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Runden rückwärts

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Team Digital
Runden rückwärts
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Runden rückwärts

Inhalt

Was ist Runden rückwärts?

Stell dir vor, in einem Regal stehen ungefähr $2\,000$ Paar Schuhe. Wie viele könnten das genau sein? Um das zu verstehen, müssen wir rückwärts runden. In Mathe meint man damit, dass wir von gerundeten Zahlen darauf schließen, welche tatsächlichen Zahlen zu diesen Rundungen geführt haben können. Um zu verstehen, wie das geht, gehen wir schrittweise vor und erinnern uns zuerst an das Runden in Mathe:

Beim Runden geben wir eine Zahl nicht auf die Einer genau, sondern nur ungefähr an. Je nachdem welche Zahl gerundet wird, entscheidet sich, an welcher Stelle man sinnvoll rundet. Wir beginnen mit der Anzahl von $3\,471$ Konfettiflocken als Beispiel. Da niemand die einzelnen Flöckchen zählt, genügt es, ihre Anzahl ungefähr zu kennen: $3\,471$ Flocken sind ungefähr $3\,500$ Flocken. Das schreiben wir so auf:

$3\,471 \approx 3\,500$

Wie sind wir auf die gerundete Zahl gekommen? Um das zu verstehen, nehmen wir die Stellenwerttafel zu Hilfe. Jede Ziffer einer Zahl gehört zu einem Stellenwert. Die Ziffer ganz rechts sind die Einer, links daneben stehen die Zehner, dann die Hunderter und Tausender. Beim Runden wählen wir zuerst eine Stelle aus, auf die wir runden. In unserem Beispiel runden wir auf Hunderter. Zum Runden auf eine Stelle ist die nächstkleinere Stelle entscheidend. Die Rundungsregeln besagen: Ist die Ziffer der nächstkleineren Stelle $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$, so wird abgerundet. Das bedeutet: Wir behalten die Ziffer der zu rundenden Stelle und ersetzen die Ziffern aller kleineren Stellen durch $0$. Ist die Ziffer der nächstkleineren Stelle aber $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, so runden wir auf. Dabei erhöhen wir die Ziffer der zu rundenden Stelle um $1$ und ersetzen die Ziffern aller kleineren Stellen durch $0$.

Runden rückwärts mit dem Stellenwertsystem

Beim Runden rückwärts geht es darum zu verstehen, welche nicht gerundeten Zahlen zu einer gerundeten Zahl passen. Wir schauen uns die gerundete Zahl an und bestimmen zuerst die Stelle, auf die gerundet wurde. Das ist meistens die erste Stelle von rechts, an der keine Null steht.

Bei der Angabe von ungefähr $10$ Autos ist $10$ die gerundete Zahl. Es wurde auf Zehner gerundet, denn die Zehnerstelle ist die erste Stelle, an der keine Null steht. Welche Zahlen passen zu der Rundung $10$? Ist die gerundete Zahl $10$ durch Abrunden entstanden, so ist die Zahl, deren Rundung $10$ ist, größer als $10$. Welches ist die größtmögliche Zahl, die zu $10$ abgerundet wurde? Dazu betrachten wir die Einerstelle, also die nächstkleinere Stelle als diejenige, auf die gerundet wurde. Damit abgerundet wurde, musste an der Einerstelle eine Ziffer zwischen $0$ und $4$ stehen. Die größtmögliche Ziffer ist $4$. Daher ist die größtmögliche Zahl mit der Rundung $10$ die Zahl $14$.

Und welches ist die kleinstmögliche Zahl mit dieser Rundung? In diesem Fall suchen wir die kleinste Zahl, die gerade noch zu $10$ aufgerundet wurde. Diese Zahl ist also kleiner als $10$. Wir betrachten wieder die Einerstelle. Aufgerundet wurde genau dann, wenn die Ziffer der Einerstelle zwischen $5$ und $9$ liegt. Die kleinstmögliche Ziffer ist $5$, daher ist die kleinstmögliche Zahl, die auf $10$ aufgerundet wird, die Zahl $5$.

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Wir haben herausgefunden: Genau die Zahlen zwischen $5$ und $14$ haben beim Runden auf Zehner die Rundung $10$. Ungefähr $10$ Autos können also zwischen $5$ und $14$ Autos sein.

