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Mit Flächeneinheiten rechnen

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Team Digital
Mit Flächeneinheiten rechnen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Mit Flächeneinheiten rechnen

Inhalt

Einführung: Zooplanung

Für die Planung eines Zoos ist die Grundstücksgröße sehr wichtig. Dazu muss man die Flächen der einzelnen Gehege abschätzen und dann addieren. Wir müssen also mit Flächeneinheiten rechnen können.

Flächeneinheiten umwandeln mit der Einheitentafel

Für das Rechnen mit Längen in Mathe ist es wichtig, dass wir Flächeneinheiten umrechnen können. Zum Umrechnen von Flächeneinheiten können wir die Einheitentafel verwenden. Darin können wir die Flächenangaben eintragen und dann in anderen Einheiten ablesen. Die Einheitentafel bzw. Einheitentabelle von Flächeneinheiten sieht so aus:

$\text{km}^2$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$

Beim Eintragen von Flächen in die Einheitentafel orientieren wir uns immer an dem Einer. Es darf in jedes Kästchen nur eine Ziffer eingetragen werden.
Wir tragen $0,115~\text{km}^2$ in die Einheitentafel ein. Dazu orientieren wir uns an der Einerstelle, also der $0$, und tragen diese in die $\text{km}^2$-Spalte ein:

$\text{km}^2$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$
0 1 1 5

Wir können nun die Fläche in anderen Einheiten ablesen, indem wir Nullen auffüllen:

$\text{km}^2$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$
0 1 1 5 0 0 0 0 0

$0,115~\text{km}^2$ sind also $115\,000~\text{m}^2$ oder auch $11\,500\,000~\text{dm}^2$.

Wenn wir $78\,650~\text{dm}^2$ in die Einheitentafel eintragen wollen, betrachten wir die Einerstelle der Angabe, dies ist eine $0$. Sie kommt in die $\text{dm}^2$-Spalte:

$\text{km}^2$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$
7 8 6 5 0

$78\,650~\text{dm}^2$ sind also zum Beispiel $786,5~\text{m}^2$.

Addition und Subtraktion von Flächenangaben

Zum Rechnen mit Flächeneinheiten gehen wir beim Addieren und Subtrahieren wie folgt vor:

  1. Wir bringen die Flächen mithilfe der Einheitentafel auf eine gemeinsame Einheit.
  2. Wir schreiben diese Zahlen stellengerecht untereinander und addieren/subtrahieren schriftlich.
  3. Die Einheit übernehmen wir für das Ergebnis.

Beispiel zum Addieren von Flächen

Wir wollen $0,115~\text{km}^2$, $6\,252~\text{m}^2$ und $78\,650~\text{dm}^2$ addieren. Wir tragen die drei Zahlen in die Einheitentafel ein und wählen als gemeinsame Einheit $\text{m}^2$. Wir addieren also $115\,000~\text{m}^2$, $6\,252~\text{m}^2$ und $786,5~\text{m}^2$:

Addieren von Flächeninhalten

Nach dem Rechnen mit den Längen behalten wir die Einheit bei. Wir erhalten das Ergebnis $122\,038,5~\text{m}^2$.

Hinweis: Beim Subtrahieren von Flächeninhalten gehen wir genauso vor.

Multiplikation und Division von Flächenangaben

Beim Vervielfachen von Flächeneinheiten – also beim Multiplizieren von Flächen mit einer natürlichen Zahl – bleibt die Einheit so, wie sie ist. Das Gleiche gilt für das Aufteilen von Längen – also für das Dividieren durch eine natürliche Zahl. Wir gehen also wie folgt vor:

  1. Wir multiplizieren/dividieren die Zahlen.
  2. Die Einheit übernehmen wir für das Ergebnis.

Beispiel zum Multiplizieren von Flächenangaben mit einer natürlichen Zahl

Wir berechnen $122\,038,5~\text{m}^2 \cdot 3$. Wir behalten die Einheit $\text{m}^2$ bei:

$122\,038,5~\text{m}^2 \cdot 3 = 366\,127,92~\text{m}^2$

Beispiel zum Dividieren von Längenangaben durch eine natürliche Zahl

Wir berechnen $165\,600~\text{cm}^2:4$. Wir behalten die Einheit $\text{cm}^2$ bei:

