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Nullstellen quadratischer Funktionen – Beispiel 1

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Martin Wabnik
Nullstellen quadratischer Funktionen – Beispiel 1
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Nullstellen quadratischer Funktionen – Beispiel 1

Wenn die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen sind, haben wir normalerweise einen Funktionsterm gegeben. Den setzen wir gleich 0 und bestimmen die Lösungsmenge der Gleichung. Die Elemente dieser Lösungsmenge sind dann die Nullstellen der gegebenen Funktion. In diesem Video siehst du ein Beispiel, in dem die gegebene Funktion zwei Nullstellen hat. Die quadratische Gleichung kann wie gewohnt mit der p-q-Formel gelöst werden.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. wegen dir bin ich mit einem Fehler durch den Test gekommen 1Fucking Fehler

    Von Fam Remensperger, vor etwa 2 Jahren
  2. Martin für einen der das als Hobby macht sehr starkes wissen Ehrenmann. Mach weiter so

    Von Fam Remensperger, vor etwa 2 Jahren
  3. Hat mir Geholfen, gutes Video danke
    LG Louis

    Von Ella H., vor etwa 3 Jahren

Nullstellen quadratischer Funktionen – Beispiel 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen quadratischer Funktionen – Beispiel 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du die Nullstelle einer quadratischen Funktion findest.

    Tipps

    Zur Ermittlung der Variablen für die $pq$-Formel nutzt du diese allgemeine Gleichung.

    Um die Nullstellen von $f(x)=x^2-4$ zu bestimmen, bestimme die Lösungsmenge von $0=x^2-4$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du folgendermaßen vervollständigen:

    Wenn wir eine quadratische Funktion gegeben haben und ihre Nullstellen berechnen wollen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$.

    Damit erhalten wir die quadratische Gleichung:

    $x^2+2x-3 = 0$

    Die Elemente der Lösungsmenge $\mathbb{L}$ dieser Gleichung sind dann die Nullstellen. Wir können die Berechnung der Nullstellen also einfach auf das Lösen von quadratischen Gleichungen zurückführen. Dafür kennen wir unterschiedliche Verfahren, von denen eines die $pq$-Formel ist. Mit $0=x^2+px+q$ erhalten wir zwei Lösungen:

    $x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2-q}$

    In unserem Fall gilt also:

    • $p=2$
    • $q=-3$
    Wir setzen also ein:

    $x_{1,2}=-\frac 2 2 \pm \sqrt{\left( \frac 2 2 \right)^2-(-3)}$

    Und erhalten durch Vereinfachung:

    $x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+3} = -1 \pm 2$

    Damit können wir $x_1$ und $x_2$ bestimmen:

    • $x_1=-1+2=1$
    • $x_2=-1-2=-3$
    Die Lösungsmenge ist also $\mathbb {L}=\{1, -3\}$ und wir haben Nullstellen bei $x_1=1$ und $x_2=-3$.

  • Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion.

    Tipps

    Eine Nullstelle ist graphisch gesehen die Schnittstelle einer Funktion mit der $x$-Achse.

    Die Nullstelle von $x^2$ liegt bei $x=0$, denn:

    $x^2=0 ~\vert \sqrt{~~}$

    $x_{1,2}=\pm0$

    Lösung

    Eine Nullstelle ist graphisch gesehen die Schnittstelle einer Funktion mit der $x$-Achse. Zur Lösung der Aufgabe berechnen wir die Nullstellen von $f(x)=x^2+2x-3$ und untersuchen mit welchem der Graphen diese übereinstimmen.

    Wir können die Nullstellen rechnerisch mit der $pq$-Formel bestimmen:

    $x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2-q}$

    In unserem Fall gilt also:

    • $p=2$
    • $q=-3$
    Wir setzen also ein:

    $x_{1,2}=-\frac 2 2 \pm \sqrt{\left( \frac 2 2 \right)^2-(-3)}$

    Und erhalten durch Vereinfachung:

    $x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+3} = -1 \pm 2$

    Damit können wir $x_1$ und $x_2$ bestimmen:

    • $x_1=-1+2=1$
    • $x_2=-1-2=-3$
    Die Nullstellen der anderen Funktionen liegen bei:
    • $x=-1$
    • $x=0$
    • $x=3$

  • Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Für die Anwendung der $pq$-Formel muss der Faktor vor dem $x^2$-Term eine $1$ sein. Dividiere dazu die gesamte Gleichung durch den Vorfaktor des $x^2$-Terms.

    Lösung

    Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der $pq$-Formel. Dazu musst du jedoch zuerst dafür sorgen, dass vor dem $x^2$ der Faktor $1$ steht. Dies erreichst du, in dem du durch den Faktor vor dem $x^2$ teilst.

    Dann erhälst du die allgemeine Form:

    $x^2+px+q=0$

    und kannst dann die $pq$-Formel anwenden:

    $x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2-q}$

    Erste quadratische Funktion: $f(x)=3x^2 + 9x + 6$

    Setze den Term gleich $0$:

    $ \begin{align} 3x^2 + 9x + 6 &=& 0 &~~~~\vert& :3 \\ x^2 + 3x + 2 &=& 0 && \end{align} $

    Nutze die $pq$-Formel und wähle $p=3$ und $q=2$:

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac 3 2 \pm \sqrt{\left( \frac 3 2 \right)^2-2} \\ &=&-1,5 \pm \sqrt{2,25-2} \\ &=&-1,5 \pm \sqrt{0,25} \\ &=&-1,5 \pm 0,5 \\ \end{align} $

    • $x_1= -1$
    • $x_2=-2$
    Zweite quadratische Funktion: $f(x) = x^2 - 9x + 18$

    Setze den Term gleich $0$:

    $ x^2 - 9x + 18= 0$

    Nutze die $pq$-Formel:

    Wähle $-9=3$ und $q=18$:

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {-9} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {-9} 2 \right)^2-18} \\ &=&4,5 \pm \sqrt{20,25-18} \\ &=&4,5 \pm \sqrt{2,25} \\ &=&4,5 \pm 1,5 \\ \end{align} $

    • $x_1= 6$
    • $x_2=3$
    Nach dem gleichen Prinzip können wir auch die Nullstellen der anderen Funktionen berechnen.

