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Parabeln und Geraden – Anzahl der Nullstellen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Parabeln und Geraden – Anzahl der Nullstellen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Parabeln und Geraden – Anzahl der Nullstellen

Es wird kurz gezeigt, welche Anzahlen von Nullstellen Funktionen haben können, deren Graphen Parabeln oder Geraden sind. Es geht also um quadratische und lineare Funktionen.

Da der Lehrstoff nicht im einzelnen erarbeitet wird, sondern nur die Fakten gezeigt werden, eignet sich das Video für dich, wenn du den Lehrstoff wiederholen möchtest oder du dir einen groben Überblick verschaffen möchtest.

Was ist eine Nullstelle? Man versteht unter einer Nullstelle die x - Werte, die eingesetzt in die Funktionsgleichung f ( x ) den Funktionswert null liefern. Es sind also die Schnittstellen zwischen dem Funktionsgraphen und der x - Achse. Wie viele Schnittpunkte können nun die Graphen einer linearen Funktion mit der x - Achse besitzen ( Nullstellen )? Wie viele Nullstellen besitzen quadratische Funktionen? Im folgenden Lehrfilm wird dir diese und werden dir weitere Fragen beantwortet.

Parabeln und Geraden – Anzahl der Nullstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln und Geraden – Anzahl der Nullstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie viele Nullstellen die Funktionen haben.

    Tipps

    Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.

    Der Verlauf einer proportionalen und linearen Funktion ist eine Gerade.

    Bei einer proportionalen Funktion verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

    Lösung

    Die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet $y=bx$. Die zugehörige Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Dieser ist also der Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse. Mehr als einen Schnittpunkt können zwei Geraden, sofern sie nicht identisch sind, nicht besitzen.

    Dieser Fall der identischen Geraden tritt für $b=0$ ein. Dann gibt es unendlich viele Nullstellen.

    Da dies äußerst selten vorkommt, sagt man allerdings, dass proportionale Funktionen 1 Nullstelle haben.

    Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist $y=bx+c$.

    • Wenn $b=0$, verläuft die zugehörige Gerade parallel zur x-Achse. Wenn auch $c=0$ ist, gibt es unendlich viele Nullstellen, da dann $y=0$. Wenn $c \neq 0$, so gibt es 0 Nullstellen.
    • Wenn $b \neq 0$, so gibt es genau 1 Nullstelle. Der Verlauf der linearen Funktion ist eine Gerade, welche die x-Achse einmal schneidet.
    $y=ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion. Der Verlauf einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. In obigem Bild siehst du eine nach oben geöffnete Parabel mit 2 Nullstellen. Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse.

    Nun kannst du die Parabel so in positiver y-Achsenrichtung verschieben, dass der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt. Dann gibt es 1 Nullstelle.

    Wenn du die Parabel noch weiter in positiver y-Achsenrichtung verschiebst, liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse und es gibt 0 Nullstellen.

    Bei quadratischen Funktionen musst du allerdings immer berücksichtigen, in welche Richtung der Funktionsgraph geöffnet ist.

  • Berechne, wo die Nullstellen liegen.

    Tipps

    Setze zur Berechnung der Nullstellen $y=0$ in die Funktionsvorschrift ein und löse die entsprechende lineare Gleichung.

    Lösung

    Allgemein lautet die Gleichung einer proportionalen Funktion $y=bx$. Die dazugehörige Gerade ist, sofern $b \neq 0$, nicht identisch mit der x-Achse, und schneidet die x-Achse im Koordinatenursprung, also bei $x=0$.

    Ganz allgemein setzt du zur Bestimmung von Nullstellen immer $y=0$ in die Funktionsvorschrift ein. Bei der Funktion $y= \frac{1}{2} \cdot x$ sieht das folgendermaßen aus.