$165\,600~\text{cm}^2:4 = 41\,400~\text{cm}^2$

Erweiterung der Einheitentabelle von Flächeneinheiten

Bei Verkaufsanzeigen für große Grundstücke werden häufig die Einheiten Ar ($1~\text{a}$) und Hektar ($1~\text{ha}$) verwendet. Es gilt:

  • $100~\text{m}^2 = 1~\text{a}$
  • $100~\text{a} = 1~\text{ha}$

Ergänzen wir diese Einheiten in der Einheitentafel, hat jede Einheit ganz gleichmäßig zwei Spalten:

$\text{km}^2$ $\text{ha}$ $\text{ha}$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$

Wir tragen die Fläche $366\,127,92~\text{m}^2$ in diese Einheitentafel ein:

$\text{km}^2$ $\text{ha}$ $\text{ha}$ $\text{m}^2$ $\text{dm}^2$ $\text{cm}^2$ $\text{mm}^2$
3 6 6 1 2 7 9 2

Wir können nun die Angabe auch in $\text{a}$ und $\text{ha}$ ablesen:

$366\,127,92~\text{m}^2 = 3\,661,2792~\text{a}= 36,612792~\text{ha}$

Zusammenfassung: mit Flächeneinheiten rechnen

In diesem Video zum Rechnen mit Flächeneinheiten wird zunächst das Umwandeln von Flächeneinheiten wiederholt. Am Beispiel der Planung eines Zoos wird dann das Addieren und Subtrahieren von Flächeneinheiten erklärt. Anschließend werden Flächeneinheiten auch multipliziert und dividiert.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Mit Flächeneinheiten rechnen.

Transkript Mit Flächeneinheiten rechnen

Luisa will einen neuen Zoo aufmachen und plant dafür die benötigte Grundstücksgröße. Um ihren Plan zu verstehen, werden wir mit Flächeneinheiten rechnen. Prima wäre es, wenn du dich dafür schon ein wenig mit dem Umrechnen von Flächeneinheiten auskennst. In diesem Video verwenden wir dafür die Einheitentafel. Darin tragen wir Flächenangaben ein und lesen die Größe dann in anderen Einheiten einfach ab. Achte dabei aber immer auf die korrekte Anzahl an Spalten! Luisa braucht ein 0,115 km² großes Elefanten-Gehege, ein 6252 m² großes Affenhaus und ein 78.650 dm² großes Papageien-Gehege. Für das Eintragen der Zahlen in die Einheiten-Tafel orientieren wir uns nun immer an dem einer. Bei den Elefanten ist das die Null, sie gehört in die Quadratkilometer-Spalte. Auch bei den Affen nehmen wir den einer - der ist hier 2. Er kommt in die Quadratmeter-Spalte. Bei den Papageien kommt der einer, also diese Null, in die Quadratdezimeter-Spalte. Nun können wir unsere Zahlen in der gewünschten Flächeneinheit ablesen. Wollen wir die Größe des Elefantenhauses zum Beispiel in Quadratmetern ablesen, müssen wir nur Nullen bis zu diesem Feld ergänzen, denn dies ist der einer der Quadratmeter. So kommen wir auf 115.000 m². Wollen wir die Zahl jedoch in Quadratdezimetern ablesen, ergänzen wir noch mehr Nullen, denn hier ist der Einer von dieser Einheit. So kommen wir auf 11.500.000 dm². Das Papageien-Gehege in Quadratmetern abgelesen hat an der Einer-Stelle eine 6, ist also 786,5 m² groß. Für die Addition der Zahlen müssen wir immer eine gemeinsame Einheit wählen. Um möglichst wenige Nachkommastellen und wenige Nullen zu bekommen, nehmen wir hier Quadratmeter. Wir addieren: 115.000 m² plus 6252 m² plus 786,5 m². Das Ergebnis erhält dann dieselbe Einheit. Die Gesamtgröße der drei Gehege ergibt schließlich 122.038,5 m². Luisa besitzt außerdem vier private Koi-Becken. Eines möchte sie in den neuen Zoo verlegen. Sie sind gleich groß und haben eine Gesamtfläche von 165.600 cm². Um die Größe eines einzelnen Beckens herauszufinden, dividieren wir diese Fläche durch vier. Für das Ergebnis übernehmen wir die Einheit einfach und dividieren die Zahl der Flächengröße durch 4. So kommen wir zu einer einzelnen Beckengröße von 41.400 cm². Zum Umformen der Einheit nehmen wir wieder unsere Tabelle und schreiben den einer unserer Zahl in die Quadratzentimeter-Spalte. Wir können die Koi-Becken-Größe nun auch als 4,14 m² ablesen. Dies addieren wir noch zu unserer bisherigen Flächensumme dazu und kommen so auf 122.042,64 m². Doch auch Zoobesucher, Stände und Häuschen brauchen ihren Platz. Daher multiplizieren wir die Fläche nun einfach noch mit 3. Wie bei der Division übernehmen wir für das Ergebnis die Einheit und multiplizieren die Zahl der Flächengröße mit 3. Das endgültige Ergebnis ist dann ein Zoofläche von 366.127,92 m². Lass uns noch die passende Einheit wählen. Die Verkaufsanzeigen für so große Grundstücke benutzen oft nur die Einheiten Ar und Hektar. Dazu musst du wissen, dass 100 Quadratmeter einem Ar und 100 Ar einem Hektar entspricht. Ergänzen wir also noch diese Einheiten in unserer Einheiten-Tafel. Durch diese Ergänzung hat jede Einheit ganz gleichmäßig zwei Spalten. Nun können wir unseren berechneten Flächenbedarf auch in diesen Einheiten ablesen und kommen auf 3.661,2792 Ar und auf 36,612792 Hektar. Hier eine kurze Zusammenfassung: Um Flächengrößen in verschiedenen EInheiten zu addieren oder übrigens auch zu subtrahieren, musst du sie erst auf eine gemeinsame Einheit bringen. In diesem Video haben wir für das Umrechnen der Einheit die Einheitentafel verwendet. Falls du dafür jedoch eine andere Methode verwenden magst, kannst du das natürlich machen. Die zu dieser Einheit passenden Zahlen verrechnest du dann und die gemeinsame Einheit übernimmst du einfach. Beim vervielfachen sowie beim Aufteilen einer Fläche musst du direkt nur die Zahlen multiplizieren beziehungsweise dividieren und übernimmst die Flächeneinheit für das Ergebnis. Der Plan für den Zoo steht. Oder?

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Captain America, vor 5 Monaten
  2. Danke für das tolle Video!

    Von Pineapple, vor 12 Monaten
  3. Planet der ^ffen Teil lV coming sooner than U think

    Von von Gill Bates vor'ner Minute, vor etwa einem Jahr
  4. Die ^ffen konnen sogar noch rechen

    Von von Gill Bates vor'ner Minute, vor etwa einem Jahr
  5. Hat mir super geholfen

    Von Melina, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Mit Flächeneinheiten rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Flächeneinheiten rechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Maßeinheiten an.

    Tipps

    Ein $\text{m}^2$ sind dasselbe wie $100~\text{dm}^2$.

    Teilst Du eine Fläche von $7~\text m^2$ in zwei gleich große Stücke, so hat jedes der Stücke eine Fläche von $3,5~\text m^2$.

    Du kannst Flächengrößen direkt addieren, wenn sie alle in derselben Maßeinheit angegeben sind.

    Lösung

    Die Fläche des geplanten Elefantengeheges beträgt $0,115~\text{km}^2$. Umgerechnet sind das $115000~\text{m}^2$. Das Affengehege soll $6252~\text{m}^2$ groß sein. Für die Papageien braucht Luisa $78650~\text{dm}^2$. Umgerechnet sind das $786,5~\text{m}^2$.

    Die Gesamtflächeninhalt der drei Gehege ist die Summe der einzelnen Flächeninhalte. Um die Summe zu bestimmen, kann Luisa die einzelnen Flächeninhalte in derselben Maßeinheit addieren. Luisa addiert also $115000~\text{m}^2$. und $6252~\text{m}^2$ und noch $786,5~\text{m}^2$. Das ergibt $0,1220~\text{km}^2$.

    Die Fläche von vier Delfinbecken beträgt $165600~\text{cm}^2$. Die Becken sind alle gleich groß, daher kann Luisa die Größe eines Beckens bestimmen, indem sie die Zahl der Flächengröße durch $4$ dividiert. Die Maßeinheit lässt sie unverändert. Luisa kommt so auf eine Größe von $41400$ $\text{cm}^2$ pro Becken. Das entspricht $414$ $\text {dm}^2$.

    Luisa addiert noch die Größe eines einzelnen Delfinbeckens zu der Gesamtfläche der drei anderen Gehege. Um die Zahl der Flächengrößen zu der bisherigen Flächengröße addieren zu können, muss sie die Größe des Delfinbeckens in die Maßeinheit $\text m^2$ umrechnen. Sie kommt dabei auf $4,14$ $\text m^2$.

    Die Summe der Flächengrößen beträgt schließlich $122042,64$ $\text m^2$.

  • Gib die Umrechnung der Maßeinheiten an.

    Tipps

    Das Wort „Hektar“ ist eine Kurzform für „Hekto-Ar“.

    Ein $\text{km}$ sind tausend $\text m$, daher sind ein $\text{km}^2$ tausend mal tausend $\text m^2$.

    Das Fünffache von $7~\text{km}^2$ sind $35~\text{km}^2$.

    Lösung

    Richtig sind die folgenden Aussagen:

    • „$100~\text a$ entsprechen $1~\text{ha}$.“
    • Verdreifacht man einen Flächeninhalt, so bleibt die Maßeinheit dieselbe.“
    • „$78650~\text{dm}^2$ sind dasselbe wie $786,50~\text m^2$.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „$0,115~\text{km}^2$ entsprechen $115~\text{m}^2$.“ Ein $\text{km}$ entspricht $1000~\text m$, daher ist $1~\text{km}^2 = 1000 \cdot 1000~\text{m}^2$. Das bedeutet: $0,115~\text{km}^2 = 115\hspace{0.8pt}000~\text m^2$.
    • „Beim Eintragen der Maße in die Einheitentafel orientiert man sich an der größten Stelle.“ Tatsächlich orientert man sich an der Einer-Stelle und trägt diese in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.
    • „In der Einheitentabelle stehen die Einer aller Einheiten in derselben Spalte.“ Jede Maßeinheit bekommt eine eigene Spalte. Nur wenn zwei Maßeinheiten gleich groß sind, darfst Du sie in dieselbe Spalte der Einheitentafel eintragen.
    • „Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten kannst Du direkt zusammenzählen, ohne die Einheiten zu beachten.“ Um Flächeninhalte verrechnen zu können, musst Du sie vorher in eine gemeinsame Einheit umrechnen.
  • Erschließe die Maßeinheiten und Flächengrößen.

    Tipps

    Du kannst die Flächengrößen direkt addieren, wenn sie in derselben Maßeinhet angegeben sind.

    Um einen Flächeninhalt zu vervielfachen genügt es, die Maßzahl zu vervielfachen; die Maßeinheit bleibt unverändert.

    $1~\text{ha}$ sind $100~\text a$ oder $10\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.

    Lösung

    Für die Küchenkräuter sind $265~\text{dm}^2$ vorgesehen, das entspricht $2,65$ $\text{m}^2$. Die Möhren-, Kartoffel- und Kräuterbeete haben zusammen einen Flächeninhalt von:

    $3,7~\text m^2 + 2,65~\text m^2 + 7,8~\text m^2 = 14,15~\text m^2 = 1\hspace{2pt}415\text{dm}^2$

    Für die Tomaten brauchen die Schülerinnen und Schüler mindestens $17$ mal so viel Platz, wie jeder einzelne Blumentopf einnimmt. Das sind also:

    $17 \cdot 115~\text{cm}^2 = 1\hspace{2pt}955~\text{cm}^2$

    Umgerechnet sind das $0,1955~\text{m}^2$.

    Die Fläche der Biotope soll genauso groß werden wie die des Teiches, also $3,64~\text m^2$. Diesen Flächeninhalt teilen die Schülerinnen und Schüler in in vier gleich große Stücke. Jedes hat dann den Flächeninhalt:

    $3,64~\text m^2:4 = 0,91~\text m^2 =91~\text{dm}^2$

    Die Fläche des Teiches und der vier umliegenden Biotope beträgt zusammen:

    $2 \cdot 3,64~\text m^2 = 7,28~\text m^2 = 72\hspace{2pt}800~\text{cm}^2$

    Der Flächenbedarf für alle Beete, den Teich und die Biotope zusammen beträgt nun bereits:

    $14,15~\text m^2 + 0,1955~\text{m}^2 + 7,28~\text m^2 = 21,6255~\text{m}^2$.

    Ein Drittel der bisherigen Fläche wird zusätzlich für Wege eingeplant. Das sind noch einmal

    $21,6255~\text{m}^2:3=7,2085~\text m^2$

    Alles in allem kommen die Schülerinnen und Schüler für ihren Schulgarten auf:

    $21,6255~\text{m}^2 + 7,2085~\text m^2 = 28,834~\text m^2= 0,28834~\text{a}$

    Jetzt aber ran an die Spaten!

  • Vergleiche die Flächeninhalte.

    Tipps

    $1000~\text m^2$ sind dasselbe wie $10~\text a$.

    Ein quadratisches Flächenstück von $2~\text{dm} = 20~\text{cm}$ Kantenlänge hat einen Flächeninhalt von $2 \cdot 2~\text{dm}^2$.

    Ein quadratisches Flächenstück von $10~\text{m}$ Kantenlänge hat den Flächeninhalt $1~\text a$.

    Lösung

    Beim Umrechnen der Maßeinheiten musst Du die Stellenwerte berücksichtigen. In der durch $\text a$ und $\text{ha}$ erweiterten Einheitentafel haben je zwei benachbarte Einheiten denselben Abstand, d.h. die Hunderter jeder Einheit entsprechen den Einern der nächst größeren Einheit. Du erhältst damit folgende Zuordnung:

    • $122380~\text m^2 = 1223,8~\text a$
    • $12345~\text{ha} = 123,45~\text{km}^2$
    • $12345~\text{dm}^2 = 123,45~\text{m}^2$
    • $12238~\text{dm}^2 = 122,38~\text{m}^2$
    • $1234,5~\text a = 123450~\text{m}^2$
  • Stelle die Flächeninhalte in der Einheitentafel dar.

    Tipps

    Orientiere dich zur Eintragung an den Einern der jeweiligen Maßeinheit.

    Den Einer einer Maßeinheit trägst du in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.

    Die Ziffern des Flächeninhaltes in $\text{km}^2$ stehen am Weitesten links.

    Lösung

    Beim Eintragen des Flächeninhalts in die Einheitentabelle musst Du Dich immer an dem Einer der jeweiligen Einheit orientieren. Der Einer gehört in die Spalte, über der der Name der Einheit steht. Der Einer der $0,115~\text{km}^2$ ist die $0$, diesen trägs Du in die $\text{km}^2$-Spalte ein. Der Einer der $6252~\text{m}^2$ ist die rechte $2$, die trägst Du in die $\text m^2$-Spalte ein. Schließlich ist der Einer der $78650~\text{dm}^2$ die $0$, sie gehört in die $\text{dm}^2$-Spalte.

    Damit ergibt sich dieses Bild.

  • Analysiere die Flächenberechnungen.

    Tipps

    Rechne die Flächeninhalte in eine gemeinsame Maßeinheit um und addiere dann die Zahlen.

    Lösung

    Folgende Berechnungen sind richtig:

    • Die benötigte Fläche beträgt $3~\text{ha}$ für Futterrüben, $0,025~\text{km}^2 = 2,5~\text{ha}$ Weideland und $713~\text a = 7,13~\text{ha}$ Bambus. Zusammen sind das $3~\text{ha} + 2,5~\text{ha} + 7,13~\text{ha} = 12,63~\text{ha} = 1\hspace{2pt}263~\text{a} = 126\hspace{2pt}300~\text{m}^2$, also mehr als $125\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.
    • Die Fläche außerhalb der beiden Strafräume beträgt $7\hspace{2pt}140~\text{m}^2 - 2 \cdot 665,28~\text{m}^2 = 5\hspace{2pt}809,44~\text{m}^2 = 0,580944~\text{ha}$, das sind weniger als $0,6~\text{ha}$.
    Diese Berechnungen sind falsch:

    • Für die Zoo-Erweiterung benötigt Luisa $17~\text{ha} = 0,17~\text{km}^2$ für die Löwen, $1\hspace{2pt}380~\text{m}^2 = 0,138~\text{ha} =0,00138\text{km}^2$ für Schmetterlinge und $3~\text a = 0,0003~\text{km}^2$ für Spielplätze. Das macht zusammen $17,168~\text{ha} = 0,17168~\text{km}^2$. Das angebotene Grundstück ist mit $0,170338~\text{km}^2$ ist für die Zoo-Erweiterung zu klein.
    • Die Waldfläche von $106\hspace{2pt}170~\text{km}^2$ zusammen mit der Wasserfläche von $821\hspace{2pt}900~\text{ha} = 8\hspace{2pt}219~\text{km}^2$ beträgt etwa $114\hspace{2pt}389~\text{km}^2 \approx 114~$ Milliarden $\text{m}^2$.
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