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Mittlere Änderungsrate bei Funktionen

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Team Digital
Mittlere Änderungsrate bei Funktionen
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Mittlere Änderungsrate bei Funktionen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du eine bessere Vorstellung über die Bedeutung der mittleren Änderungsrate haben, ihre graphische Deutung kennen und in der Lage sein, die mittlere Änderungsrate einer konkreten Funktion für bestimmte Intervalle mittels Sekantensteigung zu berechnen.

Differenzenquotient Beispiel

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient, Intervall und Sekante.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits grundlegendes Wissen zum Differenzenquotienten haben und wissen, wie man mit dem Steigungsdreieck den Anstieg linearer Funktionen berechnet.

mittlere Änderungsrate

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Weiteres zur Änderungsrate und Differentialrechnung zu lernen.

Transkript Mittlere Änderungsrate bei Funktionen

Radau im Hause Beethoven! Ludwig van Beethoven ist außer sich. Die Intervalle sind noch viel zu groß! Nun, wenn das so ist, muss er sich wohl noch einmal eingehender mit der „mittleren Änderungsrate bei Funktionen“ befassen. Intervalle gibt es nämlich nicht nur in der Musik. Auch in der Mathematik werden sie genutzt, um den Zwischenraum zwischen zwei Werten anzugeben. So gibt zum Beispiel das Intervall „eins, vier“ die Menge aller reellen Zahlen an, die auf der Zahlengerade zwischen eins und vier liegen. Genau deshalb spielen Intervalle eine wichtige Rolle, wenn wir Änderungsraten bei Funktionen bestimmen wollen. Wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern, erkennen wir daran, wie groß die Differenz zwischen den Funktionswerten ist. Wenn wir allerdings die Länge des untersuchten Intervalls miteinbeziehen, erfahren wir, wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern. Dann schauen wir uns diese hübsche Funktion mal genauer an. Der Punkt P liegt am Intervallanfang und der Punkt Q am Intervallende. Wir können auf jeden Fall schonmal feststellen, dass die Funktion im Intervall „eins, vier“ monoton steigend ist. Um den exakten Anstieg in diesem Intervall zu bestimmen, brauchen wir die mittlere Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen x-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Im Grunde genommen ist es nichts anderes als das Steigungsdreieck, das wir schon von den linearen Funktionen kennen. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient deshalb der Steigung der Sekanten s, die die beiden Punkte P und Q miteinander verbindet. Dann fehlen uns für die Berechnung also nur noch die entsprechenden Funktionswerte, also die y-Koordinaten der Punkte P und Q. Die setzen wir in den Differenzenquotienten ein, und erhalten als Maß für die mittlere Änderungsrate „ein Drittel“. Ist doch gar nicht so schwierig! Dann schauen wir direkt zur nächsten Funktion. Hier interessiert uns das Intervall von null bis vier. Bei diesem Beispiel ist der Funktionsgraph monoton fallend, die Änderungsrate muss also negativ sein. Wir markieren jeweils wieder die Punkte an den Intervallgrenzen, und lesen die Koordinaten ab. Dann können wir diese in den Differenzenquotienten einsetzen, und erhalten eine Änderungsrate von minus eins. Achtung! Die Änderungsrate gibt nur die durchschnittliche Steigung in dem Intervall an, sie sagt nichts über den Verlauf des Graphen aus. Der kann nämlich auch ganz unterschiedlich sein. Deshalb ist es bei gekrümmten Funktionen von Vorteil, ein möglichst kleines Intervall zu wählen, um so nah wie möglich am Funktionsgraphen zu bleiben. Im Gegensatz dazu hat die Größe des Intervalls bei linearen Funktionen keinen Einfluss auf die Genauigkeit des Differenzenquotienten. Lineare Funktionen haben in jedem Intervall die gleiche Konstante Änderungsrate, denn sie steigen immer gleich schnell an. Sind nicht nur die Punkte am Intervallanfang und Intervallende, sondern auch die Funktionsgleichung bekannt, können wir die mittlere Änderungsrate für beliebige Intervalle berechnen. Nehmen wir unsere alte Bekannte, die Normalparabel. Um die Änderungsrate für verschiedene Intervalle zu berechnen, müssen wir jeweils einen Differenzenquotienten aufstellen. Anschließend nur noch schnell die Funktionswerte berechnen, und dann können wir auch schon die mittlere Änderungsrate angeben. An den Ergebnissen können wir erkennen, dass die Parabel im zweiten Intervall durchschnittlich viermal so schnell steigt wie im ersten Intervall. Graphisch macht sich das an einem steileren Verlauf des Graphen bemerkbar. Fassen wir die wichtigsten Aspekte noch einmal zusammen. Bei Funktionen sind oft nicht die einzelnen Funktionswerte wichtig, sondern deren Entwicklung. Dabei betrachten wir durch ein Intervall nur einen Ausschnitt der Funktion. Wir unterscheiden zwischen der absoluten Änderung der Funktion, also der Differenz der Funktionswerte, und der mittleren Änderungsrate der Funktion, bei der die länge des Intervalls miteinbezogen wird. Die mittlere Änderungsrate ist dabei ein Maß dafür, wie schnell sich die Funktionswerte in einem Intervall durchschnittlich ändern. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q, und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. Je kleiner wir dabei das Intervall wählen, umso dichter nähern wir uns dem Funktionsgraphen an und umso besser schmiegt sich die Sekante an den Funktionsverlauf an. So, und jetzt kann sich hoffentlich auch der bockige Beethoven wieder beruhigen und entspannt weiterkomponieren.

