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Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften 04:06 min

Textversion des Videos

Transkript Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

Hallo, in diesem Video geht es um eine bestimmte Art von Potenzfunktion, von denen ihr bestimmt alle schon mal etwas gehört habt, nämlich um die Parabeln. Das sind erst mal Potenzfunktionen. Potenzfunktionen ordnen jeder Zahl eine Potenz dieser Zahl zu. Also dem Wert x wird zum Beispiel x² zugeordnet oder x3 oder x4 und so weiter. Ich habe hier mal ein paar Beispiele. Und wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl ist, dann spricht man eben von einer Parabel. Und es ist sinnvoll die Parabeln zu unterteilen, nach geraden und ungeraden Exponenten. Und wir werden auch gleich sehen warum. Wir schauen uns nämlich mal die Graphen der Funktionen an. Links nehmen wir die mit geradem Exponenten und rechts die mit ungeraden Exponenten. Fangen wir an mit der Parabel f(x) = x², die geht durch die Punkte 1 und 1, -1 und 1, 0 und 0, 2 und 4 und -2 und 4. Also sieht so der Graph aus. Der Graph der Parabel 4ten Grades verläuft ein bisschen steiler, zwischen 1- und 1 liegt er unterhalb der Normalparabel x² und außerhalb des Intervalls -1 und 1 liegt er oberhalb der Normalparabel. Das setzt sich dann bei x6 so fort. Je größer die Hochzahl ist, desto steiler wird der Graph. Der Graph der Parabel x3 geht durch den Ursprung, durch den Punkt -1 und -1, und durch den Punkt 1 und 1. Und hier ist der linke Arm der Parabel quasi nach unten geklappt. Weil -×-×-, (-)3, immer Minus ergibt. Also negative Zahlen haben auch einen negativen Funktionswert. Der Graph von x5 geht auch durch den Ursprung, den Punkt 1 und 1 und den Punkt -1 und -1. Und verläuft ein bisschen steiler als der von x3. Das heißt im Intervall -1 und 1 ist er auch wieder näher an der x Achse dran und außerhalb dieses Intervalls ist er weiter von der x Achse weg. Und der Graph von x7 ist natürlich noch steiler. Okay. Und wir wollen uns jetzt von diesen Funktionen ein paar typische Eigenschaften anschauen. Nämlich Definitionen zum Wertebereich, Symmetrie und Monotonie. So und die Terme x² und x4 und so weiter kann ich jede Zahl einsetzen, die ich will, deswegen gehören alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich. Die Funktionswerte sind aber alle positiv, weil ja bei geraden Exponenten keine negative Zahl rauskommen kann. Das heißt die positiven reellen Zahlen und die 0 sind der Wertebereich. In diese Terme hier kann ich auch jede reelle Zahl einsetzen und hier erhalte ich positive und negative Funktionswerte. Also ist ganz R der Wertebereich. Die Parabeln mit gerader Ordnung sind alle achsensymmetrisch und die mit ungerader Ordnung sind alle punktsymmetrisch zum Ursprung. Die geraden Parabeln sind außerdem monoton fallend, für negative x Werte und monoton steigend für positive x Werte. Die ungeraden Parabeln die sind über einem Definitionsbereich monoton steigend. So jetzt fassen wir noch einmal zusammen. Die Parabeln n-ter Ordnung sind also Potenzfunktionen, bei denen der Exponent n eine natürliche Zahl ist. Das hier waren unsere Beispiele. Und die Funktion f(x) = x² heißt Normalparabel. Außerdem gehen alle Parabeln n-ter Ordnung durch den Ursprung und durch den Punkt 1 und 1. Das sieht man hier auch an den Graphen. Okay, da sind wir schon am Ende des Videos angelangt und beim nächsten Mal geht es um Potenzfunktionen, bei denen die Hochzahl eine negative ganze Zahl ist. Die heißen dann Hyperbeln. Bis dahin.