    $\begin{align*} y & = \frac{1}{2} \cdot x \\ 0 & = \frac{1}{2} \cdot x \\ x & = 0 \end{align*}$

    Da ein Produkt nur 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist, muss $x=0$ sein. Die Nullstelle liegt also bei $x=0$.

    $y=1,5x-2$ ist die Gleichung einer linearen Funktion. Auch hier setzt du $y=0$ ein und löst die lineare Gleichung nach $x$ auf:

    $\begin{align*} 0& =1,5x-2 &|& +2 \\ 2& =1,5x &|& :1,5\\ \frac{4}{3}&=x \end{align*}$

    Die gesuchte Nullstelle liegt also bei $x = \frac{4}{3}$.

  • Vervollständige die Sätze über Funktionen und Nullstellen.

    Tipps

    Um die Nullstelle zu berechnen, musst du $y=0$ in die Funktionsvorschrift einsetzen und die lineare Gleichung nach $x$ auflösen.

    Wie liegt die zur Funktion $y=bx+c$ gehörende Gerade, wenn $b=0$?

    Lösung

    Die allgemeine Gleichung einer proportionalen Funktion lautet $y=bx$. Sofern $b \neq 0$ gilt, hat die Funktion immer eine Nullstelle bei $x=0$.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=bx+c$. Dabei gibt $b$ die Steigung an und $c$ die Verschiebung auf der y-Achse.

    Wenn $b=0$, so handelt es sich um eine konstante Funktion. Der Funktionsverlauf ist eine Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft. Für $c=0$ liegt die Gerade auf der x-Achse.

    Wenn $b \neq 0$ gilt, gibt es eine Nullstelle, welche durch Auflösen einer linearen Gleichung nach $x$ gefunden werden kann.

    • $y=2x-4$ besitzt 1 Nullstelle, diese liegt bei $x=2$.
    $\begin{align*} 0& =2x-4 &|& +4 \\ 4& =2x &|& :2\\ 2&=x \end{align*}$

    • $y=-\frac{2}{3}x$ besitzt 1 Nullstelle, diese liegt bei $x=0$.
    • $y=3$ ist eine konstante Funktion. Sie besitzt 0 Nullstellen.
    • $y=3x+12$ besitzt 1 Nullstelle, diese liegt bei $x=-4$.
    $\begin{align*} 0& =3x+12 &|& -12 \\ -12& =3x &|& :3\\ -4&=x \end{align*}$

  • Ermittle die Nullstellen der quadratischen Funktion $y=2x^2-4x-6$.

    Tipps

    Denk bei der Anwendung der p-q-Formel daran, dass diese auf die Gleichung $x^2+px+q=0$ angewendet wird.

    Sollte vor dem $x^2$ nicht der Faktor 1 stehen, musst du zunächst einmal die gesamte Gleichung durch diesen Faktor teilen.

    Zu $p$ und $q$ gehören auch die Vorzeichen.

    Lösung

    Die p-q-Formel dient dazu, Lösungen der allgemeinen Gleichung $x^2+px+q=0$ zu bestimmen. Diese lauten $x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\left ( \frac{p}{2}\right )^2-q}$.

    Zunächst gilt es, die Funktion $y=2x^2-4x-6$ für die p-q-Formel vorzubereiten. Dafür setzen wir die Funktion gleich 0 und teilen durch 2, damit das $x^2$ allein steht. Es ergibt sich $0=x^2 -2x -3$ mit den Werten $p=-2$ und $q=-3$. Diese setzen wir nun ein.

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-2}{2}±\sqrt{\left ( \frac{-2}{2}\right )^2-(-3)}\\ &=1±2\\ x_1&=1+2=3\\ x_2&=1-2=-1 \end{align*}$

    Die Nullstellen heißen $x_1=3$ und $x_2=-1$.

  • Bestimme die richtigen Aussagen über die quadratische Funktion $y=x^2 + x + 4$.

    Tipps

    Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

    Welche $x$- und welche $y$-Koordinate hat ein beliebiger Punkt der x-Achse?