Wie rundet man rückwärts?

Um das oben Erklärte zu üben, schauen wir uns für das Runden rückwärts Beispiele an und beschreiben die einzelnen Schritte. Stehen in einem Regal ungefähr $2\,000$ Paar Schuhe, so wurde die Anzahl vermutlich auf Tausender gerundet. Denn die Ziffern aller kleineren Stellen sind $0$. Die entscheidende Stelle für das Runden auf Tausender ist die Hunderterstelle. Kam die Zahl $2\,000$ durch Abrunden zustande, so muss an der Hunderterstelle vor dem Abrunden eine Zahl zwischen $0$ und $4$ gestanden haben. Die maximal mögliche Zahl, die zu $2\,000$ abgerundet wurde, finden wir, indem wir an die Hunderterstelle die Ziffer $4$ schreiben. Denn $4$ ist die größte Ziffer, die noch abgerundet wird. Für das Runden auf Tausender sind die kleineren Stellen als die Hunderterstelle nicht entscheidend. Die Ziffern dieser Stellen sind also unbestimmt. Um die größtmögliche Zahl zu finden, wählen wir für diese Stellen jeweils die größtmögliche Ziffer, also $9$. Wir erhalten die Zahl $2\,499$; dies ist die maximal mögliche Zahl, die zu $2\,000$ abgerundet wird.

Die Zahl $2\,000$ kann aber auch durch Aufrunden zustande gekommen sein. Wir suchen nun die minimal mögliche Zahl, die zu $2\,000$ aufgerundet wird. Ist die Zahl $2\,000$ das Ergebnis des Aufrundens, so wurde die Ziffer der Tausenderstelle dabei um $1$ erhöht. Die Ziffer der Tausenderstelle war also vor dem Aufrunden nicht $2$, sondern $1$. Die entscheidende Stelle für das Aufrunden ist wieder die Hunderterstelle. An dieser Stelle muss eine Ziffer zwischen $5$ und $9$ gestanden haben, sonst wäre die Zahl nicht aufgerundet worden. Die kleinstmögliche Ziffer, bei der aufgerundet wird, ist $5$. Die gesuchte kleinstmögliche Zahl hat also an der Hunderterstelle die Ziffer $5$. Die Ziffern der kleineren Stellen sind unbestimmt, denn sie sind für das Runden nicht entscheidend. Wir wählen daher jeweils die kleinstmögliche Ziffer, also $0$. Die minimal mögliche Zahl mit der Rundung $2\,000$ ist demnach die Zahl $1\,500$.

  • Jede Zahl von $1\,500$ bis $2\,499$ hat beim Runden auf Tausender die Rundung $2\,000$.

Rückwärts runden mit Übertrag

Welche möglichen Zahlen führen zu der Rundung $100$? Hier wurde vermutlich auf Hunderter gerundet. Wurde abgerundet, so hatte die Zehnerstelle höchstens die Ziffer $4$. Die Hunderterstelle hatte dann denselben Wert wie nach der Rundung, also $1$. Auf die Einerstelle schreiben wir die größtmögliche Ziffer, also $9$. Die maximal mögliche Zahl mit der Rundung $100$ ist also $149$. Wurde zu $100$ aufgerundet, so war die Ziffer der Hunderterstelle um $1$ kleiner als bei der gerundeten Zahl, also $0$. Die Ziffer der Zehnerstelle war dann zwischen $5$ und $9$. Die kleinstmögliche Ziffer der Zehnerstelle war demnach $5$. Die Einerstelle ist wieder frei, hier wählen wir die kleinstmögliche Ziffer, also $0$. Die minimal mögliche Zahl mit der Rundung $100$ ist demnach die Zahl $50$. Bei dieser Rundung erhöht sich also die Zahl der Stellen: Die Zahl $50$ hat nur zwei Stellen, die Rundung $100$ hat drei Stellen.

  • Jede Zahl von $50$ bis $149$ hat beim Runden auf Hunderter die Rundung $100$.

