Potenzausdrücke umformen – Beispiele

Potenzausdrücke umformen – Beispiele Übung

• Berechne das Produkt der Potenzen.

  Tipps

  Verwende zunächst die Regel:

  $a^p\cdot b^p=(a\cdot b)^p$

  Vereinfache soweit wie möglich.

  Ist der Exponent eine rationale Zahl, so kann die Potenz als Wurzel geschrieben werden:

  $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

  Hier ist $m=1$ und $n=3$.

  Wenn $a^n=b$ ist, so gilt umgekehrt $\sqrt[n]b=a$.

  Lösung

  Da bei beiden Potenzen der Exponent übereinstimmt, kann das Produkt der Basen gebildet und mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert werden:

  $4^{\frac13}\cdot 2^{\frac13}=(4\cdot2)^{\frac13}=8^{\frac13}$.

  Nun kann der rationale Exponent als Wurzel geschrieben werden:

  $8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2$,

  da $2^3=8$ ist.

  Das gesuchte Ergebnis ist also $2$.

• Stelle den Term als Wurzel dar.

  Tipps

  Verwende die Regel: „Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die gemeinsame Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert“.

  Ist der Exponent eine rationale Zahl, so kann die Potenz als Wurzel geschrieben werden:

  $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

  Lösung

  Um den Term $\left(a^{\frac m3}\cdot a^{\frac m6}\right):a^{\frac m4}$ umzuformen, werden verschieden Potenzregeln angewendet:

  • Zunächst werden die Faktoren in der Klammer mit der gemeinsamen Basis $a$ zusammengefasst zu

  $a^{\frac m3}\cdot a^{\frac m6}=a^{\frac m3+\frac m6}=a^{\frac{3m}6}=a^{\frac m2}$.

  • Nun kann der Quotient berechnet werden. Wieder stimmt die Basis überein:

  $a^{\frac m2}:a^{\frac m4}=a^{\frac m2-\frac m4}=a^{\frac m4}$.

  Dieser Term kann wie folgt als Wurzel geschrieben werden:

  $a^{\frac m4}=\sqrt[4]{a^m}$.

• Leite den Wert des Terms her.

  Tipps

  Potenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert wird.

  Potenzen mit gemeinsamer Basis werden dividiert, indem die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert wird.

  Forme immer zunächst Klammerterme um.

  Lösung

  Zunächst werden im Dividenden die Potenzgesetze angewendet:

  • es gilt $\sqrt9=3$, da $3^2=9$ ist sowie
  • $27=3^3$.
  • Potenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert wird.
  • Also ist $\sqrt9\cdot27=3\cdot 3^3=3^4$.

  Nun kann der Divisor umgeformt werden:

  • Die Wurzel lässt sich wie folgt schreiben: $\sqrt{3^{12}}=\left(3^{12}\right)^{\frac12}=3^{12\cdot \frac12}=3^6$.
  • Potenzen mit gemeinsamer Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert, also ist $\sqrt{3^{12}}:3^3=3^6:3^3=3^{6-3}=3^3$.

  Zuletzt wird der Quotient aus zwei Potenzen mit gemeinsamer Basis gebildet, indem die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert wird:

  $\left(\sqrt9\cdot27\right):\left(\sqrt{3^{12}}:3^3\right)=3^4:3^3=3^{4-3}=3$.

• Gib den Term in vereinfachter Form an.

  Tipps

  Forme zunächst den Divisor um. Dafür kannst du die Regel

  „Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summer der Exponenten potenziert.“

  verwenden.

  Schaue dir dann den Dividenden an und vereinfache von innen, innerhalb der Klammer, nach außen.

  Es gilt $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$.

  Lösung

  Die Umformung erfolgt durch Anwendung der Potenzgesetze:

  Zunächst wird die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben und $4=2^2$ verwendet:

  $\left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3:\left(4\cdot 2^3\right)=\left((16a)^{\frac36}\right)^3:\left(2^2\cdot 2^3\right)$.

