Logarithmus – Rationale Exponenten (1)

Logarithmus – Rationale Exponenten (1) Übung

• Berechne den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$.

  Tipps

  Verwende die Regel für Potenzen mit rationalen Exponenten:

  $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

  $\sqrt{}$ steht für die Quadratwurzel. Man lässt hier den Wurzelexponenten weg.

  Schreibe $\sqrt2$ als Zweierpotenz.

  Du musst die Gleichung $2^x=\sqrt{2}$ nach $x$ auflösen.

  Lösung

  Um den Logarithmus zur Basis $2$ von $\sqrt 2$ zu berechnen, muss man wissen, wie $\sqrt{}$ als Potenz mit der Basis $2$ berechnet werden kann.

  Hierfür ist es wichtig zu wissen, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben kann:

  • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
  • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

  Mit der ersten Regel ist $\sqrt2=2^{\frac12}$.

  Somit ist der Logarithmus $\log_2 \sqrt2=\frac12$.

• Beschreibe, warum $\log_{16}2=\frac14$ ist.

  Tipps

  Beachte, dass es nicht darum geht, die Relationen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

  Es ist genau eine Begründung korrekt.

  Schreibe $2$ als Potenz mit der Basis $16$.

  Verwende die folgende Regel

  $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

  Beachte, dass $\sqrt[4]{16}=2$ gilt.

  Lösung

  Wenn die Aufgabe darin bestünde, den folgenden Logarithmus zu berechnen:

  $\log_{16}2$,

  so würde die folgende Frage beantwortet werden müssen. Mit welcher Zahl muss man $16$ potenzieren, um $2$ zu erhalten?

  Es gilt $2^4=16$. Nur war nicht danach gefragt, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, um $16$ zu erhalten.

  Man kann die Gleichung umformen:

  $\begin{align*} 2^4&=16&|&\sqrt[4]{}\\ 2&=\sqrt[4]{16}. \end{align*}$

  Nun kann man die Regel verwenden, nach welcher

  $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$

  gilt. Es ist also

  $16^{\frac14}=\sqrt[4]{16}$.

  Da also insgesamt $2=16^{\frac14}$ gilt, ist umgekehrt

  $\log_{16}2=\frac14$.

• Berechne das Ergebnis zu $\log_{27}3$.

  Tipps

  Du kannst Logarithmusgleichungen lösen durch Potenzen. Dabei stimmen die Basen überein.

  Verwende die folgende Regel

  $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

  Lösung

  Man kann zur Lösung der Frage welches Ergebnis $\log_{27}3$ hat schrittweise vorgehen:

  1. Es ist $3^3=27$.
  2. Daraus folgt durch Ziehen der dritten Wurzel, dass $3=\sqrt[3]{27}$.
  3. Unter Verwendung der Potenzregel $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ erhält man $\sqrt[3]{27}=27^{\frac13}$.
  4. Aus 2. und 3. folgt, dass $3=27^{\frac13}$.
  5. Umgekehrt gilt also $\log_{27}3=\frac13$.

• Arbeite heraus, wie der Logarithmus zur Basis $27$ von $\frac13$ berechnet werden kann.

  Tipps

  Verwende die Potenzregel zum Rechnen mit Potenzen mit negativen Exponenten:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Du kannst die Potenzregel

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

  verwenden.

  Wenn zwei Potenzen in ihren Basen übereinstimmen, so sind sie identisch, wenn sie auch in ihren Exponenten übereinstimmen.

  Lösung

  Gesucht ist der Logaritmus $x$ zur Basis $27$ von $\frac13$:

  $\log_{27}\left(\frac13\right)=x$.

  Mit welcher Zahl muss $27$ potenziert werden, damit $\frac13$ heraus kommt?

  Zu lösen ist die folgende Gleichung $27^x=\frac13$.

  Man kann zunächst beide Zahlen als Dreierpotenz schreiben:

  • $27=3^3$ sowie
  • $\frac13=3^{-1}$.

  Also können wir schreiben

  $\left(3^3\right)^x=3^{-1}$.

  Unter Verwendung von $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ erhält man

  $3^{3x}=3^{-1}$.

  Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $3x=-1$. Division durch $3$ führt zu $x=-\frac13$.

  Damit kann der Logarithmus angegeben werden:

  $\log_{27}\left(\frac13\right)=-\frac13$.

• Gib an, wie man eine Potenz mit einem rationalen Exponenten schreiben kann.

  Tipps

  Es gilt $a^1=a=a^{\frac{n}{n}}$. Setze $n=1$ bzw. $n=m=1$ in die möglichen Formeln zur Überprüfung ein.

  Es gilt das Potenzgesetz $a=\left(a^{\frac1n}\right)^n$.

  Ziehe bei der obigen Gleichung auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel.

  Lösung

  Um Logarithmen aus Wurzeln berechnen zu können, ist es sinnvoll umgekehrt zu wissen, wie Potenzen mit rationalen Exponenten umgeformt werden können zu Wurzeln:

  • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
  • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

  Die erste Beziehung kann zum Beispiel mit Hilfe eines Potenzgesetzes nachgewiesen werden:

  $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a^{\frac1n\cdot n}=a^1=a$.

  Wenn man nun auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel zieht, hat man die gewünschte Gleichung.

• Bestimme den Logarithmus zur Basis $8$ von $4$.

  Tipps

  Beachte, dass das Ergebnis kleiner als $1$ sein muss.

  Du musst die Gleichung $8^x=4$ nach $x$ auflösen.

  Sowohl $8$ als auch $4$ sind Zweierpotenzen.

  Du kannst die folgenden Potenzregeln verwenden:

  • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
  • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Lösung

  Es gilt

  • $4=2^2$ und
  • $8=2^3$.

  Der Logarithmus $\log_84$ beantwortet die Frage, womit $8$ potenziert werden muss, damit man $4$ erhält. Dies führt zu der Gleichung

  $\begin{align*} && 8^x&=4\\ &\Leftrightarrow& \left(2^3\right)^x&=2^2\\ &\Leftrightarrow& 2^{3x}&=2^2. \end{align*}$

  Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $3x=2$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $x=\frac23$.

  Es gilt also $8^{\frac23}=4$ und somit umgekehrt $\log_84=\frac23$.