Wir schauen uns noch ein Beispiel an, bei dem nicht auf die größte Stelle gerundet wurde. Die Zahl $3\,280\,000\,00$ wurde wahrscheinlich auf die Zehntausenderstelle gerundet, denn dies ist wieder die erste Stelle, an der nicht die Ziffer $0$ steht. Entscheidend für die Rundung ist die Tausenderstelle. Für den maximalen Wert beim Rückwärtsrunden setzen wir also die Tausenderstelle auf $4$ und alle kleineren Stellen auf $9$. Den Wert der höheren Stellen verändern wir nicht. Die maximale Zahl der Rückwärtsrundung ist also $3\,284\,999\,99$. Für den minimalen Wert reduzieren wir die Ziffer der Zehntausenderstelle um $1$ zu $7$. Die Tausenderstelle setzen wir auf $5$ und alle kleineren Stellen auf $0$. Die minimale Zahl der Rückwärtsrundung ist also $3\,275\,000\,00$.

  • Jede Zahl von $3\,275\,000\,00$ bis $3\,284\,999\,99$ hat beim Runden auf Zehntausender die Rundung $3\,280\,000\,00$.

Dieses Video über Runden rückwärts

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie du von gerundeten Zahlen auf diejenigen Zahlen schließen kannst, die gerundet wurden. In dem Video werden mehrere Beispiele erläutert. Ergänzend gibt es interaktive Übungen, in denen du das Runden rückwärts selbst ausprobieren kannst.

Transkript Runden rückwärts

Minnie Müller ist ziemlich reich und so äh hübsch - obwohl sie nur etwa 100 Schönheits-OPs hatte. Sie erzählt übrigens äußerst gerne von ihren ungefähr 2000 Schuhpaaren. Welches ihrer circa 10 Autos sie wohl heute nehmen wird? Circa 10 Autos?! Ungefähr 2000 Paar Schuhe? Etwa 100 OPs? Wie viele es in Wahrheit sein könnten, finden wir heraus mit runden - und zwar rückwärts. Weißt du noch, wie das mit dem Runden funktioniert? Beim Runden geben wir eine Zahl ungefähr an. Zum Beispiel können wir sagen, 3471 Konfettiflocken wären ungefähr 3500. Für das Runden helfen uns die Stellenwerte der Zahl. Bei der 3471 haben wir beispielsweise auf Hunderter gerundet und uns dafür die nächstkleinere Stelle angeguckt. Hier ist das die Zehnerstelle. Die Regel zum Runden besagt: Liegt der Wert der kleineren Stelle zwischen 0 und 4, runden wir ab. Wenn er zwischen 5 und 9 liegt, runden wir auf. Hier wird wegen der 7 aufgerundet. Dabei erhöht sich die Hunderter-Stelle um 1. Alle kleineren Stellen werden auf Null gesetzt und die größere Stelle wird einfach übernommen. Die gerundete Zahl erkennst du immer am Ungefähr-Zeichen. Das alles wollen wir nun umdrehen! Was könnte denn mit "circa 10 Autos" gemeint sein? Minnie wird vermutlich auf Zehner gerundet haben. Wenn sie abgerundetet hat, muss die ursprüngliche Zahl dabei größer als 10 gewesen sein. Lass uns nun die maximal mögliche Zahl dafür suchen. Da beim Runden die nächstkleinere Stelle relevant ist, betrachten wir den Einer. Die mögliche Einer-Stelle muss vor dem Abrunden etwas zwischen 4 und 0 gewesen sein. Für die maximal mögliche Zahl wählen wir die 4. Beim abrunden ändert sich die zu rundende Stelle nicht, beim