33 Kommentare
  1. Hallo Muellers,
    Danke für den Hinweis. Die Aufgabe wurde entsprechend angepasst.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 25 Tagen
  2. Das Video war meiner Meinung nach sehr gut und alles wurde verständlich erklärt! Nur bei der Übung gibt es ein paar Kritikpunkte. 1.: bei der 3. Aufgabe kann man die Werte nicht genau ablesen, wie zum Beispiel beim letzten Beispiel. Ich glaube nicht, dass irgendjemand auf diesen Graphen schaut und sich denkt: „Aha, bei dem x-Wert ist der y-Wert also 5,0625!“ Das zu sehen oder zu erraten ist unmöglich.
    2.: Bei der 4. Aufgabe konnte ich das Bild mit den Graphen zuerst nicht sehen doch nachdem ich einmal eine Aufgabe zurück und dann wieder dorthin gegangen bin hat es schon geklappt, also nichts weiter schlimmes.

    Von Muellers, vor 26 Tagen
  3. Hallo S Meyer Resende,
    Beides ist richtig, man muss sich nur ganz genau ausdrücken:

    Für jede Parabel mit geradem Exponenten gilt, dass sie fällt UND steigt (ein- und dieselbe Parabel).
    Eine Parabel mit ungeradem Exponenten ist entweder komplett steigend oder komplett fallend (niemals Beides gleichzeitig).

    Ich hoffe, es ist nun klarer. Viel Erfolg. Steve.

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  4. Habe eine Frage:In dem Video sind die Parabeln mit ungeraden Exponenten fallend und steigend, in der Aufgabe 2 steht jedoch, dass allein Parabeln mit geraden Exponenten fallend und steigend sind. Habe ich etwas falsch verstanden? Sonst fand ich das Video nämlich super. :)

    Von S Meyer Resende, vor 2 Monaten
  5. Nach Verringerung der Geschwindigkeit sehr verständlich und strukturiert. Habe es verstanden

    Von Pkuehnhackl, vor fast 2 Jahren
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Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Potenzfunktion ist.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für eine Potenzfunktion:

    $f(x)=x^2$.

    Hier siehst du den Graphen der obigen Funktion $f(x) = x^2$.

    Dieser spezielle Graph wird auch Normalparabel genannt.

    Der Graph von $f(x) = x^n$ ist immer dann eine Parabel, wenn $n$ eine natürliche Zahl ist.

    Lösung

    Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion hat die Form $f(x)=x^n$.

    Eine Potenzfunktion ordnet also jeder Zahl eine Potenz dieser Zahl zu.

    Der Name kommt daher, dass die Variable $x$ in der Basis steht und potenziert wird.

    Hier siehst du einige Beispiele für Potenzfunktionen:

    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=x^3$
    • Auch $f(x)=x$ ist eine Potenzfunktion.
    Wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist, werden die zugehörigen Funktionsgraphen als Parabeln bezeichnet.

    Es gibt auch Potenzfunktionen, bei denen der Exponent keine natürliche Zahl ist:

    • $f(x) = x^{0,5}$
    • $f(x) = x^{-3}$
    • ...
  • Bestimme die Eigenschaften der Funktionen.

    Tipps

    Wenn eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert wird, ist das Ergebnis eine positive Zahl. Hier siehst du ein Beispiel:

    $(-4)^2=16$.

    Der Wertebereich beinhaltet alle möglichen Werte, welche die Funktion annehmen kann.

    Hier siehst du den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3$.

    Ein Punkt $P(x|y)$ liegt auf dem Funktionsgraphen der Funktion $f$, wenn $y=f(x)$ gilt.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um Potenzfunktionen. Diese haben die Form $f(x) = x^n$. Etwas genauer geht es um die unterschiedlichen Eigenschaften von Potenzfunktionen, die davon abhängen, ob $n$ gerade oder ungerade ist.

