Pfadregel und Summenregel – Beispiel

Pfadregel und Summenregel – Beispiel Übung

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse.

  Tipps

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuches. Es steht am Ende eines Pfades.

  Beachte: Wenn du alle berechneten Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

  Hier siehst du beispielhaft die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis blau und blau:

  $P(($b,b$)) = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2$

  Lösung

  Die Pfadmultiplikationsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Ein Pfad eines Baumdiagramms führt zu einem Ergebnis.

  Bei dem dargestellten Baum führt der Pfad über $6$ und noch einmal $6$ zu dem Ergebnis $(6;6)$. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

  $P(6;6)=\frac16\cdot \frac16=\frac1{36}$

  Ebenso kannst du die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen multiplizierst. Dies führt zu

  • $P(6;\bar 6)=\frac16\cdot \frac56=\frac5{36}$
  • $P(\bar 6;6)=\frac56\cdot \frac16=\frac5{36}$
  • $P(\bar 6;\bar 6)=\frac56\cdot \frac56=\frac{25}{36}$

  Zur Kontrolle kannst du diese Wahrscheinlichkeiten addieren. Es muss $1$ herauskommen:

  $\frac1{36}+\frac5{36}+\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{36}{36}$ ✓

• Gib die Mengenschreibweise des Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit an.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, welche Ergebnisse in dem jeweiligen Ereignis liegen.

  Das Ereignis $E_3$: „keine $6$“ beispielsweise enthält nur ein Ergebnis, nämlich $(\bar6;\bar6)$.

  Verwende die Pfadmultiplikationsregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Verwende die Pfadadditionsregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Lösung

  Die Pfadadditionsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Das bedeutet, dass du dir zu jedem Ereignis erst einmal klarmachen musst, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören.

  $E_1$: „im zweiten Wurf $\bar 6$“

  • $E_1=\{(6;\bar 6),(\bar 6;\bar 6)\}$
  • Damit ist $P(E_1)=\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{30}{36}=\frac56$.

  $E_2$: „nicht zweimal $\bar 6$“

  • $E_2=\{(6;6),(6;\bar 6),(\bar 6;6)\}$
  • Damit ist $P(E_2)=\frac1{36}+\frac5{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}$.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  Schreibe dir auf, welche Ergebnisse zu dem jeweiligen Ereignis gehören und berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

  Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses mit Hilfe der Pfadadditionsregel bestimmen.

  Die Pfadadditionsregel besagt, dass du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses, die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addierst.

  • Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
  • Ein Ereignis ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.
  • „mindestens einmal“ heißt in diesem Fall einmal oder zweimal

  Ein Ereignis kann durchaus auch nur aus einem Ergebnis bestehen.

  Lösung

  Die Pfadadditionsregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Nun musst du dir also erstmal klarmachen, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören.

  A: Es wird genau einmal $6$ gewürfelt.

  • $A=\{(6;\bar 6);(\bar 6;6)\}$
  • Damit ist $P(A)=\frac5{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac5{18}$.

  B: Es wird mindesten einmal $\bar 6$ gewürfelt.

  • $B=\{(6;\bar 6);(\bar 6;6); (\bar 6;\bar 6)\}$
  • Damit ist $P(B)=\frac5{36}+\frac5{36}+\frac{25}{36}=\frac{35}{36}$.

  C: Es wird das Paar $(6;\bar 6)$ gewürfelt.

  Ein Ereignis kann auch nur aus einem Element bestehen.

  • $C=\{(6;\bar 6)\}$
  • Damit ist $P(C)=\frac5{36}$.

  Hinweis: Jedes Ergebnis ist ein Ereignis, aber nicht jedes Ereignis muss ein Ergebnis sein.

• Wende die Pfadmultiplikationsregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu berechnen.

  Tipps

  Erstelle dir zunächst ein Baumdiagramm.

  Beachte, dass gezogene Kugeln nicht zurück gelegt werden. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich ändern.

  Hier siehst du das zugehörige Baumdiagramm.

  Die (vier!) möglichen Ergebnisse siehst du jeweils am Ende eines Pfades.

