Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (1)

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (1) Übung

• Bestimme, ob es einen Unterschied zwischen den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $E_{(g;r)}$ und $E_{(r;g)}$ gibt.

  Tipps

  Nur wenn unterschiedliche Ergebnisse zu Ereignissen gehören, können die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse unterschiedlich sein.

  Auch wenn man erst mit dem Fahrrad und dann mit dem Zug fährt, fährt man mit dem Zug und dem Fahrrad.

  Lösung

  Das Ereignis $E_{(g;r)}$ bedeutet: Es wird mindestens eine gelbe und mindestens eine rote Kugel gezogen.

  Zu diesem Ereignis gehören nur die Ergebnisse $(g;r)$ und $(r;g)$.

  Das Ereignis $E_{(r;g)}$ bedeutet: Es wird mindestens eine rote und mindestens eine gelbe Kugel gezogen.

  Auch zu diesem Ereignis gehören nur die Ergebnisse $(g;r)$ und $(r;g)$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören.

  Weil also zu beiden Ereignissen $E_{(r;g)}$ und $E_{(g;r)}$ dieselben Ergebnisse gehören, haben beide Ereignisse auch die gleiche Wahrscheinlichkeit.

• Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

  Tipps

  Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu einem Ereignis gehören, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses anzugeben.

  Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(r;g)$ berechnen wir so: Den Anteil der roten Kugeln im Behälter – nämlich $\frac{3}{8}$ – multiplizieren wir mit dem Anteil der gelben Kugeln im Behälter – nämlich $\frac{1}{2}$.

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(gr;g)$ zu bestimmen, multiplizieren wir den Anteil der grünen Kugeln im Behälter mit dem Anteil der gelben Kugeln im Behälter und erhalten:

  $P((gr;g))=\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$

  Das Ereignis "$\text{nicht } g$" besteht aus den Ergebnissen $(r;r)$, $(r;gr)$, $(gr;r)$ und $(gr;gr)$. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse sind:

  • $P((r;r))=\frac{9}{64}$
  • $P((gr;r))=\frac{3}{64}$
  • $P((r;gr))=\frac{3}{64}$
  • $P((gr;gr))=\frac{1}{64}$

  Addieren wir diese Wahrscheinlichkeiten, erhalten wir $\frac{16}{64}$ und das ist:

  $P(\text{nicht } g)=\frac{1}{4}$

  Das Ereignis "$r \text{ und } gr$" besteht aus den Ergebnissen $(r;gr)$ und $(gr;r)$. Diese Ergebnisse haben die Wahrscheinlichkeiten $\frac{3}{64}$ und $\frac{3}{64}$. Addieren wir beide, erhalten wir

  $P(r \text{ und } gr)=\frac{6}{64}= \frac{3}{32}$.

  Das Ereignis "$r \text{ oder } gr$" bedeutet: Ein Ergebnis gehört zum Ereignis, wenn es mindestens eine rote oder mindestens eine grüne Kugel enthält. Ein Ergebnis gehört damit auch zum Ereignis "$r \text{ oder } gr$",

  - wenn es eine rote und eine grüne Kugel enthält,

  - wenn es eine grüne und eine gelbe Kugel enthält,

  - wenn es zwei rote Kugeln enthält usw.

  Anders gesagt: Bis auf das Ergebnis $(g;g)$ gehören alle Ergebnisse zum Ereignis. Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse gleich $1$ ist, kann man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "$r \text{ oder } gr$" ausrechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit für $(g;g)$ von $1$ abzieht. Also gilt:

  $P(r \text{ oder } gr)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

• Erschließe, ob und wie sich die Äste des Baumdiagramms ändern würden, wenn man die erste gezogene Kugel nicht zurücklegen würde.

  Tipps

  Jeder Strich in einem Baumdiagramm wird mit „Ast“ bezeichnet. Geht man vom Anfangspunkt des Baumdiagramms bis zu einem Ende durch, ist man einen „Pfad“ entlang gegangen.

  Überlege dir, wie viele grüne Kugeln noch im Behälter sind, wenn man eine zieht und nicht wieder zurücklegt.

