Lineare Gleichungen lösen 2

Lineare Gleichungen lösen 2 Übung

• Beschreibe, wie man Gleichungen löst.

  Tipps

  Schau dir die einzelnen Schritte der folgenden Termumformung an:

  $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

  Stelle dir folgende Fragen: Wozu dient die erste Termumformung? Wozu dient die zweite Termumformung?

  Schau dir die einzelnen Schritte der folgenden Termumformung an:

  $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

  In allen vier Zeilen der Gleichung stehen gleichwertige Aussagen. Alle vier Zeilen sind also äquivalent. Für einzelne Termumformungen von einer Zeile auf die andere kann man daher auch einen anderen Fachbegriff verwenden.

  Lösung

  $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

  Jede Gleichung löst man durch Termumformungen oder Äquivalenzumformungen.

  Im ersten Arbeitsschritt werden alle Elemente mit $x$ auf die eine Seite der Gleichung gebracht.

  Im zweiten Arbeitsschritt werden alle Elemente ohne $x$ auf die andere Seite gebracht.

  Nachdem im dritten Arbeitsschritt der Faktor vom $x$ gelöst wurde, steht das $x$ allein auf einer Seite der Gleichung und das Ergebnis rechts.

• Vervollständige die Gleichung.

  Tipps

  Würde man die zweite Zeile sehr ausführlich schreiben, würde dort das Folgende stehen:

  $15 + 3x + x = - x + 7 + x$

  Fasse die linke Seite zusammen.

  Überlege: Verändert sich die Anzahl der $x$ von der zweiten auf die dritte Zeile?

  Achte beim Ergebnis im letzten Kästchen auf das Vorzeichen!

  Lösung

  Gleichungen löst man, indem man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselben Rechnungen durchführt. Von der ersten auf die zweite Zeile rechnet man auf beiden Seiten $+x$. Auf der linken Seite ist $3x + x = 4x$, auf der rechten Seite löst sich $-x + x$ auf.

  Von der zweiten auf die dritte Zeile rechnet man auf beiden Seiten $-15$. Links löst sich $15 - 15$ auf. Rechts ist $7 - 15 = -8$.

  Von der dritten auf die vierte Zeile schließlich wird auf beiden Seiten $:4$ gerechnet. Links ist $4x : 4 = x$, rechts ist $-8 : 4 = -2$

• Bestimme den Wert für $x$.

  Tipps

  Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite und bringe alle Zahlen auf die andere Seite.

  Als erste Äquivalenzumformung solltest du $|+ 2x$ oder $|-29$ rechnen.

  Das Ergebnis ist negativ.

  Lösung

  Zuerst bringen wir die Terme mit $x$ auf eine Seite. Dafür rechnen wir $+2x$ auf beiden Seiten. Dann bringen wir alle Zahlen bzw. Terme ohne $x$ auf die andere Seite. Wir rechnen auf beiden Seiten $-29$. Du kannst auch erst $-15x$ rechnen und dann $+22$.

  Wir erhalten die Gleichung $17x=51$ oder $-17x=51$. Du kannst erkennen, dass diese beiden Gleichungen äquivalent sind, wenn ich eine der beiden Gleichungen mit $(-1)$ multipliziere. Egal welche Gleichung du betrachtest, $x$ muss am Ende alleine stehen. Also teilen wir die Gleichung durch $17$ oder $-17$.

  Wir erhalten bei beiden Varianten schließlich die Lösung $x=-3$. Du hast gesehen, dass man Gleichungen auf verschiedene Weisen lösen kann. Wichtig ist aber, dass immer die gleiche Lösung herauskommt. Dann hast du alle Äquivalenzumformungen richtig ausgeführt.

• Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

  Tipps

  Mache für jede Gleichung eine ausführliche schriftliche Rechnung. Achte bei deinen Rechnungen besonders auf die Vorzeichen. Überprüfe, ob deine vier Ergebnisse mit den angegebenen Lösungen übereinstimmen.

  Man kann auch eine „Probe“ machen. Setze zum Beispiel $x=2$ in die Gleichung $-2x - 14 = 19 + 9x$ ein.

  $\begin{align} -2\cdot 2-14&=19+9 \cdot 2 \\ -4-14&=19+18 \\ -18& =37 \end{align}$

  Das ist eine falsche Aussage, also ist $x=2$ keine Lösung dieser Gleichung. Probiere eine andere Gleichung aus.