    Gerade Exponenten

    Schau dir diese Funktionen etwas genauer an:

    $f(x)=x^2;~f(x)=x^4;~f(x)=x^6;~...$

    Im Folgenden siehst du eine Liste von Eigenschaften, die für diese Funktionen zutreffen:

    • Du kannst für $x$ jede Zahl einsetzen. Das bedeutet, dass der Definitionsbereich dieser Funktionen die Menge der reellen Zahlen ist. Es gilt $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
    • Wenn du eine Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst, ist das Ergebnis immer positiv oder $0$. Das bedeutet, dass der Wertebereich $\mathbb{W}=\mathbb{R^+_0}$ ist.
    • Die Funktionsgraphen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    • Alle Parabeln haben die Punkte $P(−1|1)$, $O(0|0)$ und $R(1|1)$ gemeinsam.
    • Für negative $x$ ist der Funktionsgraph streng monoton fallend und für positive $x$ streng monoton steigend.
    • Alle Graphen haben einen Scheitelpunkt in $O(0|0)$.
    • Die Parabel zu $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet. Diese ist hier dargestellt.
    Ungerade Exponenten

    Hier siehst du nun Funktionen mit ungeraden Exponenten:

    $f(x)=x^1;~x^3;~f(x)=x^5;~f(x)=x^7;~...$

    • Auch hier gilt, dass du für $x$ jede Zahl einsetzen kannst, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
    • Die Funktionswerte können auch negativ sein, da das Potenzieren von negativen Zahlen mit einem ungeraden Exponenten zu negativen Zahlen führt. Das führt zu $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
    • Die Funktionsgraphen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • Alle Parabeln haben die Punkte $P(−1|-1)$, $O(0|0)$ sowie $R(1|1)$ gemeinsam.
    • Der Funktionsgraph ist streng monoton steigend für alle $x\in\mathbb{D}$.
    • Alle Graphen haben einen Sattelpunkt in $O(0|0)$.
  • Skizziere den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4$.

    Tipps

    Achte auf die Symmetrie. Da $4$ eine gerade Zahl ist, verläuft der Funktionsgraph von $f(x) = x^4$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

    Jeder Punkt mit der $x$-Koordinate $a$ hat dann denselben $y$-Wert wie der Punkt mit der $x$-Koordinate $-a$.

    Wenn du zum Beispiel $f(2,5)$ berechnen willst, gehst du so vor:

    $f(2,5)=2,5^4=39,0625$.

    Lösung

    Hier siehst du den zugehörigen Funktionsgraphen. Die Kreuze zeigen Punkte auf diesem Funktionsgraphen an.

    Wenn du diese Punkte kennst und weißt, wie der Funktionsgraph verläuft, kannst du diesen zeichnen. Wie kannst du Punkte, welche auf dem Funktionsgraphen liegen, bestimmen? Jeder Punkt $P(x|y)$, welcher auf dem Funktionsgraphen einer Funktion $f$ liegt, erfüllt $y=f(x)$.

    Umgekehrt kannst du durch Einsetzen von verschiedenen Werten für $x$ die entsprechende $y$-Koordinate (auch Funktionswert genannt) berechnen. Das siehst du nun hier für die eingezeichneten Punkte von links nach rechts:

    • $f(-2)=(-2)^4=16$
    • $f(-1,5)=(-1,5)^4=5,0625$
    • $f(-1)=(-1)^4=1$
    • $f(0)= 0^4 = 0$
    • $f(1)=1^4=1$
    • $f(1,5)=1,5^4=5,0625$
    • $f(2)=2^4=16$
    Übrigens: Bereits an diesen Funktionswerten kannst du die Achsensymmetrie erkennen, da die $y$-Werte unabhängig vom Vorzeichen der jeweiligen $x$-Werte sind.

  • Ermittle die jeweilige Potenzfunktion.

    Tipps

    Prüfe zunächst, welcher der Funktionsgraphen achsen- und welcher punktsymmetrisch ist.

    Dann kannst du bereits entscheiden, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

    Der gelbe und der schwarze Funktionsgraph sind achsensymmetrisch. Die zugehörigen Funktionen müssen einen geraden Exponenten haben.

    Die Punkte $O(0|0)$ sowie $P(1|1)$ sind allen Graphen gemeinsam:

    • Für $0<x<1$ verlaufen Funktionsgraphen von Funktionen mit größer werdendem Exponenten immer flacher.
    • Für $x>1$ verlaufen Funktionsgraphen von Funktionen mit größer werdendem Exponenten immer steiler.
    Lösung

    Hier siehst du die Funktionsgraphen noch einmal im Überblick.