    Dritte quadratische Funktion: $f(x)=2x^2-3x+1$

    • $x_1= 1$
    • $x_2=0,5$
    Vierte quadratische Funktion: $f(x)=x^2+7x-8$

    • $x_1= 1$
    • $x_2=-8$
  • Ermittle die Nullstellen.

    Tipps

    Die quadratische Funktion $f(x)=x^2+x+1$ hat keine reellen Nullstellen, da wir bei der $pq$-Formel eine negative Zahl unter der Wurzel erhalten und diese damit nicht definiert ist:

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {1} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {1} 2 \right)^2-1} \\ &=&-0,5 \pm \sqrt{0,25-1} \\ &=&-0,5 \pm \sqrt{-0,75} \\ \end{align} $

    Lösung

    Wir berechnen die Nullstellen der Funktionen, um sie eindeutig zuordnen zu können.

    Erste Funktion: $f(x)=x^2+5x+6$

    Nutze die $pq$-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2-q}$

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {5} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {5} 2 \right)^2-6} \\ &=&-2,5 \pm \sqrt{6,25-6} \\ &=&-2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ &=&-2,5 \pm 0,5 \\ \end{align} $

    $x_1=-2,5 + 0,5=-2$

    $x_2=-2,5 - 0,5=-3$

    Es handelt sich also um den violettfarbenen Graphen.

    Zweite Funktion: $g(x)= x^2 + 3x+ 4$

    Mit $pq$-Formel:

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {3} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {3} 2 \right)^2-4} \\ &=&-1,5 \pm \sqrt{2,25-4} \\ &=&-1,5 \pm \sqrt{-1,75} \\ \end{align} $

    Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht definiert, daher gibt es keinen reellen Nullstellen. Es handelt sich um den blauen Graphen.

    Dritte Funktion: $h(x)=x^2-4x+4$

    Mit $pq$-Formel:

    $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {-4} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {4} 2 \right)^2-4} \\ &=&2 \pm \sqrt{4-4} \\ &=&2 \pm \sqrt{0} \\ &=&2 \pm \sqrt{0} \\ \end{align} $

    Da unter der Wurzel eine $0$ steht, hat der Graph eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=2$. Es handelt sich also um den gelben Graphen.

    Vierte Funktion: $j(x)=\frac{-x^2}{2}+x+1,5$

    Nullstellen: $x_1=-1$, $x_2=3$

    Dies ist also der grüne Graph.

    Überzählig bleibt: $k(x)=3x^2+x-6$

  • Ergänze die Nullstellenberechnung.

    Tipps

    Nutze zur Lösung der quadratischen Gleichung die $pq$-Formel.

    Lösung

    Wenn wir eine quadratische Funktion gegeben haben und ihre Nullstellen berechnen wollen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$:

    $x^2+2x-3 = 0$

    Dann nutzen wir die $pq$-Formel:

    $p$ ist stets die Zahl vor dem $x$ und $q$ der Summand ohne $x$. Somit ergibt sich:

    $p=2$

    $q=-3$

    $x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2-q}$

    Wir setzen also ein: $x_{1,2}=-\frac 2 2 \pm \sqrt{\left( \frac 2 2 \right)^2-(-3)}$

    Und erhalten durch Vereinfachung:

    $x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+3} = -1 \pm 2$

    Damit können wir $x_1$ und $x_2$ bestimmen:

    • $x_1=-1+2=1$
    • $x_2=-1-2=-3$

  • Zeige, wo der Ball auf den Boden trifft.

    Tipps

    Das ist die Zeichnung in Johns Heft:

    Lösung

    Die Parabel kannst du dir so vorstellen, wie sie auf dem Bild zusehen ist. John steht auf der $x$-Achse, die wir als Boden ansehen, bei $x=0$. Sein Arm ist beim Loslassen des Balles auf der Höhe $y=1,5$. Der Ball fliegt zunächst hoch und dann sinkt er durch die Schwerkraft langsam Richtung Boden. Da wir die $x$-Achse, also die Punkte mit der $y$-Koordinate gleich $0$, als Boden ansehen, müssen wir für den Punkt, an dem der Ball auf den Boden trifft, die Nullstellen bestimmen.

    Wir berechnen die Nullstellen von $f(x)=-0,2 \cdot x^2+x+1,5$.

    Setze den Term gleich $0$:

    $ \begin{align} -0,2 \cdot x^2+x+1,5 &=& 0 &~~~~\vert& \cdot(-5) \\ x^2 -5x -7,5 &=& 0 && \end{align} $

    Nutze die $pq$-Formel: $ \begin{align} x_{1,2}&=&-\frac {-5} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {-5} 2 \right)^2+7,5} \\ &=&2,5 \pm \sqrt{6,25+7,5} \\ &=&2,5 \pm \sqrt{13,75} \\ &\approx&2,5 \pm 3,708 \\ \end{align} $

    • $x_1\approx -1,21$
    • $x_2\approx 6,21$
    Da der Ball nach vorne geworfen wird, wird nur die positive Nullstelle betrachtet. Der Ball trifft also nach rund $6,21 ~\text{m}$ auf dem Boden.

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