  Verwende die Pfadmultiplikationsregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Lösung

  Zu dem obigen Zufallsversuch solltest du zunächst ein Baumdiagramm erstellen. Beachte dabei, dass die im ersten Zug gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird. Ein solches Modell wird als Modell ohne Zurücklegen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug ändern sich, da sich die Anzahl der Kugeln in der Urne ändert.

  Nun kannst du, unter Verwendung der Pfadmultiplikationsregel, die Wahrscheinlichkeiten der (vier!) Ergebnisse berechnen. Du multiplizierst hierfür die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades:

  • $P($G,G$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}$
  • $P($G,R$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}$
  • $P($R,G$)=\frac25\cdot \frac34=\frac6{20}=\frac3{10}$
  • $P($R,R$)=\frac25\cdot \frac14=\frac2{20}=\frac1{10}$

  Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du in der Summe $1$:

  $\frac3{10}+\frac3{10}+\frac3{10}+\frac1{10}=\frac{10}{10}=1$ ✓

• Benenne die Pfadmultiplikations- sowie die Pfadadditionsregel.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(6;6)$ ist gegeben durch:

  $P(6;6)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}$.

  Wenn du ein Baumdiagramm so zeichnest, kannst du dir – stark verkürzt – merken:

  • von links nach rechts werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert und
  • von oben nach unten werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.

  Lösung

  Es gibt zwei Regeln zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Baumdiagrammen:

  • Mit der Pfadmultiplikationsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.
  • Mit der Pfadadditionsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.

  Die Pfadmultiplikationsregel wird auch als Produktregel oder Pfadregel oder 1. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Ein Pfad eines Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis. Bei dem dargestellten Baum führt der Pfad über $6$ und noch einmal $6$ zu dem Ergebnis $(6;6)$. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

  $P(6;6)=\frac16\cdot \frac16=\frac1{36}$

  Die Pfadadditionsregel wird auch als Summenregel oder 2. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Man könnte auch sagen „... durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen“.

  Wenn du einen Baum wie hier abgebildet zeichnest, kannst du dir – stark verkürzt – merken:

  • Von links nach rechts werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
  • Von oben nach unten werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.

• Wende die Pfadregeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

  Tipps

  Bestimme zuerst alle Pfade, die zu dem Ereignis passen.

  Berechne dann die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Diese darfst du dann wegen der Pfadadditionsregel addieren.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  E: Es wird höchstens eine grüne Kugel gezogen.

  Das bedeutet, dass entweder eine oder keine grüne Kugel gezogen wird.

  • $E=\{($G,R$),($R,G$),($R,R$)\}$
  • Dann ist $P(E)=0,3+0,3+0,1=0,7$.

  Lösung

  Hier siehst du nochmals die Pfadadditionsregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Um sie anzuwenden, musst du dir klarmachen, welche Ergebnisse zu dem jeweiligen Ereignis gehören.

  A: Es wird genau eine rote Kugel gezogen.

  • $A=\{(G,R),(R,G)\}$
  • Dann ist $P(A)=0,3+0,3=0,6$.

  B: Es wird genau eine grüne Kugel gezogen.

  • $B=\{(G,R),(R,G)\}$
  • Dann ist $P(B)=0,3+0,3=0,6$.

  Übrigens: Es gilt $A=B$, also auch $P(A) = P(B)$.

  C: Es wird mindestens eine grüne Kugel gezogen.

  • $C=\{(G,G), (G,R),(R,G)\}$
  • Dann ist $P(C)=0,3+0,3+0,3=0,9$.

  Du hättest hier übrigens auch das Gegenereignis („Beide Kugeln sind rot“) betrachten und die entsprechende Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahieren können.

  Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, ist $\frac25\cdot\frac14 = \frac1{10} = 0,1.$ Dann berechnest du $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0,1 = 0,9$.

  D: Die zweite gezogene Kugel ist rot.

  • $D=\{(G,R),(R,R)\}$
  • Dann ist $P(D)=0,3+0,1=0,4$.

  Hinweis: Bei all diesen Aufgaben wurde natürlich auch die Pfadmultiplikationsregel genutzt.