Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen

Quadratische Ungleichungen lösen – mit Hilfe von Äquivalenzumformungen Übung

• Gib an, welcher Ausdruck eine lineare oder quadratische Ungleichung ist.

  Tipps

  Eine lineare Gleichung kann in der Form $b\cdot x + c = 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$ angegeben werden. Wie könnte also eine lineare Ungleichung dargestellt werden?

  Eine quadratische Gleichung kann in der Form $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ mit $a, b, c \in\mathbb{R}$ und $a \neq 0 $ angegeben werden. Welche „Bauart” besitzt also eine quadratische Ungleichung?

  Lösung

  Lineare Ungleichungen haben die Form $b\cdot x + c < 0$ oder $b\cdot x + c > 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$. $c$ darf also auch den Wert Null annehmen. Um die linearen Ungleichungen zu finden, musst du dir also nur die „Bauform” der gegebenen Ausdrücke anschauen. Es kommen als lineare Ungleichungen also nur die folgenden Ungleichungen infrage:

  • $4\cdot x + 2 > 0$
  • $x > 0$
  • $0,5\cdot x - 0,6 < 0$
  • $9\cdot x - 2 > 0$
  • $5\cdot x - 0,75 > 0$

  Quadratische Ungleichungen besitzen die Form $a\cdot x^2 + b\cdot x + c < 0$ oder $a\cdot x^2 + b\cdot x + c > 0$ mit $a, b, c \in\mathbb{R}$ und $a \neq 0$. $b$ oder $c$ können den Wert Null annehmen. Die quadratischen Ungleichungen sind damit:

  • $x^2 + 3\cdot x + 7 < 0$
  • $4\cdot x^2 - 2\cdot x > 0$
  • $x^2 < 0$
  • $-2\cdot x^2 > 0$
  • $8\cdot x^2 + 7\cdot x - 9 > 0$

• Gib die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung an.

  Tipps

  Bei Intervallen entsprechen runde Klammern immer offenen Intervallen. $x\in (2;4)$ bedeutet, dass $x$ eine Zahl zwischen $2$ und $4$ annimmt. Das bedeutet, dass $2$ und $4$ nicht zur Lösungsmenge gehören. Das Gleiche gilt für die eckigen Klammern, die nach außen zeigen. $x\in ]2;4[$

  Bei Intervallen entsprechen eckige Klammern die nach innen zeigen, immer geschlossenen Intervallen. $x\in [2;4]$ bedeutet, dass $x$ eine Zahl zwischen $2$ und $4$ einschließlich annimmt. $2$ und $4$ gehören zur Lösungsmenge.

  Diese Lösungsmenge entspricht allen reellen Zahlen außer den Zahlen $2$ und $4$.

  Die Lösungen der Ungleichung sind diejenigen Zahlen $x$, für die die beiden Ungleichungen $x > 4$ und $x < 2$ gelten. Die Lösungsmenge besteht also aus allen Zahlen, die größer als $4$ und kleiner als $2$ sind.

  Lösung

  Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $-2\cdot x^2 + 12\cdot x - 16 < 0$ bestimmen.

  1. Im ersten Schritt teilen wir die Ungleichung durch $-2$, damit wir $1$ als Vorfaktor von $x^2$ erhalten. Also:

  $\begin{align} -2\cdot x^2+12\cdot x-16&<0 \quad &|& :(-2)\\ \Leftrightarrow x^2-6\cdot x+8&>0 \end{align}$

  Wichtig: Da wir durch eine negative Zahl dividieren, dreht sich das Relationszeichen um. Aus dem Kleiner $<$ wird ein Größer $>$. Jetzt fassen wir die Ungleichung als Gleichung auf, d.h. wir betrachten $x^2 - 6\cdot x + 8 = 0$. Von dieser quadratischen Gleichung können wir mit Hilfe der p-q-Formel die Lösungen bestimmen. Dabei ist $p = - 6$ und $q = 8$.

  $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\frac{(-6)^2}{4}-8}\\ &=3\pm \sqrt{9-8}\\ &=3\pm 1 \end{align}$

  Folglich sind $x_1=4$ $\vee$ $x_{2}=2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 - 6\cdot x + 8 = 0$.

  2. Im zweiten Schritt faktorisieren wir die Gleichung. Wir erhalten:

  $\begin{align} x^2-6\cdot x+8=0 \Leftrightarrow (x-4)\cdot (x-2)=0 \end{align}$

  3. Nun machen wir im dritten Schritt aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit $(x - 4)\cdot (x - 2) > 0$. Ein Produkt ist bekanntlich echt größer als Null, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.

