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Heron-Verfahren

Erfahre, wie Heron von Alexandria das Heron-Verfahren zur Annäherung von Quadratwurzeln entwickelte. Iteriere schrittweise die Formel $x_{n+1} = \dfrac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}$ und entdecke, wie genau du dem wahren Wert näherkommen kannst. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Die Autor*innen
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Eva F.
Heron-Verfahren
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Heron-Verfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Heron-Verfahren kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Rechenvorschrift des Heron-Verfahrens an.

    Tipps

    Wenn die Wurzel aus $2$ berechnet werden soll, startet man mit $x_0=1,5$.

    Zwei Formeln sind korrekt.

    Wenn die Wurzel aus $2$ berechnet werden soll, so ist im zweiten Iterationsschritt $x_1=\frac{17}{12}$.

    Lösung

    Bei dem Verfahren von Heron zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl $a$ handelt es sich um ein Iterationsverfahren.

    Das bedeutet, dass die Quadratwurzel schrittweise angenähert wird.

    Hierfür muss eine Rechenvorschrift bekannt sein:

    • Der Startwert des Verfahrens ist gegeben durch: $x_0=\frac{a+1}2$.
    • Ist ein Wert bekannt, so berechnet sich der folgende gemäß: $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

  • Berechne die ersten vier Glieder zur Berechnung von $\sqrt 9$.

    Tipps

    Die Rechenvorschrift für das Verfahren nach Heron lautet:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

    Die tatsächliche Wurzel aus $9$ ist $\sqrt 9=3$.

    Lösung

    Zur Berechnung der Quadratwurzel von $9$ kann das Verfahren nach Heron angewendet werden.

    Die Rechenvorschrift lautet:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.
    Also ist
    1. $x_0=\frac{9+1}2=\frac{10}2=5$,
    2. $x_1=\frac{5+\frac95}2=\frac{34}{10}=3,4$,
    3. $x_2=\frac{\frac{34}{10}+\frac{9\cdot 10}{34}}{2}=\frac{257}{85}\approx 3,023$ und
    4. $x_3=\frac{\frac{257}{85}+\frac{9\cdot 85}{257}}{2}\approx 3,00009$.
    Man kann $\sqrt 9=3$ mit dem Taschenrechner berechnen und erkennt, dass bereits $x_3$ eine recht gute Näherung dieses Wertes ist.

  • Ermittle $\sqrt2$ näherungsweise mit dem Heron-Verfahren, indem du die ersten vier Näherungen angibst.

    Tipps

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}}$.

    Du kannst in jedem Schritt das Ergebnis quadrieren, um festzustellen, wie genau das Ergebnis bereits ist.

    Wenn man $x_3$ auf $9$ Stellen hinter dem Komma aufgeschrieben hat und im Anschluss quadriert, erhält man $1,999999999$.

    Lösung

    Wir verwenden die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $\large{x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}}$
    Die ersten $4$ Folgeglieder zur Berechnung von $\sqrt2$ lauten:

    $\begin{align*} x_0&=\frac{2+1}2=1,5\\ x_1&=\frac{1,5+\frac{2}{1,5}}2=\frac{17}{12}\approx1,417\\ x_2&=\frac{\frac{17}{12}+\frac{2\cdot12}{17}}{2}\approx 1,41422\\ x_3&=\frac{1,41422+\frac{2}{1,41422}}{2}\approx1,414213562 \end{align*}$.

    Es gilt $x_3^2\approx1,414213562^2=1,999999999$. $x_3$ scheint bereits eine sehr gute Näherung für $\sqrt 2$ zu sein.

  • Gib die Näherung $x_n$ des Heron-Verfahrens an, bei der $x_n^2$ weniger als $5\cdot 10^{-7}$ von $15$ abweicht.

    Tipps

    Gesucht ist der kleinste Index $n$, für den

    • $x_n^2\approx 15,000000a$ mit $0\leq a\leq 4$ oder
    • $x_n^2\approx 14,999999b$ mit $6\leq b\leq 9$ gilt.

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

    Es gilt $x_4\approx3,874158$.

    Berechne von da an die Werte auf $7$ Stellen nach dem Komma.

    Lösung

    Es muss $\sqrt {15}$ näherungsweise so gut mit der folgenden Vorschrift:

    • $x_0=\frac{15+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{15}{x_n}}2$
    berechnet werden, dass $x_n^2$ weniger als $5\cdot 10^{-7}$ von $15$ abweicht.

    $\begin{align*} x_0&=\frac{15+1}2=8\\ x_1&=\frac{8+\frac{15}{8}}2=1,9375\\ x_2&=\frac{1,9375+\frac{15}{1,9375}}{2}\approx 4,839718\\ x_3&=\frac{4,839718+\frac{15}{4,839718}}{2}\approx3,969536\\ x_4&=\frac{3,969536+\frac{15}{3,969536}}{2}\approx3,874158\\ x_5&=\frac{3,874158+\frac{15}{3,874158}}{2}\approx3,8729835\\ x_6&=\frac{3,8729835+\frac{15}{3,8729835}}{2}\approx3,8729833 \end{align*}$

    Es gilt $x_6^2\approx 3,8729833^2=14,99999964$. Das bedeutet, dass nach $6$-maligem Anwenden der Rechenvorschrift $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{15}{x_n}}2$ die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

  • Ergänze die Erklärung zum Heron-Verfahren.

    Tipps

    Die Wurzel einer Zahl wird mit dem Verfahren Schritt für Schritt berechnet. Das nennt man iterativ.

    Die Wurzel erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung.

    Lösung

    Das Verfahren der iterativen Berechnung der Wurzel einer vorgegebenen Zahl geht auf Heron von Alexandria zurück, der in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n.Chr. lebte. Die Wurzel erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung. Man erhält dabei immer nur eine Näherung.

    Gesucht ist die Wurzel aus $a$:

    $\sqrt{a}=b$

    Dabei bezeichnet

    • $b$ als die Quadratwurzel und
    • $a$ als den Radikanten bzw. die Wurzelbasis.

  • Berechne die Wurzel $\sqrt{16}$ auf $6$ Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$

    Es gilt $\sqrt{16}=4$. Auf $6$ Nachkommastellen genau bedeutet $4,000000\ldots$.

    Es gilt $x_2\approx 4,137$.

    Lösung

    Um $\sqrt 16$ zu berechnen, kann die folgende Rechenvorschrift verwendet werden:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.
    In diesem Fall ist $a=16$ der Radikand:

    $\begin{align*} x_0&=\frac{16+1}2=8,5\\ x_1&=\frac{8,5+\frac{16}{8,5}}2=\frac{353}{68}\approx5,191\\ x_2&=\frac{\frac{353}{68}+\frac{16\cdot68}{353}}{2}\approx 4,137\\ x_3&=\frac{4,137+\frac{16}{4,137}}{2}\approx4,0022\\ x_4&=\frac{4,0022+\frac{16}{4,0022}}{2}\approx4,0000006 \end{align*}$

    Mit dem Taschenrechner kann $\sqrt 16=4$ berechnet werden. Für $x_4$, also Index $4$, ist der angenäherte Wert auf $6$ Nachkommastellen genau.