Wenn eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat, kann man die Schnittstellen der Parabel und einer zur xx-Achse waagerechten Geraden y=cy=c berechnen. Die xx-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel liegt aus Symmetriegründen zwischen den beiden Schnittstellen: xS=x1+x22{x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(xSf(xS)){S(x_S\vert f(x_S))}.

Teste dein Wissen zum Thema Scheitelpunkt mit Nullstellen berechnen!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen – Zusammenfassung

Schaue dir die drei Fälle und unsere Beispielaufgaben in der Tabelle an und vergleiche auch mit der Abbildung zur Fallunterscheidung.

Fall Funktion Nullstellen Scheitelpunkt Besonderheit
1 a f(x)=2x2+12x+18f(x)=2x^{2}+12x+18 x=3x=-3 S(30){S(-3\vert 0)} Der Scheitelpunkt liegt auf der xx-Achse.
1 b f(x)=x2+20x100{f(x)=-x^{2}+20x-100} x=10x=10 S(100){S(10\vert 0)}
2 a f(x)=x214x+45f(x)=x^{2}-14x+45 x1=9 und x2=5x_1=9 \text{ und } x_2=5 S(74){S(7\vert -4)} Die xx-Koordinate des Scheitelpunkts liegt zwischen den Nullstellen.
2 b f(x)=14x2+12x+34{f(x)=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}} x1=3 und x2=1x_1=3 \text{ und } x_2=-1 S(11){S(1\vert 1)}
3 a f(x)=x24x+7f(x)=x^{2}-4x+7 keine S(23)S(2\vert 3) Der Scheitelpunkt kann durch Schnitt mit einer Hilfsgeraden y=cy=c gefunden werden.
3 b f(x)=12x24x9f(x)=-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9 keine S(41)S(-4\vert -1)

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
Bewertung

Ø 3.6 / 11 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
sofatutor Team
Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.256

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

7.684

Lernvideos

37.128

Übungen

32.366

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden