Mehrstufige Zufallsexperimente – Sechsen würfeln

„Warum bekomm ich keine 6?“ „Das kann doch nicht sein!“ „Doch!“ „Sieh mal: Der Würfel hat eine 6. Ich nehme das Ereignis A: Ich würfle eine 6. Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit P(A) eine 6 zu würfeln: P(A)=1/(1+1+1+1+1+1). Jede 1 steht für eine der sechs Augen auf dem Würfel. Wir erhalten 1/6 und das ist rund 17 %.“ „Na immerhin! Und wie kann ich die Wahrscheinlichkeit erhöhen?“ „Du musst häufiger würfeln!“ „Dann würfele ich zweimal!“ „Ooooh, wird auch nicht besser!“ „Wollen wir doch mal schauen! „P(A)=1/6 und noch einmal P(A)=1/6. Nehmen wir das Ereignis B: Wir würfeln zweimal und erhalten eine 6. P(B)=P(A)×P(A)=1/6×1/6=1/36, und das ergibt ungefähr 2,8 %.“ „Ooooh, das ist ja noch schlimmer!“ „Stopp! Das mathematische Gewissen legt sein Veto ein: Du hast für B ein falsches Ereignis angegeben! Wir würfeln zweimal und erhalten zwei Sechsen. So muss es richtig heißen!“ „Zwei Sechsen brauch ich nicht!“ „Dann mal doch ein Bäumchen!“ „Oh fein! Tannenbäumchen!“ „Nein, einen Ereignisbaum.“ „So. Die ganze Arbeit lastet wieder auf mir! Ich muss jetzt starten und für den ersten Wurf die 6 möglichen Ergebnisse skizzieren. Man hat 6 Elementarereignisse entsprechend den Augen 1 bis 6 mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von 1/6. Aber den zweiten Wurf bekomme ich gar nicht mehr hin. Das wird zu groß. Der Platz reicht nur für das erste Mal.“ „Mich interessieren aber nur die Sechsen!“ „Dann zeichne doch einen reduzierten Baum!“ „Der neue Baum enthält nur die nötigen Informationen. Der Baum zeigt ein dreistufiges Zufallsexperiment. Ein dreifaches Würfeln. Es gibt nur die Möglichkeiten 6 (rot) mit der Wahrscheinlichkeit 1/6, oder keine 6 (blau) mit der Wahrscheinlichkeit 5/6. Jetzt werde ich noch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten im Baum eintragen. Und immer wie gehabt: Eine 6 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 gewürfelt, keine 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/6. Aber irgendwie ist das immer noch zu viel.“ „Was braucht Ihr nicht?“ „Eigentlich ist ja nur interessant, wo wir überhaupt eine 6 drin haben. Und das ist interessant, wo keine 6 drin ist (gelber Pfad). Das heißt den gesamten blauen Pfad: 5/6, 5/6, 5/6. Ich habe ihn einmal gelb gekennzeichnet und die Wahrscheinlichkeiten eingekreist.“ „So, darum geht es also! Dann leg ich mal wieder die blauen Kreise zurück. Und kann nun endlich das entfernen, was wir gar nicht mehr benötigen. Im mittleren Teil kann alles weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 6 zu würfeln? Wir wissen die Antwort schon: 1/6. Wir können aber auch schreiben 1-(5/6). Die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln. Bei zwei Würfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln 1-(5/6)×(5/6). Bei drei Würfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln 1-(5/6)×(5/6)×(5/6). Wir erhalten für einen Wurf 1/6, für zwei Würfe 11/36 und für drei Würfe 91/216 als Wahrscheinlichkeiten. Wie lautet der Term der Wahrscheinlichkeit, bei n Würfen mindestens eine 6 zu erwürfeln? Richtig! Die Lösung ist: 1-(5/6)ⁿ. Nun wollen wir noch die Wahrscheinlichkeiten für einen, zwei oder drei Würfe in Prozent ausdrücken. Wir erhalten 17 %, 31 % und 42 %.“ „42 % ist mir aber zu wenig!“ „Gut, dann halten wir fest: Die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen mindestens eine 6 zu würfeln beträgt 1-(5/6)ⁿ“ „Ich will 99%!“ „Gut. Ich führe die Berechnung von links nach rechts aus und gehe dann erst zur nächsten Zeile. 99% sind als Dezimalzahl 0,99. Dies setzen wir gleich der Wahrscheinlichkeit, bei n Würfen eine 6 zu würfeln, also 1-(5/6)ⁿ. Wenn wir äquivalent umformen, erhalten wir (5/6)ⁿ=0,01. Uns interessiert nun n, nämlich die Anzahl der benötigten Würfe. Wir kommen an den Wert von n durch Logarithmieren. Aus Bequemlichkeitsgründen wähle ich die Basis 10, den dekadischen Logarithmus. Zweite Zeile: Zunächst schreiben wir nur log vor die beiden Ausdrücke links und rechts der Gleichung. Nach einem Logarithmengesetz können wir die Potenz n vor den Logarithmus schreiben. Auf der rechten Seite der Gleichung ergibt der Logarithmus zur Basis 10 von 0,01 den Wert -2. Wenn Ihr das vergessen habt, rechnet mit dem Taschenrechner nach. Dritte Zeile: Wir berechnen nun den dekadischen Logarithmus von 5/6 mit dem Taschenrechner. Das ergibt angenähert -0,0792. Wir dividieren nun diese Gleichung durch diesen Wert und erhalten: n ist etwa 25,25. Da wir aber auf der sicheren Seite sein wollen, müssen wir als Ergebnis angeben: n=26.“ „Du musst 26-mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens eine 6 zu würfeln.“ „Ooooh….oh fein! Beim ersten Mal gleich eine 6!“ „Hi, hi … das ist Wahrscheinlichkeitsrechnung!“