Nullstellen quadratischer Funktionen – Begriffe

Nullstellen quadratischer Funktionen – Begriffe Übung

• Gib Beispiele für die jeweiligen Begriffe an.

  Tipps

  Eine Gleichung wird so genannt, da sie ein Gleichheitszeichen enthält.

  Hier ist ein Beispiel für eine falsche Aussage:

  $0=3^2-5\cdot 2+6$

  Denn $3^2-5\cdot 2+6=9-10+6=5\neq0$.

  Für eine Funktionsgleichung setzen wir den Funktionsterm gleich einer Variablen, zum Beispiel $y$.

  Lösung

  Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann (wenn man zuvor die Variablen durch Zahlen ersetzt hat). In einem Term können Variablen, Zahlen und Rechenzeichen ($+,-,\cdot, :, \dots$) vorkommen, aber keine Relationszeichen ($=, \neq, <, >, \dots$).

  • Beispiel: $x^2-5x+6$

  Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie wird mit einer Funktionsgleichung angegeben. Wenn wir nämlich in den Term auf der rechten Seite einen festen Wert für $x$ einsetzen, wird dem $f(x)$ auch ein eindeutiger Wert zugeordnet.

  • Beispiel: $f(x)=x^2-5x+6$

  Eine Gleichung mit Variablen ist eine Aussageform. Eine Gleichung muss ein Gleichheitszeichen enthalten.

  • Beispiel: $0=x^2-5x+6$

  Die Aussageform wird zu einer Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden. Eine Aussage kann richtig oder falsch sein.

  • Beispiel: $0=2^2-5\cdot 2+6$

  In diesem Fall ist die Aussage richtig.

  Die Lösungsmenge einer Gleichung mit der Variablen $x$ besteht aus allen Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, sodass eine richtige Aussage entsteht.

  • Beispiel $0=x^2-5x+6$: $\mathbb{L}= \{2;3\}$

  Denn $0=2^2-5\cdot 2+6$ und $0=3^2-5\cdot 3+6$ sind richtige Aussagen.

• Benenne die Ausdrücke.

  Tipps

  Eine Aussageform wird zu einer Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden.

  $0=2+6$ ist eine falsche Aussage, denn $2+6=8\neq 0$.

  Die Lösungsmenge wird meistens mit einem $\mathbb{L}$ bezeichnet.

  Lösung

  • Wir betrachten den Term $x^2-5x+6$.

  Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann (wenn man zuvor die Variablen durch Zahlen ersetzt hat). In einem Term können Variablen, Zahlen und Rechenzeichen $({+,-,\cdot, :, \dots})$ vorkommen, aber keine Relationszeichen $({=, \neq, <, >, \dots})$.

  • Um die Nullstellen von der Funktion $f(x)=x^2-5x+6$ zu bestimmen, setzen wir $0=x^2-5x+6$.

  Dies nennen wir eine Aussageform, denn es handelt sich um eine Gleichung mit Variablen.

  Eine Aussageform wird zu einer Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden. Eine Aussage kann richtig oder falsch sein.

  Wir erkennen, dass Folgendes gilt:

  • $0=2^2-5\cdot 2+6$
  • $0=3^2-5 \cdot 3+6$

  Das sind zwei richtige Aussagen.

  • Somit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{2;3\}$.

  Denn die Lösungsmenge einer Gleichung mit der Variablen $x$ besteht aus allen Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, sodass eine richtige Aussage entsteht.

  • Kannst du dasselbe mit dem Term $x^3+1$ machen?

• Entscheide, um welchen mathematischen Begriff es sich handelt.

  Tipps

  Eine Aussage kann richtig oder falsch sein.

  • $-1=1$ falsche Aussage

  • $2-2=0$ richtige Aussage

  Lösung

  Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann (wenn man zuvor die Variablen durch Zahlen ersetzt hat). In einem Term können Variablen, Zahlen und Rechenzeichen ($+,-,\cdot, :, \dots$) vorkommen, aber keine Relationszeichen ($=, \neq, <, >, \dots$).

  Daher handelt es sich hierbei um Terme:

  • $ 3+2-9+x$
  • $ x^1-x^2+x^3$
  • $5 \cdot 2-9x$
  • $x^3+4-5$
  • $x+x\cdot 0$

  Eine Gleichung mit Variablen ist eine Aussageform. Eine Gleichung muss ein Gleichheitszeichen enthalten.

  • $x^2=0$
  • $x^2+1=3$
  • $x^2=3+4-x$
  • $0= x^{10}+3x-5$

  Die Aussageform wird zu einer Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden. Eine Aussage kann richtig oder falsch sein.

  • $1=0$ falsche Aussage
  • $3+4-3^2+10=8$ richtige Aussage
  • $5\cdot 3+2^2=19$ richtige Aussage

• Zeige Beispiele für die mathematischen Begriffe.

