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Heron-Verfahren

Erfahre, wie Heron von Alexandria das Heron-Verfahren zur Annäherung von Quadratwurzeln entwickelte. Iteriere schrittweise die Formel xn+1=xn+axn2x_{n+1} = \dfrac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2} und entdecke, wie genau du dem wahren Wert näherkommen kannst. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Die Autor*innen
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Eva F.
Heron-Verfahren
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Grundlagen zum Thema Heron-Verfahren

Heron von Alexandria und die Quadratwurzeln

Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker. Er hat ein Verfahren zur annähernden Berechnung von Quadratwurzeln gefunden. Man nennt dieses Verfahren daher heute Heron-Verfahren. Gesucht wird die Quadratwurzel einer Zahl aa, also die positive Zahl b=ab = \sqrt{a}. Die Zahl aa unter der Wurzel nennt man Radikand oder auch Wurzelbasis.

Heron-Verfahren Erklärung

Das Heron-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Iteration bedeutet Wiederholung: Durch die wiederholte Anwendung desselben Rechenverfahrens nähert man sich der gesuchten Quadratwurzel schrittweise an. Nun beschreiben wir die einzelnen Rechenschritte zur näherungsweisen Berechnung der Quadratwurzel von aa. Die Formeln dafür lauten:

x0=a+12x_0 = \dfrac{a+1}{2} \quad und xn+1=xn+axn2\quad x_{n+1} = \dfrac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}

Das kleine nn nennt man Index, es nummeriert die einzelnen Rechenschritte. Die Rechnung beginnt im Schritt 00 mit x0x_0, danach berechnet man x1x_1, x2x_2 und so weiter. Das Ergebnis des nn-ten Rechenschritts ist dann xnx_n.
Die Formel für x0x_0 gibt an, wie du aus dem Radikand aa den Wert von x0x_0 berechnest. Die Formel für xn+1x_{n+1} zeigt, wie du aus einem Ergebnis das nächste berechnest.

Wenn wir das Verfahren anwenden wollen, beginnen wir mit der Berechnung von x0x_0. Dazu setzen wir die Zahl aa, deren Wurzel wir näherungsweise bestimmen wollen, in die Formel x0=a+12x_0 = \frac{a+1}{2} ein. Nun berechnen wir das nächste Ergebnis, also x1x_1. Dazu setzen wir n=0n=0 in die Formel für xn+1x_{n+1} ein. Beim ersten Iterationsschritt erhalten wir also das Ergebnis:

x0+1=x0+ax02=x1x_{0+1} = \dfrac{x_0 + \frac{a}{x_0}}{2} = x_1

Im nächsten Iterationsschritt setzen wir für nn die Zahl 11 ein. Denn wir haben x1x_1 bereits berechnet und wollen jetzt x1+1=x2x_{1+1} = x_2 berechnen:

x1+1=x1+ax12=x2x_{1+1} = \dfrac{x_1+\frac{a}{x_1}}{2} = x_2

Da aa gegeben ist und wir x1x_1 bereits berechnet hatten, können wir mit dieser Formel den Wert für x2x_2 berechnen. Nun führen wir das Verfahren immer so weiter. Das Verfahren können wir beliebig oft wiederholen. Wir benötigen für jede einzelne Rechnung immer nur den Radikanden aa sowie das Ergebnis der vorigen Rechnung. Die einzelnen Wiederholungen dieses Rechenverfahrens werden als Iterationsschritte bezeichnet.

Mit jedem Schritt des Iterationsverfahrens kommst du dem tatsächlichen Wert der Quadratwurzel näher. Wie viele Iterationsschritte du berechnen musst, hängt davon ab, wie genau du den Wert der Quadratwurzel bestimmen willst. Das kannst du an dem folgenden Beispiel sehen. Die Iteration x1x_1 hat bereits die richtige Zahl vor dem Komma, bei x2x_2 ist auch die erste Nachkommastelle korrekt, bei x3x_3 sind die ersten vier Nachkommastellen korrekt und so weiter.