Mittlere Änderungsrate bei Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittlere Änderungsrate bei Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man das Änderungsverhalten von Funktionen mathematisch untersuchen kann.

    Tipps

    Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Die absolute Änderung einer Funktion im Intervall $\lbrack a: b \rbrack$ ist $f(a)-f(b)$.

    Lösung

    Ein Intervall gibt den Bereich zwischen zwei Werten an. Das Intervall $\lbrack 1; 4 \rbrack$ beispielsweise enthält die Menge aller reellen Zahlen, die auf der Zahlengerade zwischen $1$ und $4$ liegen.

    Wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern, erkennen wir daran, wie groß die Differenz zwischen den Funktionswerten ist. Wir sprechen dann von der absoluten Änderung der Funktion.

    Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir hingegen an der mittleren Änderungsrate. Dabei wird neben der absoluten Änderung der Werte auch die Länge des Intervalls mit einbezogen. Wir dividieren die Differenz der Funktionswerte (absolute Änderung) durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte (Länge des Intervalls). Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Dieser entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe eines Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt beschreibt der Differenzenquotient deshalb die Steigung der Sekanten $s$, welche die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

  • Berechne den Differenzenquotienten im Intervall $\lbrack 0; 4 \rbrack$

    Tipps

    Bei dem Punkt $Q(4 | 2)$ ist $4$ der $x$-Wert. Der zugehörige Funktionswert ist $f(4) = 2$.

    Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Lösung

    Wir unterscheiden zwischen der absoluten Änderung einer Funktion, also der Differenz der Funktionswerte, und der mittleren Änderung einer Funktion.

    Die mittleren Änderungsrate können wir durch den Differenzenquotienten ermitteln. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Dies entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

    Allgemein lautet der Differenzenquotient einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Unser Intervall lautet $\lbrack 0; 4 \rbrack$, außerdem haben wir die beiden Punkte $P$ und $Q$ gegeben.
    Es gilt:

    • $a=0$
    • $b=4$
    • $f(a) = f(0) = 5$
    • $f(b) = f(4) = 1$
    Wir können nun einsetzen und erhalten:

    $\dfrac{1-5}{4-0} = \dfrac{-4}{4} = -1$

  • Untersuche die Funktion in den gegebenen Intervallen.

    Tipps

    Du kannst einen Funktionswert berechnen, indem du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung $f(x)=2x^2+1$ einsetzt.

    Beispiel: $x=2$

    $f(2)=2 \cdot 2^2+1 = 2 \cdot 4+1=8+1=9$

    Die Länge des Intervalls $\lbrack a; b \rbrack$ berechnen wir mit $b-a$.

    Zur Bestimmung der mittleren Änderungsrate dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Länge des Intervalls.

    Lösung

    Wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern, erkennen wir daran, wie groß die Differenz zwischen den Funktionswerten ist. Wir sprechen dann von der absoluten Änderung der Funktion.

    Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir hingegen an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term auch Differenzenquotient genannt.

    Die Länge eines Intervalls ergibt sich, indem wir die Differenz der Intervallgrenzen bilden.
    Ein Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ hat also allgemein die Länge: $b - a$.

    Wir untersuchen nun die Funktion $f(x)=2x^2+1$:

    Intervall 1: $\lbrack 1; 3 \rbrack$

    Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen:

    • $f(3)= 2 \cdot 3^2+1= 18+1=19$
    • $f(1)= 2 \cdot 1^2+1= 2+1=3$
    Die absolute Änderung der Funktion beträgt also $f(3)-f(1)=19-3=16$.
    Die Länge des Intervalls ist $3-1=2$.
    Die mittlere Änderungsrate können wir nun wie folgt bestimmen: $\frac{16}{2}=8$

    Intervall 2: $\lbrack -2; -1 \rbrack$

    Wir bestimmen erneut die beiden Funktionswerte an den Intervallgrenzen:

    • $f(-1)= 2 \cdot (-1)^2+1= 2+1=3$
    • $f(-2)= 2 \cdot (-2)^2+1= 8+1=9$
    Die absolute Änderung der Funktion beträgt also $f(-1)-f(-2)=3-9=-6$.
    Die Länge des Intervalls ist $-1-(-2)=1$.
    Die mittlere Änderungsrate können wir nun wie folgt bestimmen: $\frac{-6}{1}=-6$

    Anhand der Vorzeichen unserer Ergebnisse können wir erkennen, dass der Funktionsgraph im ersten Intervall $\lbrack 1; 3 \rbrack$ steigt und im zweiten Intervall $\lbrack -2; -1 \rbrack$ fällt.