  4. Somit betrachten wir im vierten Schritt den Fall $1$ mit:

  $\begin{align} x-4&>0~~\wedge~~x-2>0 \\ \Leftrightarrow x&>4~~\wedge ~~x>2 \end{align}$

  und den Fall $2$ mit

  $\begin{align} x-4&<0 ~~\wedge ~~ x-2<0 \\ \Leftrightarrow x&<4~~\wedge ~~x<2 \end{align}$

  Aus dem ersten Fall folgt $x > 4$, da immer die größere Einschränkung auch beide Ungleichungen erfüllt. Aus dem zweiten Fall folgt $x < 2$.

  5.Wir erhalten im letzten Schritt die Lösungsmenge:

  $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-\infty;2[} \cup {]4;\infty[} \} \end{align}$.

• Berechne die Lösungsmenge der gegebenen quadratischen Ungleichung.

  Tipps

  Fasse die Ungleichung als Gleichung auf und löse sie zum Beispiel mit der p-q-Formel.

  Was sind die Lösungen dieser Gleichung?

  Es ist $x^2 - 3\cdot x - 10 = (x - 2)\cdot (x - 5)$.

  Zum Beispiel stellt $x > 3$ und $x < -1$ einen Widerspruch dar, da daraus $3 < x < -1$ folgt und es existiert keine reelle Zahl $x$, die größer als $3$ und gleichzeitig kleiner als $-1$ ist.

  Lösung

  Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $x^2 - 3\cdot x - 10 < 0$ bestimmen.

  1. Wir fassen die Ungleichung zunächst als Gleichung auf, d.h. wir betrachten $x^2 - 3\cdot x - 10 = 0$. Von dieser quadratischen Gleichung können wir mit Hilfe der p-q-Formel die Lösungen bestimmen. Dabei ist $p = - 3$ und $q = - 10$.

  $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ &=-\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\frac{(-3)^2}{4}-(-10)}\\ &=1{,}5\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{40}{4}}\\ &=1{,}5\pm \frac{7}{2}\\ &=1{,}5\pm 3{,}5 \end{align}$

  Folglich sind $x_1 = 1,5 + 3,5 = 5$ und $x_2 = 1,5 – 3,5 = - 2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 - 3\cdot x – 10 = 0$.

  2. Nun faktorisieren wir die Gleichung und erhalten:

  $\begin{align} x^2-3\cdot x-10=0 \Leftrightarrow (x-5)\cdot (x+2)=0 \end{align}$

  3. Jetzt machen wir aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit

  $\begin{align} (x - 5)\cdot (x + 2)<0. \end{align}$

  4. Ein Produkt ist bekanntlich echt kleiner als Null, wenn einer der beiden Faktoren negativ und der andere Faktor positiv ist.

  Somit betrachten wir den Fall $1$

  $\begin{align} x-5>0 ~~&\wedge~~ x+2<0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x>5 ~~&\wedge~~x<-2 \end{align}$

  und den Fall $2$

  $\begin{align} x-5<0 ~~&\wedge~~ x+2>0\\ \Leftrightarrow \quad\quad x<5 ~~&\wedge~~x>-2 \end{align} $

  Aus dem ersten Fall folgt $5 < x < - 2$, was für keine Zahl $x$ stimmen kann. Der zweite Fall wird daher die Lösungsmenge liefern. Es folgt $- 2 < x < 5$.

  5. Die Lösungsmenge ist damit

  $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-2;5[} \} \end{align}$

• Ermittle die richtige Reihenfolge zur Bestimmung der Lösungsmenge.

  Tipps

  Bringe die Ungleichung zuerst in die Form, dass vor dem x² eine 1 als Faktor steht.

  Ungleichungen können nach einer Variablen äquivalent umgeformt werden.

  Die dritte binomischen Formel lautet:

  $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

  Hier siehst du die Anwendung der dritten binomischen Formel:

  $x^2-9=(x+3)\cdot(x-3)$.

  Lösung

  1. Wir wollen die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung -3$\cdot$x² + 3 < 0 bestimmen. Im ersten Schritt teilen wir die Ungleichung durch -3, da wir den Vorfaktor 1 vor dem x² brauchen. Also:

  $\begin{align} -3\cdot x^2+3&<0 \quad |:(-3)\\ \Leftrightarrow \quad \quad x^2-1&>0 \end{align}$

  Wichtig hierbei ist: Da wir durch eine negative Zahl dividieren, wechselt das Relationszeichen seine Richtung.

  2. Wir fassen die Ungleichung zunächst als Gleichung auf, d.h. wir betrachten x² - 1 = 0. Nun sollte dir auffallen, dass du die dritte Binomische Formel anwenden kannst, denn es gilt

  $\begin{align}x² - 1 = (x - 1)\cdot(x + 1) = 0.\end{align}$.

