Potenzen mit rationalem Exponenten

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Grundlagen zum Thema Potenzen mit rationalem Exponenten
In diesem Video lernst du das Rechnen mit Potenzen für Exponenten aus dem Bereich der rationalen Zahlen. Mithilfe der Kenntnisse über das Rechnen mit Potenzen für Exponenten aus dem Bereich der ganzen Zahlen wird die Schreibweise für rationale Exponenten eingeführt und an einigen Beispielen vorgerechnet.
Potenzen mit rationalem Exponenten Übung
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Gib das Gesetz für Potenzen mit rationalen Exponenten an.
TippsDer Term $a^{\frac mn}$ lässt sich auf verschiedene Arten schreiben.
Es ist zum Beispiel $\sqrt 2=2^{\frac12}$.
Bei der Quadratwurzel schreibt man den Wurzelexponenten nicht.
Es gilt die Potenzregel $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
LösungFür Potenzen mit rationalen Exponenten mit $a \ge 0$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ und $n>0$ gilt:
- $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$,
- $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$ sowie
- sofern zusätzlich $a>0$ gilt $a^{-\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}$.
-
Forme den Term mit den Potenzgesetzten um.
TippsSchreibe die Wurzel als Potenz:
$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$ .
Verwende die Regel zum Potenzieren von Potenzen:
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
LösungDer Term $\sqrt[4]{a^8}$ lässt sich mit der Regel
$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$
auch schreiben als:
$\sqrt[4]{a^8}=\left(a^8\right)^{\frac14}$.
Nun gilt, dass Potenzen potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Das bedeutet:
$\left(a^8\right)^{\frac14}=a^{8\cdot \frac14}=a^2$.
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Leite den Wurzelterm her.
TippsEs gilt
$a^{\frac1n}=\sqrt[n] a$.
Die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich mit der obigen Regel sowie
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
herleiten.
LösungPotenzen mit rationalen Exponenten lassen sich wie folgt als Wurzel schreiben:
$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.
Somit ist
- $c^{\frac 43}=\sqrt[3]{c^4}$,
- $c^{\frac 25}=\sqrt[5]{c^2}$,
- $c^{\frac 34}=\sqrt[4]{c^3}$ und
- $c^{\frac 56}=\sqrt[6]{c^5}$.
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Vereinfache die Potenz so weit wie möglich.
TippsVerwende
$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$
oder
$a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$.
Es gilt
$a^n=b\Leftrightarrow a=\sqrt[n]b$.
LösungUnter Verwendung von
$a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$
kann $27^{\frac23}$
wie folgt berechnet werden:
$27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$.
Da $3^3=27$ ist, kann $\sqrt[3]{27}=3$ hergeleitet werden. Damit ist
$27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$.
-
Ergänze die allgemeinen Potenzregeln.
TippsDie Quadratwurzel aus $2$ lässt sich zum Beispiel wie folgt schreiben:
$\sqrt2=2^{\frac12}$.
Es gilt das folgende Potenzgesetz:
$a^{-n}=\frac1{a^n}$.
LösungEs seien $a\ge 0$, $n\in\mathbb{N},~n>0$ sowie $m\in\mathbb{Z}$.
Um Potenzen mit rationalen Exponenten behandeln zu können, müssen die folgenden Potenzregeln bekannt sein:
- $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$,
- $\frac1{\sqrt[n]a}=a^{-\frac1n}$, hier muss zusätzlich $a>0$ sein, sowie
- $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
„Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.“
-
Bestimme die Potenzschreibweise für den Wurzelterm.
TippsEs gilt $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$.
Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.
Ein Produkt wird potenziert, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird:
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.
LösungDie Umformung erfolgt durch Anwendung der Potenzgesetze:
Zunächst wird die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben:
$\left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3=\left((16a)^{3\cdot\frac16}\right)^3$.
Unter Verwendung der Regel, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird, kann wie folgt umgeformt werden zu
$\left((16a)^{\frac12}\right)^3$.
Dies kann weiter umgeformt werden zu
$\left(4\cdot a^{\frac12}\right)^3$.
Hierbei wurde die Regel verwendet, dass ein Produkt potenziert wird, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird.
$\begin{align*} \left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3&=2^6\cdot a^{\frac32}\\ &=2^6\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \left(\sqrt{a}\right)^3. \end{align*}$

Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung

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Die n-te Wurzel – Einführung

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@Claudia P.: Die 3-te Wurzel eines Bruchs kannst du mit einem Wurzelgesetz berechnen: Die "3-te Wurzel von a/b" ist gerade "3-te Wurzel von a" mal "3-te Wurzel von b".
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.
was ist wenn ein bruch unter der 3.wurzel ist ??
gut erkärt