Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (2)

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (2) Übung

• Ergänze die Erklärungen zu dem Baumdiagramm.

  Tipps

  • Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
  • Ein Ereignis ist ein Menge, in welcher sich Ergebnisse befinden.

  Lösung

  Mit Baumdiagrammen kannst du mehrstufige Zufallsversuche gut überschaubar darstellen.

  Zum einen kannst du damit alle Ergebnisse aufschreiben und zum anderen zu diesen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten berechnen.

  Hier siehst du, wie du ein Baumdiagramm erstellst.

  • Du verzweigst zu den (vier) verschiedenen Ergebnissen der ersten Stufe.
  • An die Äste, welche zu diesen Ergebnissen führen, schreibst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  • Von jedem der Ergebnisse verzweigst du wieder zu den (vier!) Ergebnissen in der zweiten Stufe.
  • Auch an diese Äste schreibst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Hierauf wurde auf Grund der Übersichtlichkeit verzichtet.
  • Abschließend kannst du am Ende eines jeden Pfades das Ergebnis notieren, zu dem dieser Pfad führt.

  Wie geht's dann weiter?

  • Mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse berechnen.
  • Mit der Pfadadditionsregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen. Ereignisse sind Mengen, deren Elemente verschiedene Ergebnisse sind.

• Gib die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A $\cap$ B an.

  Tipps

  Die Schnittmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, welche sowohl in der einen als auch in der anderen Menge enthalten sind.

  • Die Pfadmultiplikationsregel verwendest du zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen. Diese stehen am Ende eines Pfades.
  • Die Pfadadditionsregel verwendest du zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Ein Ereignis ist eine Menge, in welcher sich Ergebnisse befinden.

  Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit von $(1;1)$ gegeben durch

  $P(1;1)=\frac13\cdot \frac13=\frac19$.

  Lösung

  Mit Hilfe dieses Baumdiagramms kannst du zum einen den oben beschriebenen Zufallsversuch anschaulich darstellen und zum anderen die Ergebnisse am Ende der Pfade ablesen.

  Schauen wir uns nun die verschiedenen relevanten Ereignisse an.

  A: Die Augensumme ist kleiner oder gleich $3$.

  Damit ist A $=\{(1;1);(1;2);(2;1)\}$.

  Das Ereignis B ist direkt als Menge gegeben:

  B $=\{(1;1);(2;1);(3;1);(4;1)\}$

  Der Schnitt der beiden Mengen

  Also ist A $\cap$ B $=\{(1;1);(2;1)\}$.

  Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ergebnisse mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades.

  • $P(1;1)=\frac13\cdot\frac13=\frac19$
  • $P(2;1)=\frac16\cdot\frac13=\frac1{18}$

  Zuletzt verwendest du die Pfadadditionsregel. Du addierst diese Wahrscheinlichkeiten:

  $P($A $\cap$ B$)= \frac19 + \frac1{18} = \frac2{18} + \frac1{18} = \frac3{18} = \frac16$

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse.

  Tipps

  Mache dir jeweils klar, welche Ergebnisse in dem jeweiligen Ereignis liegen.

  Ein Ereignis kann übrigens auch aus nur einem Ergebnis bestehen.

  Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse erhältst du, wenn du entlang des Pfades die Wahrscheinlichkeiten multiplizierst.

  Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen, addierst.

  Lösung

  Die Pfadadditionsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die in diesem Ereignis enthalten sind.

  Nun musst du dir also jeweils klarmachen, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören:

  A: Es wird genau eine $1$ gezogen.

  • A $=\{(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(3;1);(4;1);\}$
  • Damit ist $P($A$)=\frac1{18}+\frac{1}{9}+\frac1{18}+\frac1{18}+\frac1{9}+\frac1{18}=\frac49$.

  B: Die zweite gezogene Kugel ist eine $2$.

  • B $=\{(1;2);(2;2);(3;2);(4;2)\}$
  • Damit ist $P($B$)=\frac1{18}+\frac1{36}+\frac1{18}+\frac1{36}=\frac16$.

  C: Es treten sowohl A als auch B ein.

  • C $=\{(1;2)\}$
  • Damit ist $P($C$)=\frac1{18}$.

• Wende die Pfadmultiplikationsregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu berechnen.

  Tipps

  Hier siehst du das zugehörige Baumdiagramm und am Ende der Pfade die Ergebnisse als geordnete Paare der gezogenen Farben.

  Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse des einstufigen Zufallsversuches siehst du hier.

  Die Pfadmultiplikationsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Lösung

  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des obigen Zufallsversuchs verwendest du die Pfadmultiplikationsregel:

  Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu einem Ergebnis führt.

  • $P($r;r$)=\frac15\cdot \frac15=\frac1{25}=0,04$
  • Es gilt $P($r;b$)=P($b;r$)=P($r;g$)=P($g;r$)$.
  • Hier siehst du beispielhaft die Berechnung einer dieser Wahrscheinlichkeiten: $P($r;b$)=\frac15\cdot \frac25=\frac2{25}=0,08$
  • Alle übrigen Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
  • Diese Wahrscheinlichkeit wird hier an einem Beispiel berechnet: $P($b;g$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$

• Beschreibe, welche Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

  Tipps

  Wenn du einen Spielwürfel zweimal wirfst, erhältst du geordnete Paare der oben liegenden Augenzahlen.

  Es gibt insgesamt $36$ solcher Ergebnisse.

  Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Paare ist gleich groß: $\frac1{36}$

  Wie berechnest du dies?

  Hier siehst du zum Beispiel den Pfad, der zu dem Paar $(1;1)$ führt.

  Die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl $1$ zu würfeln, ist jeweils an einem Ast des Pfades angeschrieben.

  Lösung

  Es gibt zwei Regeln zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Baumdiagrammen.

  • Mit der Pfadmultiplikationsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen am Ende eines Pfades.
  • Mit der Pfadadditionsregel die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Ein Ereignis ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.

  Die Pfadmultiplikationsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Die Pfadadditionsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

• Wende die Pfadadditionsregel an, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eintreten.

  Tipps

  Hier siehst du das zu dem obigen Zufallsversuch gehörende Baumdiagramm.

  Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.

  Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

  • $P($r;r$)=\frac15\cdot \frac15=\frac1{25}=0,04$
  • $P($g;r$)=\frac25\cdot \frac15=\frac2{25}=0,08$
  • $P($b;b$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$

  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen verwendest du die Pfadadditionsregel: Du addierst die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen.

  Lösung

  Mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln kannst du Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen sowie Ereignissen berechnen.

  A: Es wird keine grüne Kugel gezogen.

  • Überlege dir, welche Ergebnisse in diesem Ereignis liegen:
  • A $=\{($r;r$);($r;b$);($b;r$);($b;b$)\}$
  • Addiere nun die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse:
  • $P(A)=0,04+0,08+0,08+0,16=0,36$

  Ebenso gehst du bei den verbleibenden Ereignissen vor.

  B: Die zweite gezogene Kugel ist blau.

  • B $=\{($r;b$);($b;b$);($g;b$)\}$
  • $P($B$)=0,08+0,16+0,16=0,4$

  C: Es tritt sowohl A als auch B ein.

  • C $=\{($r;b$);($b;b$)\}$
  • $P($C$)=0,08+0,16=0,24$