  Damit haben wir die Gleichung bereits faktorisiert.

  3. Jetzt machen wir aus der Gleichung wieder eine Ungleichung und erhalten damit

  $\begin{align}(x - 1)\cdot(x + 1) > 0.\end{align}$.

  4. Ein Produkt ist bekanntlich echt größer als Null, wenn beide Faktoren entweder negativ oder positiv sind. Somit betrachten wir den Fall 1

  $\begin{align} x-1>0 ~~&\wedge~~ x+1>0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x>1 ~~&\wedge~~ x>-1\\ \end{align}$

  und den Fall 2

  $\begin{align} x-1<0 ~~&\wedge~~ x+1<0\\ \Leftrightarrow \quad \quad x<1 ~~&\wedge~~ x<-1\\ \end{align} $

  Aus dem ersten Fall folgt x > 1 und der zweite Fall liefert x < - 1. Die Lösungsmenge beinhaltet also alle reellen Zahlen x, die echt kleiner als - 1 und echt größer als 1 sind. Das sind dann also alle Zahlen, die nicht zum abgeschlossenen Intervall [-1,1] gehören.

  5. Damit ist die Lösungsmenge

  $\begin{align} \mathbb{L}=\{x~|~x\in {]-\infty;-1[} \cup {]1;\infty[} \}. \end{align}$

• Vervollständige den Lückentext.

  Tipps

  Die beiden Ungleichungen 4$\cdot$x < 0 und 4$\cdot$x > 0 sind verschieden voneinander, da die Richtungen der Relationszeichen verschieden sind.

  Die linke Ungleichung wurde mit einer Äquivalenzumformung zu der rechten Ungleichung umgeformt.

  Lösung

  Lineare Ungleichungen lassen sich in der Form $ b\cdot x + c < 0$ oder $ b\cdot x + c > 0$ mit $b, c \in\mathbb{R}$ und $b \neq 0$ angeben. Bei quadratischen Ungleichungen kommt lediglich der Summand $a\cdot x^2$ hinzu. Dabei kann nun auch $b = 0$ sein, jedoch muss $a \neq 0$ gelten.

  Eine Gleichung oder eine Ungleichung kann man außerdem in der Art verändern, dass deren Wertigkeit bestehen bleibt. Dabei handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.

  Die vier bekannten Rechenoperationen $+$,$-$,$\cdot$ und $:$ sind Äquivalenzumformungen. Allerdings ist bei Ungleichungen zu beachten, dass sich bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Relationszeichen „umdreht”, d.h. aus „<” wird „>” und aus „>” wird „<”.

• Prüfe für welche x-Werte negative Funktionswerte entstehen.

  Tipps

  Dies ist der Graph der verschobenen Normalparabel. Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x)=y = x² - 2$.

  Die Ungleichung x² - 2 < 0 ist zu lösen.

  Die dritte Binomische Formel kann hilfreich sein.

  Lösung

  1. Der Scheitelpunkt der Normalparabel ist bei $S (0|-2)$. Folglich ist $f(x) =y= x^2 - 2$ die Funktionsgleichung. Wir wollen die Frage beantworten, für welche x-Werte negative Funktionswerte entstehen, d.h. welche x-Werte erfüllen $f(x) < 0$?

  2. Wir betrachten daher $x^2 - 2 < 0$. Hier lässt sich die dritte Binomische Formel anwenden, womit wir $x^2 - 2$ direkt faktorisieren können.

  $\begin{align} (x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2}) < 0 \end{align}$

  3. Das Produkt ist echt kleiner als Null, weshalb ein Faktor positiv und der andere Faktor negativ sein muss. Somit entstehen zwei Fälle.

  Fall 1:

  $\begin{align} x+\sqrt{2} > 0 \quad&\wedge\quad x-\sqrt{2} < 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x > -\sqrt{2} \quad&\wedge\quad x < \sqrt{2} \end{align}$

  Fall 2:

  $\begin{align} x+\sqrt{2} < 0 \quad&\wedge\quad x-\sqrt{2} > 0 \\ \Leftrightarrow \quad\quad x < -\sqrt{2} \quad&\wedge\quad x > \sqrt{2} \end{align}$

  Aus Fall 1 lässt sich $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ folgern. Fall 2 liefert mit $\sqrt{2} < x < -\sqrt{2}$ einen Widerspruch, da es keine reelle Zahl x gibt, die echt größer als $\sqrt{2}$ und gleichzeitig echt kleiner als $-\sqrt{2}$ ist.

  4. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{ x~|~x\in {\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)} \}$, d.h. alle x-Werte aus dem offenen Intervall von $-\sqrt{2}$ bis $+\sqrt{2}$ besitzen negative Funktionswerte.