Rückwärts-Abrunden also auch nicht. Maximal kommen wir so auf 14 Autos. Und wenn sie aufgerundet hat? - Dafür suchen wir die minimal mögliche Anzahl an Autos! Wir wählen beim Einer möglichst kleine Ziffern - beim Aufrunden aus den Ziffern 9 bis 5 also die 5. Lass uns überlegen: Beim Aufrunden auf Zehner erhöht sich die Zehner-Stelle ja immer um Eins. Dann muss sich beim rückwärts-Aufrunden der Zehner also um Eins verringern. So kommen wir auf mindestens 5 Autos. Da hat Minnie mit ihren wahrhaften 6 Autos ja ganz schön aufgerundet. Und welche Zahl könnte hinter den "ungefähr 2000 Schuhpaaren" stecken? Minnie hat vermutlich auf Tausender gerundet, da alle kleineren Stellen Null sind. Vielleicht hat Minnie abgerundet. Überlegen wir uns also die maximal mögliche Zahl. Die Hunderter-Stelle muss vor dem Abrunden zwischen 4 und 0 gelegen haben. Für die maximal mögliche Zahl wählen wir die 4. Bei dem Zehner und dem Einer können wir ganz frei zwischen 0 und 9 wählen, da diese Stellen für das Runden auf tausender egal sind. Also nehmen wir jeweils die größtmögliche Ziffer - die 9. Die größere Stelle übernehmen beim rückwärts abrunden einfach wieder. Minnie kann maximal 2499 Schuhpaare besitzen! Und wenn sie auf Tausender aufgerundet hat? Für die minimal mögliche Zahl wählen wir für den Hunderter aus den Ziffern 9 bis 5 wieder die 5. Bei dem Zehner und dem Einer können wir ebenfalls frei zwischen 0 und 9 wählen. Wir wählen jeweils die kleinstmögliche Ziffer - die 0. Den Tausender müssen wir beim rückwärts Aufrunden wieder um Eins verringern. 1500 ist demzufolge die minimal mögliche Zahl, die aufgerundet auf Tausender 2000 ergibt. Wetten, dass Minnie in Wahrheit nicht mehr als 1503 Schuhpaare besitzt?! Und ihre etwa 100 Schönheits-OPs? Bei denen hat sie sicherlich auf Hunderter gerundet. Wurde abgerundet, hatte die Zehner-Stelle gemäß der Regel höchstens den Wert 4. Da der Einer für das Runden auf Hunderter unwichtig ist, wählen wir für ihn die größtmögliche Ziffer, die 9 und erhalten maximal 149 OPs. Hoffen wir für Minnie, dass sie aufgerundet hat. Gemäß der Regel ist der kleinstmögliche Wert für die Zehner-Stelle eine 5. Setzen wir dann noch den Einer auf Null und ziehen von dem Hunderter 1 ab, erhalten wir 50. Das klingt gleich viel gesünder! Wie viel Geld sie dafür wohl ausgegeben hat? Rund 3 Millionen und 280 Tausend Euro?! Bei den ganzen Nullen ist die Zahl vermutlich auf Zehntausender gerundet. Für den maximalen Wert setzen wir die Tausender-Stelle auf 4, übernehmen den Zehntausender sowie alle größeren Stellen und setzen alle kleineren Stellen auf 9. Berücksichtigen wir auch die Centbeträge, also die Zehntel- und Hundertstel-Stelle, kommen wir auf 3.284.999,99 €. Für die minimal mögliche Zahl setzen wir an die Tausender-Stelle eine 5 und ziehen vom Zehntausender 1 ab. So erhalten wir einen Mindest-Preis von 3.275.000,00 €. Trotz allem genießt Minni ihr Leben rundum. Meistens jedenfalls!