  Lösung

  Weil nur eine grüne Kugel im Behälter ist, ist im Behälter gar keine grüne Kugel mehr, wenn man eine grüne Kugel gezogen hat und sie nicht zurücklegt. Also kann man $(gr;gr)$ nicht ziehen. Deshalb schließt sich an den ersten „grünen“ Ast kein zweiter „grüner“ Ast an. Wir haben also einen Ast weniger beim Baumdiagramm für das Ziehen mit Zurücklegen.

  Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ändern sich zwar auch, aber danach war nicht gefragt.

• Erkläre, in welcher Reihenfolge du vorgehst, wenn du ein Baumdiagramm erstellst, um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse abzulesen und damit die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu bestimmen.

  Tipps

  Überlege dir, was du brauchst, um bestimmte Rechnungen auszuführen. Du brauchst z. B. erst Wahrscheinlichkeiten, um sie dann addieren zu können.

  Es ist hier nach einer im Allgemeinen sinnvollen Vorgehensweise gefragt, die du dir als Methode gut merken kannst. In Einzelfällen kann man bestimmt auch mal anders vorgehen.

  Lösung

  Wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ausgerechnet ist, bist du mit der Aufgabe fertig und musst keine weiteren mathematischen Handlungen ausführen. Damit ist die Anwendung der Pfadadditionsregel (mit der man ja die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnet) der letzte Schritt.

  Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auszurechnen, addierst du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Also überlegst du dir direkt vor dem Ausrechnen der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, welche Ergebnisse zum Ereignis gehören.

  Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse hast du erst, wenn du sie mit der Pfadmultiplikationsregel ausgerechnet und an die Enden des Baumdiagramms geschrieben hast.

  Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe mit Hilfe eines Baumdiagramms lösen möchte, schreibt man in der Regel die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse an die Enden der Pfade. Das ist vor allem dann praktisch, wenn nach den Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse gefragt ist (und das ist meistens der Fall).

  Um die Pfadmultiplikationsregel anwenden zu können, brauchst du die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumdiagramms. Also müssen diese schon vorher eingetragen worden sein.

  Bevor du die Äste mit Wahrscheinlichkeiten beschriften kannst, brauchst du die Äste und die Bezeichnungen der Knoten.

• Gib an, welche Regeln verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit einem Baumdiagramm auszurechnen.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit, die am Ende eines einzigen Pfades steht, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses.

  Werden die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen addiert, kann man damit nicht die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ausrechnen.

  Lösung

  Die Pfadmultiplikationsregel bezieht sich nur auf einen einzigen Pfad. Ein Pfad steht für ein Ergebnis. Deshalb können wir mit der Pfadmultiplikationsregel nur die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses und nicht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnen.

  Mit der Pfadadditionsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu einem Ereignis gehören, addieren.

• Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

  Tipps

  Welche Wahrscheinlichkeit hat ein Ereignis, zu dem alle Ergebnisse gehören?

  Welche Wahrscheinlichkeit hat ein Ereignis, das keine Ergebnisse enthält?

  Lösung

  $P(g \text{ oder } r \text{ oder } gr) = 1$, denn eine der Farben kommt in jedem Ergebnis vor, also enthält das Ereignis alle Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit für so ein Ereignis ist immer $1$.

  $P(g \text{ und } r \text{ und } gr) = 0$, denn wenn nur zweimal gezogen wird, können nicht drei Farben in einem Ergebnis enthalten sein. Dieses Ereignis enthält also keine Ergebnisse und solche leeren Ereignisse haben immer die Wahrscheinlichkeit $0$.

  $P(\text{blau}) = 0$, denn dieses Ereignis enthält keine Ergebnisse, weil keine blaue Kugel vorhanden ist.

  $P(\text{nicht } g \text{ und nicht } r \text{ und nicht } gr) = 0$. Mindestens eine Farbe muss gezogen werden, also enthält dieses Ereignis keine Ergebnisse.

  $P(\text{nicht } g \text{ oder nicht } r \text{ oder nicht } gr) = 1$, denn wenn nur zweimal gezogen wird, ist mindestens eine der Farben bei jedem Ergebnis nicht dabei. Also enthält dieses Ereignis alle Ergebnisse und hat damit die Wahrscheinlichkeit $1$.