  • Entscheide, ob der Differenzenquotient der Funktion in einem Intervall positiv oder negativ ist.

    Tipps

    Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient der Steigung einer Sekanten, welche den Funktionsgraphen an den Intervallgrenzen schneidet.

    Wenn die Funktion in einem Intervall steigt, so ist die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall positiv.

    Lösung

    Der Differenzenquotient einer Funktion im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ lautet:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Er gibt die mittlere Änderungsrate an und entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient deshalb der Steigung der Sekanten, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet. Daher gilt:

    • Ist die Funktion in einem Intervall steigend, so ist der Differenzenquotient über dieses Intervall positiv.
    • Ist die Funktion in einem Intervall fallend, so ist der Differenzenquotient über dieses Intervall negativ.
    Ist der Funktionsgraph in Teilen des gegebenen Intervalls steigend und in Teilen fallend, so betrachten wir die Steigung einer gedachten Sekanten, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

    In folgenden Intervallen steigt der Funktionsgraph bzw. die gedachte Sekante, der Differenzenquotient ist daher positiv:

    • $\lbrack -2; 0 \rbrack$
    • $\lbrack -2; -1,5 \rbrack$
    • $\lbrack 3; 3,5 \rbrack$
    • $\lbrack 1; 4 \rbrack$
    • $\lbrack -2; 1 \rbrack$
    In folgenden Intervallen fällt der Funktionsgraph, der Differenzenquotient ist daher negativ:

    • $\lbrack -4; -3 \rbrack$
    • $\lbrack 0; 0,1 \rbrack$
    • $\lbrack 1; 1,5 \rbrack$
  • Nenne die Fachbegriffe für die in der Abbildung dargestellten Elemente.

    Tipps

    Eine Sekante ist eine Gerade, welche den Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet.

    Lösung

    Das Intervall:
    Ein Intervall $\lbrack a; b\rbrack$ enthält die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen den Intervallgrenzen $a$ und $b$ liegen. Wir können es auf der $x$-Achse als Abschnitt zwischen den Intervallgrenzen darstellen.

    Funktionsgraph:
    Eine Funktion kann im Koordinatensystem durch einen Funktionsgraphen dargestellt werden. Die grüne Kurve ist der Funktionsgraph.

    Steigungsdreieck:
    Mithilfe eines Steigungsdreiecks kann man bei linearen Funktionen die Steigung ermitteln. Bei nicht linearen Funktionen können wir mithilfe des Steigungsdreiecks den Differenzenquotienten und damit die mittlere Änderungsrate bestimmen. Das Steigungsdreieck ist hier rot dargestellt.

    Sekante:
    Eine Sekante ist eine Gerade, welche einen Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet. Ihre Steigung entspricht der mittleren Änderungsrate der Funktion in dem Intervall zwischen diesen beiden Punkten. Die Sekante ist blau dargestellt.

  • Berechne den Differenzenquotienten.

    Tipps

    Der Differenzenquotient einer Funktion im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ lautet:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Berechne jeweils zunächst die Funktionswerte und setze dann in die Formel für den Differenzenquotienten ein.

    Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an. Er ist stets positiv.

    Beispiele:

    • $|-4| = 4$
    • $|3| = 3$
    • $|-8| = 8$
    • $|1,5| = 1,5$
    Lösung

    Der Differenzenquotient einer Funktion im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ lautet:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Er gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, die sogenannte mittleren Änderungsrate. Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte dividieren.

    Beispiel 1: Wir untersuchen die Funktion $f(x)=x^3$ im Intervall $\lbrack 0; 2 \rbrack$:

    Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen:

    • $f(2)= 2^3=8$
    • $f(0)= 0^3=0$
    Wir setzen nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein und berechnen:

    $\frac{8-0}{2-0} = \frac{8}{2} = 4$

    Beispiel 2: Wir untersuchen die Funktion $f(x)=|2x|$ im Intervall $\lbrack -1; -0,5 \rbrack$:

    Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen:

    • $f(-0,5)= |2 \cdot (-0,5)| = |-1| = 1$
    • $f(-1)= |2 \cdot (-1)| = |-2| = 2$
    Wir setzen nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein und berechnen:

    $\frac{1-2}{-0,5-(-1)} = \frac{-1}{0,5} = -2$

    Beispiel 3: Wir untersuchen die Funktion $f(x)=\frac{x}{2+x}$ im Intervall $\lbrack 6; 8 \rbrack$:

    Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen:

    • $f(8)= \frac{8}{2+8}=\frac{8}{10}=0,8$
    • $f(6)= \frac{6}{2+6} = \frac{6}{8} = 0,75$
    Wir setzen nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein und berechnen:

    $\frac{0,8-0,75}{8-6} = \frac{0,05}{2} = 0,025$

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