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Heron-Verfahren – Beispiel

Wir berechnen mit dem Heron-Verfahren näherungsweise die Quadratwurzel aus 99. Wir setzen also a=9a=9 in die einzelnen Iterationsschritte ein:

Zuerst berechnen wir x0x_0 mit der Formel x0=a+12x_0=\frac{a+1}{2}. Setzen wir a=9a=9 ein, so erhalten wir:

x0=a+12=9+12=102=5x_0 = \dfrac{a+1}{2} = \dfrac{9+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5

Dies ist noch nicht die Quadratwurzel aus 99, denn x02=52=25x_0^{2} = 5^{2} = 25. Wir rechnen also noch weiter und bestimmen im nächsten Iterationsschritt x1x_1:

x1=x0+ax02=5+952=3452=3410=3,4x_1 = \dfrac{x_0+\frac{a}{x_0}}{2} = \dfrac{5+\frac{9}{5}}{2} = \dfrac{\frac{34}{5}}{2} = \dfrac{34}{10} = 3,4

Nun wiederholen wir diese Rechenvorschrift und berechnen im zweiten Iterationsschritt x2x_2:

x2=x1+ax12=3410+934102=3410+90342=257853,023x_2 = \dfrac{x_1+\frac{a}{x_1}}{2} = \dfrac{\frac{34}{10}+\frac{9}{\frac{34}{10}}}{2} = \dfrac{\frac{34}{10}+\frac{90}{34}}{2} = \dfrac{257}{85} \approx 3,023

Um das Verfahren zu üben, führen wir auch noch den dritten Iterationsschritt durch und berechnen x3x_3:

x3=x2+ax22=25785+9257852=25785+7652572=65537218453,00009x_3 = \dfrac{x_2+\frac{a}{x_2}}{2} = \dfrac{\frac{257}{85}+\frac{9}{\frac{257}{85}}}{2} = \dfrac{\frac{257}{85}+\frac{765}{257}}{2} = \dfrac{65\,537}{21\,845} \approx 3,00009

Wir beenden die Rechnung an dieser Stelle und begnügen uns mit dem Näherungswert x3=3,00009x_3=3,00009 für die Quadratwurzel 9\sqrt{9}. Würden wir die Iterationen immer weiter führen, so kämen wir mit den Werten der Iterationsschritte dem tatsächlichen Wert 9\sqrt{9} immer näher. Da wir diese Quadratwurzel bereits kennen, nämlich 9=3\sqrt{9} = 3, können wir auch sehen, dass 3,000093,00009 annähernd dasselbe ist wie 9\sqrt{9}.