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Ich dachte zuerst dass die Nase 👃 wirklich abgeflogen ist 😱😱
    Und das wär wirklich etwas ekelhaft
    Aber als ich mir das dann nochmal angeguckt habe hab Ichs dann kapiert
    Cool gemacht
    Aber irgendwie tut mir Mimi leid weil sie kann doch nichts dafür

    Von Kati, vor etwa 2 Monaten
  2. war super einfach!

    Von Lusy , vor 10 Monaten
  3. Super hilfreich. Danke

    Von Anonym, vor 10 Monaten
  4. Arme Mimi❗️

    Von Yufei, vor mehr als einem Jahr
  5. Frag ich mich auch

    Von Fortinite@ila@babaje, vor mehr als einem Jahr
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Runden rückwärts Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Runden rückwärts kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die minimale und maximale Anzahl.

    Tipps

    Zum Runden auf Hunderter ist die Zehnerstelle ausschlaggebend für das Auf- bzw. Abrunden.

    $749$ ist die größte Zahl, die beim Runden auf Hunderter $700$ ergibt.

    Rundet man $6543$ auf Hunderter, so ergibt sich $6500$, beim Runden auf Tausender $7000$.

    Lösung

    Beim Runden rückwärts suchst du die kleinste und größte mögliche Zahl, die die vorgegebene gerundete Zahl ergeben. Beim Runden auf eine bestimmte Stelle, z.B. Hunderter, musst du die Stellenwerte der nächstkleineren Stelle, im Beispiel Zehner, berücksichtigen. Stellenwerte zwischen $0$ und $4$ werden abgerundet, Stellenwerte zwischen $5$ und $9$ aufgerundet. Die kleinste mögliche Zahl, die noch aufgerundet wird, hat daher an der relevanten Stelle den Stellenwert $5$, an den kleineren Stellen jeweils den Stellenwert $0$. Die größte mögliche Zahl, die noch abgerundet wird, hat an der relevanten Stelle den Stellenwert $4$, an allen kleineren Stellen den Stellenwert $9$.

    Die Zahl „ungefähr $10$“ hat Mini auf Zehner gerundet. Hat sie dabei abgerundet, so liegt die tatsächliche Zahl zwischen $10$ und $14$. Ist „ungefähr $10$“ eine aufgerundete Zahl, so liegt die tatsächliche Zahl zwischen $5$ und $9$.

    Mini besitzt ungefähr $2000$ Paar Schuhe. Die Anzahl hat sie auf Tausender gerundet. Zum Runden auf Tausender ist der Stellenwert der nächstkleineren Stelle entscheidend, d.h. der Stellenwert der Hunderter. Liegt dieser zwischen $0$ und $4$, so darf Mini abrunden. Liegt der Stellenwert zwischen $5$ und $9$, so darf sie aufrunden.

    Die kleinste Zahl, die auf Tausender gerundet $2000$ ergibt, hat die Tausenderstelle $1$ und die Hunderterstelle $5$. Die kleineren Stellen haben jeweils den Stellenwert $0$. Die Zahl ist also $1500$: So viele Paar Schuhe muss Mini mindestens besitzen, um behaupten zu können, es seien ungefähr $2000$.

    Die größte Zahl, die auf Tausender gerundet $2000$ ergibt, hat die Tausenderstelle $2$ und die Hunderterstelle $4$. Die Stellenwerte der kleineren Stellen sind $9$. Die Zahl ist also $2499$: So viele Paar Schuhe darf Mini höchstens besitzen, um behaupten zu können, es seien ungefähr $2000$.

  • Benenne die Rundungsregeln.

    Tipps

    Die Zahl $14$ wird auf Zehner zu $10$ gerundet.

    Beim Runden auf Zehner gibt die Einerstelle darüber Aufschluß, ob Du auf- oder abrunden musst.

    Die Zahl $1499$ wird auf Tausender zu $1000$ abgerundet.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Zahl $1.500$ ist die kleinste Zahl, die auf Tausender gerundet $2.000$ ergibt.“ Denn $1.499$ würde auf Tausender abgerundet $1.000$ ergeben.
    • „Durch Abrunden wird eine Zahl nicht größer.“ Beim Abrunden werden Zahlen verkleinert.
    • „Beim Runden auf Hunderter wird die Hunderterstelle beibehalten oder vergrößert.“ Liegt der Wert der Zehnerstelle zwischen $0$ und $4$, so wird abgerundet, der Wert der Hunderterstelle bleibt also erhalten. Auf Hunderter aufgerundet wird dann, wenn der Stellenwert der Zehnerstelle zwischen $5$ und $9$ liegt. Beim Aufrunden auf Hunderter wird der Wert der Hunderterstelle um $1$ erhöht.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Beim Runden auf Hunderter ist die Zehnerstelle und die Einerstelle dafür entscheidend, ob auf- oder abgerundet wird.“ Entscheidend ist nur der Wert der nächstkleineren Stelle, beim Runden auf Hunderter also der Wert der Zehnerstelle.
    • „Rundet man $2.499$ auf Tausender, so ergibt sich $3.000$.“ Der Wert der Hunderterstelle ist $4$, daher wird auf $2.000$ abgerundet.
    • „Liegt die Zehnerstelle einer Zahl zwischen $5$ und $9$, so wird auf Zehner aufgerundet.“ Zum Runden auf Zehner ist der Wert der Einerstelle entscheidend.
    • „Die Zahl $1.500$ ergibt auf Tausender gerundet $2.500$.“ Beim Aufrunden auf Tausender werden die Werte aller kleineren Stellen auf $0$ gesetzt. Rundet man $1.500$ auf Tausender, so ergibt sich $2.000$.
  • Erschließe die maximale oder minimale Zahl.