  Lösung

  Wir lösen die Gleichungen, indem wir die Terme mit $x$ auf eine Seite der Gleichung bringen und die Terme ohne $x$ auf die andere Seite. Das erreichen wir durch Äquivalenzumformungen. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Gleichung zu lösen. Wichtig ist, dass die Lösung stimmt. Wir rechnen ein Beispiel gemeinsam durch. Die anderen Gleichungen werden darunter gelöst.

  Wir beginnen mit $3x+11=27-5x$. Wir rechnen zuerst auf beiden Seiten $+5x$, um die Terme mit $x$ auf die linke Seite zu holen. Wir erhalten dadurch

  $8x+11=27$.

  Dann subtrahieren wir $11$ auf beiden Seiten, um die Terme ohne $x$ auf die rechte Seite zu bringen. Wir erhalten:

  $8x=16$

  Das $x$ muss nun alleine auf der linken Seite stehen. Wir teilen die Gleichung hierfür durch $8$ und erhalten die Lösung $x=2$. Hier siehst du diese Gleichung mit den Äquivalenzumformungen. Darunter folgen die anderen Gleichungen und ihre Lösungen.

  $\begin{align} 3x+11&=27-5x&&|+5x \\ 8x+11&=27&&|-11 \\ 8x&=16&&|:8 \\ x&=2 \end{align}$

  $\begin{align} 30+5x&=-4x+12&&|+4x \\ 30+9x&=12&&|-30 \\ 9x&=-18&&|:9 \\ x&=-2 \\ \end{align}$

  $\begin{align} 13-3x&=-7x+25&&|+3x \\ 13&=-4x+25&&|-25 \\ -12&=-4x&&|:(-4) \\ 3&=x \\ \end{align}$

  $\begin{align} -2x-14&=19+9x&&|+2x \\ -14&=19+11x&&|-19 \\ -33& =11x&& |:11 \\ -3& = x \end{align}$

• Stelle den korrekten Lösungsweg der Gleichung dar.

  Tipps

  Beim Lösen einer Gleichung werden zunächst alle Summanden mit $x$ auf die eine Seite der Gleichung gebracht, anschließend alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite. Dadurch wird mit jeder Termumfomung die nächste Zeile kürzer.

  Lösung

  Beim Lösen einer Gleichung schreibst du zunächst die Gleichung einmal komplett ab. Die erste Umformung ist $+x$. Auf der rechten Seite bleiben dann nur noch $7$ übrig, auf der linken Seite wird aus $3x + x = 4x$.

  Die zweite Umformung ist $-15$, dadurch stehen rechts $7 - 15 = -8$ und links bleibt nur noch die $4x$ übrig.

  Zum Schluss wird $:4$ gerechnet. Rechts ist also $-8 : 4 = -2$ und links bleibt nur das $x$ stehen.

• Löse die Gleichung, die durch den Text beschrieben wird.

  Tipps

  Übertrage den Aufgabentext in eine Gleichung. Setze für die gesuchte Zahl zunächst $x$ ein. Erinnere dich an die Fachbegriffe:

  • Multiplizieren bedeutet malnehmen ($\cdot$).
  • Addieren bedeutet Plus rechnen ($+$).
  • Subtrahieren bedeutet Minus rechnen ($-$).
  • Vervierfachen bedeutet $\cdot4$.

  Die linke Seite der Gleichung lautet:

  $3x + 7 = $

  Die rechte Seite der Gleichung lautet

  $52 - 6x$

  Lösung

  Eine Zahl mit drei multiplizieren heißt, $3\cdot x$ zu rechnen. Dazu wird $7$ addiert, also $3x + 7$.

  Das Ergebnis soll dasselbe sein wie wird als $=$ übersetzt.

  Auf der rechten Seite der Gleichung soll man von $52$ etwas subtrahieren, d.h. $52-$. Und was? Das Sechsfache der Zahl ist $6x$.

  Wir erhalten als Gleichung $3x + 7 = 52 - 6x$. Im Bild kannst du erkennen, wie man diese Gleichung nach $x$ auflösen kann.

  Die gesucht Zahl ist $x=5$.