Transkript Heron-Verfahren

Hallo. In diesem Video stelle ich dir das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung vor. Zunächst gebe ich dir eine kleine Einführung über den Mathematiker und Mechaniker Heron und über seine Arbeit zur Berechnung von Wurzeln. Danach erkläre ich dir, wie das Verfahren von Heron zur Berechnung von Wurzeln funktioniert. Im Anschluss betrachten wir ein Beispiel, in dem wir die Wurzel einer Zahl mit der Vorgehensweise von Heron berechnen. Zum Schluss werden wir das Gelernte zusammenfassen. Geschichtliche Einführung. Heron von Alexandria, war ein griechischer Mathematiker und Mechaniker, der in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n. Chr. lebte. Ihm wird ein Verfahren zur Approximation von Quadratwurzeln zugeschrieben. Dabei bedeutet das Wort "Approximation" Annäherung. Heron hat also ein Verfahren entwickelt, wie man die Quadratwurzel einer Zahl annähernd genau angeben kann. Gesucht wird das Ergebnis von Wurzel a. Das Ergebnis b nennt man Quadratwurzel. Dabei wird die Zahl unter der Wurzel, hier a, als Radikand oder Wurzelbasis bezeichnet.Vorgehensweise, Algorithmus von Heron. Kommen wir nun zum Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel b. Bei dem Verfahren von Heron handelt es sich um ein Iterationsverfahren. Beim Iterationsverfahren, vom Lateinischen "Iterare", wiederholen, handelt es sich um eine Methode, die sich der exakten Lösung eines Rechenproblems, hier die Berechnung der Quadratwurzel, schrittweise anzunähern. Sie besteht aus der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens. Das Heron-Verfahren hat zur Berechnung von Wurzel a die folgende Vorschrift: X0=(a+1)/2 und Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Das n wird hier als Index bezeichnet und steht einfach für die Häufigkeit, wie oft man das Verfahren schon durchgeführt hat. Man muss ein wenig aufpassen, wenn man bei solchen Iterationsverfahren bei der Null anfängt zu zählen. Will man jetzt die Rechenvorschrift das erste Mal benutzen, errechnet man zunächst den Wert X0. Da der Radikand a gegeben ist, ist es ein Leichtes, ihn mit der Formel X0=(a+1)/2 zu berechnen. Nun will man Xn+1 berechnen. Wir machen die Rechnung zum ersten Mal. Also setzen wir für das kleine n die Null ein, da wir bei null anfangen, die Durchläufe zu zählen. Die Durchläufe werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wir erhalten X0+1=X1=(X0+a/X0)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir auch X0 schon berechnet haben, erhalten wir auf diese Weise X1. Wir haben das Verfahren jetzt einmal durchlaufen. Aber wir können es auch noch ein zweites Mal durchlaufen. Wir setzen in die Rechenvorschrift für das kleine n die Zahl eins ein, da wir das Verfahren zum zweiten Mal durchlaufen und wir bei der Null anfangen zu zählen. Wir erhalten X1+1=X2=(X1+a/X1)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir zuvor X1 berechnet haben, erhalten wir so X2. Wollen wir noch einen Durchlauf des Verfahrens machen, so erhalten wir X2+1=X3=(X2+a/X2)/2. Dies können wir jetzt unendlich oft wiederholen. Wir benötigen dafür nur den Radikanden a und die vorangegangene Rechnung. Heron behauptete, dass wenn man dieses Verfahren unendlich oft wiederholt, sich die Werte Xn der gesuchten Quadratwurzel b annähern. Diese Wiederholungen werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wobei in jedem Schritt dieselbe Formel nur mit anderen Zahlen verwendet wird. Beispiel.Am besten versteht man das Verfahren an einem Beispiel. Es soll die Quadratwurzel von neun nach dem Heron-Verfahren berechnet werden. Der Radikand a ist also die Zahl neun. Um die Quadratwurzel berechnen zu können, schreiben wir uns zunächst die Rechenvorschrift noch einmal auf. Sie lautet X0=(a+1)/2 und Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Wir müssen jetzt zuerst unseren Startwert X0 errechnen. Wir setzen dafür in die Formel für X0 den Radikand neun ein und erhalten X0=9+1/2=5. Wir wollen jetzt das erste Mal die Rechenvorschrift verwenden. Wir setzen also für n die Null ein, Iterationsschritt null. Und erhalten X0+1=X1=(X0+a/X0)/2=(5+9/5)/2=34/5/2=34/10 =3,4. Wiederholen wir nun diese Rechenvorschrift das zweite Mal. Wir müssen also für n die Eins einsetzen, Iterationsschritt eins. Und erhalten X1+1=X2=(X1+a/X1)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X1=34/10 ein. Und erhalten (34/10+9/34/10)/2=(34/10+90/34)/2=257/85. Das ist ungefähr 3,023. Lasst uns das Verfahren noch einmal wiederholen. Wir setzen also für n die Zwei ein, Iterationsschritt zwei. Und erhalten X2+1=X3=(X2+a/X2)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X2=257/85 ein. Und erhalten (257/85+765/257)/2=65537/21845, das ist ungefähr 3,00009. Diese Rechnung können wir jetzt beliebig oft wiederholen. Wir würden jetzt nacheinander X4, X5, X6 und so weiter berechnen. Nach Heron kämen wir jetzt dem Wert der Quadratwurzel von neun immer näher. Uns soll es an dieser Stelle genügen. X3 ist der letzte errechnete Wert für Xn. Und damit der Näherungswert der Quadratwurzel, Wurzel neun. Geben wir Wurzel neun in den Taschenrechner ein, so erhalten wir drei. Und es stimmt. 3,00009 ist annähernd die Zahl drei. Zusammenfassung. Fassen wir das Gelernte einmal zusammen: Das Heron-Verfahren ist ein Näherungsverfahren für die Berechnung von Quadratwurzeln. Das heißt, es wird die Lösung der Aufgabe Wurzel a gesucht. Das Heron-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Also ein Verfahren, welches auf der Wiederholung derselben Rechenvorschriften (Iterationsschritte) beruht. Dies geschieht so lange, bis man die gewünschte Genauigkeit erhalten hat. Dabei lautet die Rechenvorschrift des Heron-Verfahrens X0=(a+1)/2. Die weiteren n Schritte werden so berechnet: Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Es muss darauf geachtet werden, dass man beim Zählen der Iterationsschritte bei der Null beginnt. Der letzte berechnete Wert für Xn ist dann der Näherungswert der gesuchten Quadratwurzel. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal.

18 Kommentare
  1. ist eigentlich gut 😊 Ich finde es super 💪

    Von Naila , vor mehr als 2 Jahren
  2. schlecht

    Von Sophia, vor fast 4 Jahren
  3. Hallo Hoffmann Wp, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor fast 5 Jahren
  4. bin leider nicht wirklich weitergekommen, anhand eines Beispiels mit normalen Brüchen etc. wäre dies mir leichter gefallen zu verstehen.

    Von Hoffmann Wp, vor fast 5 Jahren
  5. Ein super Video, leider nur etwas unübersichtlich gestaltet, das Beispiel ist aber super erklärt und ausgeführt.

    Von Lemmerz Christiane, vor mehr als 5 Jahren
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