Potenzen mit rationalem Exponenten

Potenzen mit rationalem Exponenten Übung

• Gib das Gesetz für Potenzen mit rationalen Exponenten an.

  Tipps

  Der Term $a^{\frac mn}$ lässt sich auf verschiedene Arten schreiben.

  Es ist zum Beispiel $\sqrt 2=2^{\frac12}$.

  Bei der Quadratwurzel schreibt man den Wurzelexponenten nicht.

  Es gilt die Potenzregel $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Lösung

  Für Potenzen mit rationalen Exponenten mit $a \ge 0$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ und $n>0$ gilt:

  1. $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$,
  2. $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$ sowie
  3. sofern zusätzlich $a>0$ gilt $a^{-\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}$.

• Forme den Term mit den Potenzgesetzten um.

  Tipps

  Schreibe die Wurzel als Potenz:

  $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$ .

  Verwende die Regel zum Potenzieren von Potenzen:

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Lösung

  Der Term $\sqrt[4]{a^8}$ lässt sich mit der Regel

  $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$

  auch schreiben als:

  $\sqrt[4]{a^8}=\left(a^8\right)^{\frac14}$.

  Nun gilt, dass Potenzen potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Das bedeutet:

  $\left(a^8\right)^{\frac14}=a^{8\cdot \frac14}=a^2$.

• Leite den Wurzelterm her.

  Tipps

  Es gilt

  $a^{\frac1n}=\sqrt[n] a$.

  Die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich mit der obigen Regel sowie

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

  herleiten.

  Lösung

  Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich wie folgt als Wurzel schreiben:

  $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

  Somit ist

  • $c^{\frac 43}=\sqrt[3]{c^4}$,
  • $c^{\frac 25}=\sqrt[5]{c^2}$,
  • $c^{\frac 34}=\sqrt[4]{c^3}$ und
  • $c^{\frac 56}=\sqrt[6]{c^5}$.

• Vereinfache die Potenz so weit wie möglich.

  Tipps

  Verwende

  $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$

  oder

  $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$.

  Es gilt

  $a^n=b\Leftrightarrow a=\sqrt[n]b$.

  Lösung

  Unter Verwendung von

  $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$

  kann $27^{\frac23}$

  wie folgt berechnet werden:

  $27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$.

  Da $3^3=27$ ist, kann $\sqrt[3]{27}=3$ hergeleitet werden. Damit ist

  $27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$.

• Ergänze die allgemeinen Potenzregeln.

  Tipps

  Die Quadratwurzel aus $2$ lässt sich zum Beispiel wie folgt schreiben:

  $\sqrt2=2^{\frac12}$.

  Es gilt das folgende Potenzgesetz:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Lösung

  Es seien $a\ge 0$, $n\in\mathbb{N},~n>0$ sowie $m\in\mathbb{Z}$.

  Um Potenzen mit rationalen Exponenten behandeln zu können, müssen die folgenden Potenzregeln bekannt sein:

  • $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$,
  • $\frac1{\sqrt[n]a}=a^{-\frac1n}$, hier muss zusätzlich $a>0$ sein, sowie
  • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Die letzte Regel kann man sich auch in Worten merken:

  „Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.“

• Bestimme die Potenzschreibweise für den Wurzelterm.

  Tipps

  Es gilt $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$.

  Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.

  Ein Produkt wird potenziert, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird:

  $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

  Lösung

  Die Umformung erfolgt durch Anwendung der Potenzgesetze:

  Zunächst wird die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben:

  $\left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3=\left((16a)^{3\cdot\frac16}\right)^3$.

  Unter Verwendung der Regel, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird, kann wie folgt umgeformt werden zu

  $\left((16a)^{\frac12}\right)^3$.

  Dies kann weiter umgeformt werden zu

  $\left(4\cdot a^{\frac12}\right)^3$.

  Hierbei wurde die Regel verwendet, dass ein Produkt potenziert wird, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird.

  $\begin{align*} \left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3&=2^6\cdot a^{\frac32}\\ &=2^6\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \left(\sqrt{a}\right)^3. \end{align*}$