    Der gelbe und auch der schwarze Funktionsgraph verlaufen achsensymmetrisch. Sie müssen also zu Funktionen mit geradem Exponenten gehören. Du musst noch entscheiden, welcher der Graphen zu $f(x)=x^2$ und welcher zu $f(x)=x^6$ gehört. Hierfür genügt es zu schauen, wie steil der Funktionsgraph für $x<-1$ oder $x>1$ verläuft. Der schwarze Funktionsgraph verläuft dort steiler als der gelbe. Damit gilt:

    Der gelbe Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ und der schwarze zu $f$ mit $f(x)=x^6$.

    Ebenso kannst du bei den verbleibenden Funktionsgraphen vorgehen. Der Exponent ist jeweils ungerade.

    Am steilsten verläuft, zum Beispiel für $x<-1$, der rote, in der Mitte liegt der blaue und am wenigsten steil verläuft der grüne Funktionsgraph. Damit kannst du die Funktionsgraphen wie folgt zuordnen:

    • Der grüne Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3$.
    • Der blaue Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^5$.
    • Der rote Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^7$.
  • Gib an, welche der Funktionen eine Potenzfunktion ist.

    Tipps

    Bei einer Potenzfunktion steht die Variable der Funktion in der Basis und wird potenziert.

    Die allgemeine Form einer Potenzfunktion ist $f(x)=x^n$.

    Beachte: Wenn die Variable im Exponenten steht, liegt keine Potenzfunktion vor. Dies ist eine Exponentialfunktion.

    Lösung

    In einer Potenzfunktion steht die Variable in der Basis und wird potenziert. Die allgemeine Form einer Potenzfunktion lautet also $f(x)=x^n$.

    Das bedeutet, dass die folgenden Funktionen Potenzfunktionen sind:

    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=x^3$
    • $f(x)=x^4$
    • $f(x)=x^6$
    Bei der Funktion $f$ mit $f(x)=2^x$ steht die Variable im Exponenten. Dies ist eine Exponentialfunktion.

    Die Funktion $f$ mit $f(x)=\sin(x)$ ist eine trigonometrische Funktion.

  • Ermittle die Funktionsgleichung, die zu dem abgebildeten Graphen gehört.

    Tipps

    Merke dir für Potenzfunktionen:

    • Bei geradem Exponenten ist der Funktionsgraph achsensymmetrisch und
    • bei ungeradem Exponenten ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch.

    Bei den beiden Punkten, welche du ablesen kannst, muss jeweils für die $x$- sowie $y$-Koordinate gelten $y=f(x)$.

    Zum Beispiel liegt der Punkt $R(-2|2)$ auf dem Funktionsgraphen. Es muss also $2=a\cdot (-2)^n$ gelten.

    Lösung

    Hier siehst du eine Parabel. Diese ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das bedeutet, dass der Exponent der Funktion $f$ mit $f(x)=ax^n$ gerade sein muss.

    Du musst nun den Exponenten $n$ und den Streckfaktor $a$ bestimmen. Hierfür benötigst du zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen. Diese solltest du recht gut ablesen können. Als Hilfsmittel ist ein Gitternetz eingezeichnet.

    Beide Punkte führen durch Einsetzen der $x$- und $y$-Koordinaten zu einer Gleichung:

    • $P(2|2)$ führt zu der Gleichung $2=a\cdot 2^n$.
    • $Q(1|0,5)$ führt zu der Gleichung $0,5=a\cdot 1^n=a$.
    Der Streckfaktor $a=0,5$ ist also bereits gefunden. Bleibt noch der Exponent. Hierfür verwendest du die obere der beiden Gleichungen, in die du $a=0,5$ einsetzt:

    $2=0,5\cdot 2^n$.

    Durch Division von $0,5$ kommst du zu der Gleichung $4=2^n$. Den Exponenten bestimmst du hier mit Hilfe des Wissens, dass $2^2 = 4$ gilt. Also ist $n=2$.

    Nun kannst du die Funktionsgleichung aufschreiben:

    $f(x)=0,5x^2$.