    Tipps

    Die Zahl $349$ wird auf Hunderter zu $300$ gerundet, die Zahl $350$ aber zu $400$.

    Überlege zuerst, welche Stellen die gerundeten sein können.

    Die Zahl $1.300$ kann auf Zehner oder auf Hunderter gerundet worden sein.

    Lösung

    Beim Runden rückwärts suchst du die kleinste und größte mögliche Zahl, die beim Runden eine vorgegebene Zahl ergeben. Beim Runden auf Hunderter musst du die Stellenwerte der nächstkleineren Stelle, also der Zehner berücksichtigen. Stellenwerte zwischen $0$ und $4$ werden abgerundet, Stellenwerte zwischen $5$ und $9$ aufgerundet. Die kleinste mögliche Zahl, die auf Hunderter noch aufgerundet wird, hat an der Zehnerstelle den Stellenwert $5$, an der Einerstelle den Stellenwert $0$. Die größte mögliche Zahl, die auf Hunderter noch abgerundet wird, hat an der Zehnerstelle den Stellenwert $4$, an der Einerstelle den Stellenwert $9$.

    Auf welche Stelle gerundet wurde, kann man der gerundeten Zahl nicht immer ansehen. Man kann es aber erschließen, wenn man die möglichen kleinsten oder größten Zahlen zu der gerundeten Zahl kennt.

    Mit diesen Überlegungen erhalten wir folgende Paare:

    • $38.400$ ist auf Hunderter gerundet. Die größte mögliche Zahl ist $38.449$.
    • $17.000$ hat auf Tausender gerundet die minimale Zahl $16.500$.
    • $16.500$ hat beim Runden auf Hunderter die maximal mögliche Zahl $16.549$.
    • $38.500$ hat beim Runden auf Hunderter die minimal mögliche Zahl $38.450$.
    • $16.400$ wurde auf Zehner gerundet, die maximal mögliche Zahl ist $16.404$. Wäre auf Hunderter gerundet, so wäre die maximal mögliche Zahl $16.449$, die minimal mögliche Zahl $16.350$. Diese beiden Zahlen kommen aber in der Auswahl gar nicht vor.
  • Bestimme die minimale und maximale Zahl zu einer gerundeten Zahl.

    Tipps

    Beachte, dass man der gerundeten Zahl nicht direkt ansieht, auf welche Stelle sie gerundet wurde.

    Die Zahl $302.000$ kann auf Zehner, Hunderter oder Tausender gerundet sein.

    Die minimale Zahl zu $302.000$ beim Runden auf Hunderter ist $301.950$, beim Runden auf Tausender aber $301.500$.

    Lösung

    Beim Runden rückwärts suchst du die kleinste bzw. größte mögliche Zahl, die durch das Auf- oder Abrunden die gegebene Zahl liefert. Der gerundeten Zahl selbst sieht man aber evtl. nicht an, auf welche Stelle sie gerundet wurde. Rundet man z.B. die Zahl $456$ auf Hunderter, so ergibt sich $500$. Die Zahl $500$ tritt aber auch auf, wenn man $495$ auf Zehner rundet.

    Beim Runden rückwärts muss man daher entweder wissen, auf welche Stelle gerundet wurde oder die Stelle aus den maximal oder minimal möglichen Zahlen erschließen.

    Für die hier angegebenen gerundeten Zahlen ergeben sich folgende Zuordnungen:

    • $5.000$ hat beim Runden auf Tausender die minimal mögliche Zahl $4.500$ und die maximal mögliche Zahl $5.499$. Die minimalen bzw. maximalen Zahlen beim Runden auf andere mögliche Stellen (Zehntausender, Hunderter, Zehner) kommen hier nicht vor.
    • $5.400$ hat auf Hunderter gerundet die minimal mögliche Zahl $5.350$ und die maximal mögliche Zahl $5.449$.
    • $5.490$ kann nur auf Zehner gerundet sein. Die minimale Zahl ist $5.485$, die maximale $5.494$.
    • $5.500$ könnte auf Zehner oder Hunderter gerundet worden sein. Tatsächlich wurde auf Zehner gerundet: Die minimal mögliche Zahl ist $5.504$, die maximal mögliche $5.495$. Die Rundung auf Hunderter scheidet aus, weil die zugehörigen minimalen und maximalen Zahen hier nicht vorkommen.
  • Beschreibe das Runden rückwärts.

