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Heron-Verfahren

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Die Autor*innen
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Eva F.
Heron-Verfahren
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Heron-Verfahren

Inhalt

Heron von Alexandria und die Quadratwurzeln

Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker. Er hat ein Verfahren zur annähernden Berechnung von Quadratwurzeln gefunden. Man nennt dieses Verfahren daher heute Heron-Verfahren. Gesucht wird die Quadratwurzel einer Zahl $a$, also die positive Zahl $b = \sqrt{a}$. Die Zahl $a$ unter der Wurzel nennt man Radikand oder auch Wurzelbasis.

Heron-Verfahren Erklärung

Das Heron-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Iteration bedeutet Wiederholung: Durch die wiederholte Anwendung desselben Rechenverfahrens nähert man sich der gesuchten Quadratwurzel schrittweise an. Nun beschreiben wir die einzelnen Rechenschritte zur näherungsweisen Berechnung der Quadratwurzel von $a$. Die Formeln dafür lauten:

$x_0 = \dfrac{a+1}{2} \quad$ und $\quad x_{n+1} = \dfrac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}$

Das kleine $n$ nennt man Index, es nummeriert die einzelnen Rechenschritte. Die Rechnung beginnt im Schritt $0$ mit $x_0$, danach berechnet man $x_1$, $x_2$ und so weiter. Das Ergebnis des $n$-ten Rechenschritts ist dann $x_n$.
Die Formel für $x_0$ gibt an, wie du aus dem Radikand $a$ den Wert von $x_0$ berechnest. Die Formel für $x_{n+1}$ zeigt, wie du aus einem Ergebnis das nächste berechnest.

Wenn wir das Verfahren anwenden wollen, beginnen wir mit der Berechnung von $x_0$. Dazu setzen wir die Zahl $a$, deren Wurzel wir näherungsweise bestimmen wollen, in die Formel $x_0 = \frac{a+1}{2}$ ein. Nun berechnen wir das nächste Ergebnis, also $x_1$. Dazu setzen wir $n=0$ in die Formel für $x_{n+1}$ ein. Beim ersten Iterationsschritt erhalten wir also das Ergebnis:

$x_{0+1} = \dfrac{x_0 + \frac{a}{x_0}}{2} = x_1$

Im nächsten Iterationsschritt setzen wir für $n$ die Zahl $1$ ein. Denn wir haben $x_1$ bereits berechnet und wollen jetzt $x_{1+1} = x_2$ berechnen:

$x_{1+1} = \dfrac{x_1+\frac{a}{x_1}}{2} = x_2$

Da $a$ gegeben ist und wir $x_1$ bereits berechnet hatten, können wir mit dieser Formel den Wert für $x_2$ berechnen. Nun führen wir das Verfahren immer so weiter. Das Verfahren können wir beliebig oft wiederholen. Wir benötigen für jede einzelne Rechnung immer nur den Radikanden $a$ sowie das Ergebnis der vorigen Rechnung. Die einzelnen Wiederholungen dieses Rechenverfahrens werden als Iterationsschritte bezeichnet.

Mit jedem Schritt des Iterationsverfahrens kommst du dem tatsächlichen Wert der Quadratwurzel näher. Wie viele Iterationsschritte du berechnen musst, hängt davon ab, wie genau du den Wert der Quadratwurzel bestimmen willst. Das kannst du an dem folgenden Beispiel sehen. Die Iteration $x_1$ hat bereits die richtige Zahl vor dem Komma, bei $x_2$ ist auch die erste Nachkommastelle korrekt, bei $x_3$ sind die ersten vier Nachkommastellen korrekt und so weiter.

Heron-Verfahren – Beispiel

Wir berechnen mit dem Heron-Verfahren näherungsweise die Quadratwurzel aus $9$. Wir setzen also $a=9$ in die einzelnen Iterationsschritte ein:

Zuerst berechnen wir $x_0$ mit der Formel $x_0=\frac{a+1}{2}$. Setzen wir $a=9$ ein, so erhalten wir:

$x_0 = \dfrac{a+1}{2} = \dfrac{9+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

Dies ist noch nicht die Quadratwurzel aus $9$, denn $x_0^{2} = 5^{2} = 25$. Wir rechnen also noch weiter und bestimmen im nächsten Iterationsschritt $x_1$:

$x_1 = \dfrac{x_0+\frac{a}{x_0}}{2} = \dfrac{5+\frac{9}{5}}{2} = \dfrac{\frac{34}{5}}{2} = \dfrac{34}{10} = 3,4$

Nun wiederholen wir diese Rechenvorschrift und berechnen im zweiten Iterationsschritt $x_2$:

$x_2 = \dfrac{x_1+\frac{a}{x_1}}{2} = \dfrac{\frac{34}{10}+\frac{9}{\frac{34}{10}}}{2} = \dfrac{\frac{34}{10}+\frac{90}{34}}{2} = \dfrac{257}{85} \approx 3,023$

Um das Verfahren zu üben, führen wir auch noch den dritten Iterationsschritt durch und berechnen $x_3$:

$x_3 = \dfrac{x_2+\frac{a}{x_2}}{2} = \dfrac{\frac{257}{85}+\frac{9}{\frac{257}{85}}}{2} = \dfrac{\frac{257}{85}+\frac{765}{257}}{2} = \dfrac{65\,537}{21\,845} \approx 3,00009$

Wir beenden die Rechnung an dieser Stelle und begnügen uns mit dem Näherungswert $x_3=3,00009$ für die Quadratwurzel $\sqrt{9}$. Würden wir die Iterationen immer weiter führen, so kämen wir mit den Werten der Iterationsschritte dem tatsächlichen Wert $\sqrt{9}$ immer näher. Da wir diese Quadratwurzel bereits kennen, nämlich $\sqrt{9} = 3$, können wir auch sehen, dass $3,00009$ annähernd dasselbe ist wie $\sqrt{9}$.