    Die p-q-Formel zur Lösung der Gleichung $y=x^2+px+q=$ lautet:

    $x_{1/2} =-\frac{p}{2}±\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    Lösung

    Der Verlauf einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

    $y=x^2+x+4$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel ($a=1$).

    Um die Nullstellen dieser Funktion zu berechnen, setzt du $y=0$ in die Funktionsvorschrift ein.

    $0 =x^2+x+4$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung, welche du mit der p-q-Formel lösen kannst.

    $x_{1/2} =-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-4}$.

    Unter der Wurzel steht eine negative Zahl ($\frac{1}{4}-4=-3,75$). In diesem Fall existiert keine Nullstelle.

  • Entscheide, wie du die Parabel verschieben musst, damit sie keine oder eine Nullstelle hat.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt der Funktion lautet $S(2|2)$.

    Die Funktion ist nach unten geöffnet.

    Wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, existiert, unabhängig von der Öffnung, nur eine Nullstelle.

    Wenn der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Funktion oberhalb der x-Achse liegt, existieren 2 Nullstellen.

    Lösung

    Die Nullstellen der Funktion $y=-\frac{1}{2}x^2+2x$ können mit der p-q-Formel berechnet werden. Hierfür muss die Gleichung noch umgeformt werden:

    $\begin{align*} 0 & =-\frac{1}{2}x^2+2x &|& \cdot(-2) \\ 0 & =x^2-4x \end{align*}$

    Nun wenden wir die p-q-Formel an.

    $\begin{align*} x_{1/2} & =-\frac{-4}{2}±\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2} \\ & = 2±2 \\ x_1&=2+2=4\\ x_2&=2-2=0 \end{align*}$

    Der Term unter der Wurzel ist positiv. Deshalb gibt es 2 Nullstellen. .

    Wenn eine Verschiebung auf der y-Achse stattfindet, sodass $y=-\frac{1}{2}x^2+2x-2$ ist, dann stünde unter der Wurzel 0 und es gäbe nur eine Nullstelle. Dies erkennst du, wenn du dir überlegst, welche Zahl q annehmen müsste, damit in der p-q-Formel unter der Wurzel 0 stünde. Da dies $q=4$ ist, ergibt sich die Gleichung $0 = x^2 - 4x + 4$. Dann würde die ursprüngliche Funktion $y=-\frac{1}{2}x^2+2x-2$ heißen. Es wurde hier noch mit $- \frac{1}{2}$ multipliziert, um die ursprüngliche Form der Funktion wiederzuerhalten.

    Das heißt, dass die Parabel bei Verschiebung um 2 Längeneinheiten in negativer y-Achsenrichtung nur noch eine Nullstelle besitzt. Diese liegt bei $x=2$.

    Bei jeder Verschiebung um mehr als 2 Längeneinheiten in negativer y-Achsenrichtung besitzt die Parabel keine Nullstellen mehr.

    Dies könntest du dir auch an dem Scheitelpunkt klar machen:

    • Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte der beiden Nullstellen, ist also 2.
    • Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du durch Einsetzen von $x=2$ in der Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{2}2^2+2\cdot2=2$. Wenn du nun den Funktionsgraphen um 2 Einheiten nach unten verschiebst, gibt es auf einmal nur noch eine Nullstelle und zwar bei $x=2$.
    • Liegt der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel oberhalb der x-Achse, so existieren 2 Nullstellen.
    • Liegt der Scheitelpunkt, unabhängig von der Öffnung, auf der x-Achse, so existiert eine Nullstelle.
    • Wenn wir unseren Graphen nun um mehr als 2 Einheiten auf der y-Achse nach unten verschieben – zum Beispiel um 4 – dann liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse. Und weil der Scheitelpunkt in diesem Fall der am höchsten gelegene Punkt des Graphen ist, kann es auch keine Nullstellen geben.

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