Potenzausdrücke umformen – Anwendung

Potenzausdrücke umformen – Anwendung Übung

• Berechne die Oberfläche sowie das Volumen des Würfels.

  Tipps

  Die Formel für die Oberfläche lautet $A_O=6\cdot a^2$.

  Die Formel für das Volumen lautet $V=a^3$.

  Die Gesamtlänge der Würfelkanten ist durch $12\cdot a$ gegeben.

  Lösung

  Wenn mit $120~cm$ Draht ein Würfel angefertigt werden soll, so heißt dies, dass die Summe aller Kanten des Würfels $120~cm$ betragen muss. Wie viele solcher Kanten hat ein Würfel? Es sind $12$!

  Somit muss $12\cdot a=120~cm$ gelten, was äquivalent ist zu $a=\frac{120~cm}{12}=10~cm$.

  Dieses $a$ kann nun in die Formeln für

  • die Oberfläche $A_O=6\cdot a^2=6\cdot (10~cm)^2=6\cdot 100~cm^2=600~cm^2$ sowie
  • das Volumen $V=a^3=(10~cm)^3=1000~cm^3$

  eingesetzt werden.

  Der Würfel hat also eine Oberfläche von $600~cm^2$ sowie ein Volumen von $1000~cm^3$.

• Bestimmme die Fallzeit des Basketballs.

  Tipps

  Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

  Es gilt

  $\sqrt a=a^{\frac 12}$.

  Die Quadratwurzel kehrt das Quadrieren um, das heißt

  $\sqrt{s^2}=s$.

  Lösung

  Um die Fallzeit zu berechnen, wird zunächst die angegebene Höhe $h=60~m$ in die Formel

  $t=\left(\frac{h}{5\frac m{s^2}}\right)^{\frac12}$

  eingesetzt, was zu

  $t=\left(\frac{60~m}{5\frac m{s^2}}\right)^{\frac12}=\left(60~m \cdot \frac{s^2}{5~m}\right)^\frac12$

  führt. Da wir durch einen Bruch teilen wollten, haben wir mit dem Kehrwert multipliziert. Nun kürzt sich die Einheit $m$ noch weg und es ergibt sich

  $t=(12~s^2)^{\frac12}$.

  Potenzen mit rationalen Exponenten können als Wurzel geschrieben werden.

  Somit ist

  $t=\sqrt{12~s^2}=\sqrt{12}~s\approx3,46~s$.

  Basketball fällt aus einer Höhe von $60~m$ also $3,46~s$.

• Leite her, wie das Volumen des Quaders berechnet werden kann.

  Tipps

  Das Volumen eines Quaders berechnet sich mit der Formel

  $v=a\cdot b\cdot c$,

  wobei

  • $a$ die Länge,
  • $b$ die Breite und
  • $c$ die Höhe des Quaders ist.

  Der abgebildete Quader hat die Höhe $x$.

  Es gilt

  $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.

  Lösung

  Das Volumen des Quaders wird berechnet mit der Formel

  $v=a\cdot b\cdot c$,

  wobei

  • $a$ die Länge,
  • $b$ die Breite und
  • $c$ die Höhe des Quaders ist.

  Diese Größen sind nun zu bestimmen.

  • Die Höhe des Quaders ist $x$.
  • Die Länge des Quaders ist die Länge des blauen Rechtecks (man könnte auch die des roten nehmen). Diese ist $30~cm-2x$.
  • Die Breite des Quaders ist die Länge des roten Rechtecks. Diese ist $20~cm-2x$.

  Damit kann das Volumen berechnet werden, dabei werden die Maßeinheiten weggelassen:

  $\begin{align*} V&=x\cdot(30-2x)\cdot(20-2x)\\ &=x\cdot(600-40x-60x+4x^2)\\ &=4x^3-100x^2+600x. \end{align*}$

• Ermittle das Volumen des Quaders, wenn ein Quadrat mit einer Seitelänge von $5~cm$ ausgeschnitten wird.

  Tipps

  Die Maßeinheit ist $cm^3$.

  Setze $x=5$ in der Volumenformel ein.

  Lösung

  Da die Volumenformel bekannt ist, kann der gegebene $x$-Wert in dieser eingesetzt werden:

  $V=4\cdot 5^3-100 \cdot 5^2+600\cdot 5=1000$.

  Die Maßeinheit ist $cm^3$.

  Der Quader fasst das Volumen $1000~cm^3$.

• Gib die Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines Würfels an.

  Tipps

  Das Volumen eines Quaders ist gegeben durch

  $V=a\cdot b\cdot c$,

  wobei $a$ die Länge, $b$ die Höhe und $c$ die Breite des Quaders ist.

  Der Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.

  Lösung

  Bei einem Würfel

  • haben alle Kanten die gleiche Länge $a$ und
  • alle Seitenflächen sind kongruente Quadrate mit der Seitenlänge $a$.

  Somit können die folgenden Formeln für die Oberfläche sowie das Volumen angegeben werden:

  • $A_O=6\cdot a^2$ sowie
  • $V=a^3$.

• Bestimme die Zeit, in welcher sich eine Bakterienkultur verachtfacht hat.

  Tipps

  Sei der Anfangsbestand der Bakterienkultur $1000$, so ist der Bestand nach $90~min$ bereits $2000$.

  $8$ ist eine Zweierpotenz.

  Es gilt $8=2^3$.

  Der Bestand muss sich dreimal verdoppeln.

  Lösung

  Da $8$ eine Zweierpotenz, $8=2^3$, ist, muss der Bestand sich dreimal verdoppeln. Bei einem Anfangsbestand von $N_0$:

  • Bestand nach einer Verdoppelung, $90~min$: $N_1=2\cdot N_0$.
  • Bestand nach zwei Verdoppelungen, $180~min$: $N_2=2\cdot N_1=2\cdot 2\cdot N_0=4\cdot N_0$ und
  • Bestand nach drei Verdoppelungen, $270~min$: $N_3=2\cdot N_2=2\cdot 4\cdot N_0=8\cdot N_0$.

  Das heißt, dass sich der Bestand nach $270$ Minuten, das sind $4$ Stunden und $30$ Minuten, verachtfacht hat.