  Tipps

  Eine Lösungsmenge einer Gleichung mit der Variablen $x$ besteht aus allen Zahlen, die man für $x$ so einsetzen kann, dass sich eine richtige Aussage ergibt.

  Lösung

  Terme sind Ausdrücke, die du berechnen kannst (wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt wurden).

  • $x^2+9-7x$
  • $2+3+1-7x$
  • $1+1$

  Bei Aussageformen handelt es sich um Gleichungen mit Variablen.

  • $x^2+9-7x=0$
  • $x^3=x+1$
  • $54-3+x^7=7x$
  • $1=x$

  Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Du erkennst sie meist, an dem $f(x)$, $g(x)$ usw..

  • $f(x)=x^2-1$
  • $h(x)=x^3-x^3+x^3$
  • $g(x)=x$

  Aussagen sind Gleichungen ohne Variablen. Sie werden in richtig und falsch unterteilt.

  Richtig:

  • $1=1^1$
  • $5\cdot 3+3^2=24$

  Falsch:

  • $3+6-7^2+7=10$
  • $0=(8-9+0-5)^0$

  Die Lösungsmenge von $0=x^2-4$ ist $\mathbb{L}=\{2,-2\}$. Da $2$ und $-2$ die einzigen Zahlen sind, für die die Gleichung folgende richtige Aussagen liefert:

  • $0=2^2-4$
  • $0=(-2)^2-4$

• Bestimme die korrekten Definitionen.

  Tipps

  Um die Nullstellen von der Funktion $f(x)=x^2-5x+6$ zu bestimmen, setzen wir $0=x^2-5x+6$. Dies nennen wir eine Aussageform, denn es handelt sich um eine Gleichung mit einer Variablen.

  Das ist ein Term: $x^2+3x-8$.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Eine Gleichung mit Variablen ist eine Aussageform.

  Eine Gleichung muss immer ein Gleichheitszeichen enthalten.

  • Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann (wenn man zuvor die Variablen durch Zahlen ersetzt hat). In einem Term können Variablen, Zahlen und Rechenzeichen $(+,-,\cdot, :, \dots)$ vorkommen, aber keine Relationszeichen $(=, \neq, <, >, \dots)$.

  • Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

  Bei diesen Aussagen haben sich ein paar Fehler eingeschlichen:

  • Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann (wenn man zuvor die Variablen durch Zahlen ersetzt hat). In einem Term können Variablen, Zahlen, Rechenzeichen $(+,-,\cdot, :, \dots)$ und Relationszeichen $(=, \neq, <, >, \dots)$ vorkommen.

  Es dürfen keine Relationszeichen $(=, \neq, <, >, \dots)$ in einem Term vorkommen, sonst wäre es eine Gleichung bzw. Ungleichung.

  • Die Lösungsmenge einer Gleichung mit der Variablen $x$ besteht aus einigen Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, sodass eine richtige Aussage entsteht.

  Die Lösungsmenge einer Gleichung mit der Variablen $x$ besteht aus ALLEN Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, sodass eine richtige Aussage entsteht.

  • Die Aussage wird zu einer Aussageform, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden.

  Eine Aussageform ist eine Gleichung mit Variablen. Sie wird zu einer Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen ersetzt werden.

• Erläutere die Begriffe.

  Tipps

  Siehst du ein $>$ oder $<$ in deinem Ausdruck, handelt es sich um eine Ungleichung.

  Eine Funktion hat Nullstellen, eine Gleichung nicht.

  Lösung

  • Nullstellen einer Funktion sind Elemente der Lösungsmenge der Gleichung, wenn wir den Funktionsterm $=0$ setzen.

  Bei der Funktion $f(x)=6x+3$ ist der Funktionsterm $6x+3$.* Setzen wir diesen gleich* $0$ können wir die Nullstellen berechnen.

  • Es gibt richtige Aussagen: $1^0\cdot(-2+2^2+\frac 42)=4$ und falsche: $1^0\cdot(2^2+\frac42)=4$, außerdem gibt es Aussageformen: $1^0\cdot(-x+x^2+\frac4x)=4$.

  Eine Aussageform enthält im Gegensatz zur Aussage Variablen. $1^0\cdot(2^2+ \frac 42)=4$ ist falsch, da $1^0\cdot(2^2+\frac 42)=1\cdot (4+2)=1\cdot 6 = 6 \neq 4$.

  • Die folgende Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-3;3\}$: $1=x^2-8$.

  Da $-3$ und $3$ die einzigen Zahlen sind, die für $x$ eingesetzt werden können, sodass die Aussage richtig ist.

  • In einem Term gibt es Variablen, Zahlen und Rechenzeichen ($+,-,\cdot, :, \dots$), aber KEINE Relationszeichen ($=, \neq, <, >, \dots$).

  Wäre ein Relationszeichen vorhanden, spricht man von einer Gleichung ($=$) oder Ungleichung (z. B.: $<, >$).