    Tipps

    Beim Runden einer Stelle ist die nächstkleinere Stelle dafür ausschlaggebend, ob auf- oder abgerundet wird.

    Beim Runden auf Tausender wird die Tausenderstelle höchstens um $1$ erhöht.

    Die Zahl $7654$ auf Zehner gerundet ist $7650$, auf Hunderter gerundet $7700$.

    Lösung

    Beim Runden musst du die Stellenwerte der Zahlen berücksichtigen. Auf Hunderter zu runden bedeutet, den Stellenwert der Einerstelle und der Zehnerstelle auf $0$ zu setzen. Liegt die Zehnerstelle zwischen $0$ und $4$, so wird abgerundet. Das bedeutet: Der Stellenwert der Hunderter bleibt gleich. Liegt der Stellenwert der Zehnerstelle zwischen $5$ und $9$, so wird aufgerundet. Das bedeutet: Der Stellenwert der Hunderterstelle wird erhöht.

    Hat Mini Müller ihre Ausgaben von $3.280.000$ Euro auf Zehntausender abgerundet, so muss der Stellenwert der Tausenderstelle der tatsächlichen Zahl zwischen $0$ und $4$ liegen. Die maximal mögliche Zahl ist dann $3.284.999$. Ist aber $3.280.000$ eine auf Zehntausender aufgerundete Zahl, so haben die tatsächlichen Kosten die Zehntausenderstelle $7$ und eine Tausenderstelle zwischen $5$ und $9$. Die minimal mögliche solche Zahl ist $3.275.000$.

  • Analysiere die Aussagen zum Runden rückwärts.

    Tipps

    Die maximal mögliche Zahl zu $345.000$ beim Runden rückwärts auf Hunderter ist $345.049$, beim Runden auf Tausender aber $345.499$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Rundet man eine Zahl einmal auf Hunderter und einmal auf Zehner, so ist die auf Hunderter gerundete Zahl größer als die auf Zehner gerundete Zahl.“ So ergibt z.B. die Zahl $345$ beim Runden auf Hunderter $300$, beim Runden auf Zehner aber $350$.
    • „Um die Zahl $345$ auf Hunderter zu runden, kann man erstmal auf Zehner runden und dann die gerundete Zahl auf Hunderter runden.“ Rundet man $345$ auf Hunderter, so ergibt sich $300$. Rundet man zuerst auf Zehner, so ergibt sich $350$. Würde man nun noch $350$ auf Hunderter runden, so käme man auf $400$.
    • „Die Differenz der maximalen zur minimalen Zahl beim Runden auf Hunderter beträgt $100$.“ Die Differenz der maximal und minimal möglichen Zahlen zu einer gerundeten Zahl hat als Stellenwert überall $9$, wäre hier also $99$. Denn die maximale Zahl zu $400$ beim Runden auf Hunderter ist $449$, die minimale $350$ und $449 - 350 = 99$. Das Analoge gilt für jede solche Differenz der maximal und minimal möglichen Zahlen beim Runden auf eine feste Stelle.
    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Die minimale Zahl zu $70.400$ beim Runden auf Hunderter ist $70.350$, beim Runden auf Zehner aber $70.395$.“ Minimal ist $70.395$ beim Runden auf Zehner, denn $70.394$ würde bereits zu $70.390$ abgerundet. Für das Runden auf Hunderter aber ist $70.350$ minimal, denn $70.349$ würde auf Hunderter zu $70.300$ abgerundet.
    • „Die Differenz der maximalen zur minimalen Zahl beim Runden auf Tausender beträgt $999$.“ Die Differenz der maximal zur minimal möglichen Zahl ist stets die Zahl mit Stellenwert $9$ auf allen Stellen.
    • „Wurde die Zahl $6.500$ auf Hunderter gerundet, so ist die minimal mögliche Zahl beim Runden rückwärts kleiner als beim Runden rückwärts auf Zehner.“ Beim Runden auf Hunderter ist $6.450$ minimal, beim Runden auf Zehner ist es $6.495$.
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