  Nun werden zum einen Potenzen mit gleicher Basis multipliziert und die Regel verwendet, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Die neue rechte Seite der Gleichung lautet dann:

  $(16a)^{\frac12 \cdot 3}:\left(2^2\cdot 2^3\right)$.

  Dies kann weiter umgeformt werden zu

  $\left(4\cdot a^{\frac12}\right)^3:2^5$.

  Hierbei wurde die Regel verwendet, dass ein Produkt potenziert wird, in dem jeder einzelne Faktor potenziert wird.

  Jetzt werden die entsprechenden Terme zusammengefasst und eine Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel geschrieben:

  $\begin{align*} ...&=2^6\cdot a^{\frac32}:2^5\\ &=2^6:2^5\cdot a^{\frac32}\\ &=2^{6-5}\cdot a^{\frac32}\\ &=2^{1}\cdot a^{\frac32}\\ &=2\cdot \sqrt{a^3}. \end{align*}$

• Nenne die Potenzgesetze.

  Tipps

  Diese Potenzregeln solltest du gut üben. Dies geht mithilfe von Merksätzen und/oder einfachen Beispielen gut.

  Präge dir diese Regeln über Sätze ein.

  So zum Beispiel: „Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert.“

  Ein weiterer Merksatz wäre:

  „Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.“

  Lösung

  Seien

  • $a,~b\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$ sowie
  • $p,~q\in\mathbb{Q}$.

  Dann gelten die folgenden Potenzgesetze:

  • $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$,
  • $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$,
  • $(a\cdot b)^p=a^p\cdot b^p$,
  • $\left(a^p\right)^q=a^{p\cdot q}$ und
  • für $a>0$, $m\in\mathbb{Z}$ sowie $n\in\mathbb{N}$: $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

• Ermittle jeweils den Wert des Terms.

  Tipps

  Berechne jeden einzelnen Potenzwert und sortiere diese dann.

  Die vereinfachten Werte sind von erstaunlicher Einfachheit.

  Lösung

  Um die Ergebnisse der Größe nach zu sortieren, müssen die Potenzwerte berechnet werden:

  $\begin{align*} \sqrt{\left(3^2\cdot 3^{2n}\right)}:3^n&=\left(\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{3^{2n}}\right):3^n\\ &=\left(3\cdot \left(3^{2n}\right)^{\frac12}\right):3^n\\ &=\left(3\cdot 3^n\right):3^n\\ &=3^{n+1}:3^n\\ &=3^{n+1-n}=3. \end{align*}$

  $\sqrt[n]2^{3n}:2^3=\left(2^{3n}\right)^{\frac{1}{n}}:2^3=2^{3n\cdot\frac{1}{n}}:2^3=2^3:2^3=1$.

  $\begin{align*} \left(\sqrt[6]{64^3}\right)^3:\left(4^2\cdot 2^3\right)&=\left(64^{3\cdot\frac16}\right)^3:\left(\left(2^2\right)^2\cdot 2^3\right)\\ &=\left(64^{\frac12}\right)^3:\left(2^4\cdot 2^3\right)\\ &=8^3:2^7\\ &=\left(2^3\right)^3:2^7\\ &=2^9:2^7\\ &=2^{9-7}=2^2=4. \end{align*}$

  $\sqrt[6]{4^3}=\left(4^3\right)^{\frac16}=4^{\frac12}=\sqrt4=2$.

  Diese Terme müssen noch sortiert werden: Die Reihenfolge ist also

  1. $\sqrt[n]2^{3n}:2^3$
  2. $\sqrt[6]{4^3}$
  3. $\sqrt{\left(3^2\cdot 3^{2n}\right)}:3^n$
  4. $\left(\sqrt[6]{64^3}\right)^3:\left(4^2\cdot 2^3\right)$