Transkript Heron-Verfahren

Hallo. In diesem Video stelle ich dir das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung vor. Zunächst gebe ich dir eine kleine Einführung über den Mathematiker und Mechaniker Heron und über seine Arbeit zur Berechnung von Wurzeln. Danach erkläre ich dir, wie das Verfahren von Heron zur Berechnung von Wurzeln funktioniert. Im Anschluss betrachten wir ein Beispiel, in dem wir die Wurzel einer Zahl mit der Vorgehensweise von Heron berechnen. Zum Schluss werden wir das Gelernte zusammenfassen. Geschichtliche Einführung. Heron von Alexandria, war ein griechischer Mathematiker und Mechaniker, der in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n. Chr. lebte. Ihm wird ein Verfahren zur Approximation von Quadratwurzeln zugeschrieben. Dabei bedeutet das Wort "Approximation" Annäherung. Heron hat also ein Verfahren entwickelt, wie man die Quadratwurzel einer Zahl annähernd genau angeben kann. Gesucht wird das Ergebnis von Wurzel a. Das Ergebnis b nennt man Quadratwurzel. Dabei wird die Zahl unter der Wurzel, hier a, als Radikand oder Wurzelbasis bezeichnet.Vorgehensweise, Algorithmus von Heron. Kommen wir nun zum Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel b. Bei dem Verfahren von Heron handelt es sich um ein Iterationsverfahren. Beim Iterationsverfahren, vom Lateinischen "Iterare", wiederholen, handelt es sich um eine Methode, die sich der exakten Lösung eines Rechenproblems, hier die Berechnung der Quadratwurzel, schrittweise anzunähern. Sie besteht aus der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens. Das Heron-Verfahren hat zur Berechnung von Wurzel a die folgende Vorschrift: X0=(a+1)/2 und Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Das n wird hier als Index bezeichnet und steht einfach für die Häufigkeit, wie oft man das Verfahren schon durchgeführt hat. Man muss ein wenig aufpassen, wenn man bei solchen Iterationsverfahren bei der Null anfängt zu zählen. Will man jetzt die Rechenvorschrift das erste Mal benutzen, errechnet man zunächst den Wert X0. Da der Radikand a gegeben ist, ist es ein Leichtes, ihn mit der Formel X0=(a+1)/2 zu berechnen. Nun will man Xn+1 berechnen. Wir machen die Rechnung zum ersten Mal. Also setzen wir für das kleine n die Null ein, da wir bei null anfangen, die Durchläufe zu zählen. Die Durchläufe werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wir erhalten X0+1=X1=(X0+a/X0)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir auch X0 schon berechnet haben, erhalten wir auf diese Weise X1. Wir haben das Verfahren jetzt einmal durchlaufen. Aber wir können es auch noch ein zweites Mal durchlaufen. Wir setzen in die Rechenvorschrift für das kleine n die Zahl eins ein, da wir das Verfahren zum zweiten Mal durchlaufen und wir bei der Null anfangen zu zählen. Wir erhalten X1+1=X2=(X1+a/X1)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir zuvor X1 berechnet haben, erhalten wir so X2. Wollen wir noch einen Durchlauf des Verfahrens machen, so erhalten wir X2+1=X3=(X2+a/X2)/2. Dies können wir jetzt unendlich oft wiederholen. Wir benötigen dafür nur den Radikanden a und die vorangegangene Rechnung. Heron behauptete, dass wenn man dieses Verfahren unendlich oft wiederholt, sich die Werte Xn der gesuchten Quadratwurzel b annähern. Diese Wiederholungen werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wobei in jedem Schritt dieselbe Formel nur mit anderen Zahlen verwendet wird. Beispiel.Am besten versteht man das Verfahren an einem Beispiel. Es soll die Quadratwurzel von neun nach dem Heron-Verfahren berechnet werden. Der Radikand a ist also die Zahl neun. Um die Quadratwurzel berechnen zu können, schreiben wir uns zunächst die Rechenvorschrift noch einmal auf. Sie lautet X0=(a+1)/2 und Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Wir müssen jetzt zuerst unseren Startwert X0 errechnen. Wir setzen dafür in die Formel für X0 den Radikand neun ein und erhalten X0=9+1/2=5. Wir wollen jetzt das erste Mal die Rechenvorschrift verwenden. Wir setzen also für n die Null ein, Iterationsschritt null. Und erhalten X0+1=X1=(X0+a/X0)/2=(5+9/5)/2=34/5/2=34/10 =3,4. Wiederholen wir nun diese Rechenvorschrift das zweite Mal. Wir müssen also für n die Eins einsetzen, Iterationsschritt eins. Und erhalten X1+1=X2=(X1+a/X1)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X1=34/10 ein. Und erhalten (34/10+9/34/10)/2=(34/10+90/34)/2=257/85. Das ist ungefähr 3,023. Lasst uns das Verfahren noch einmal wiederholen. Wir setzen also für n die Zwei ein, Iterationsschritt zwei. Und erhalten X2+1=X3=(X2+a/X2)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X2=257/85 ein. Und erhalten (257/85+765/257)/2=65537/21845, das ist ungefähr 3,00009. Diese Rechnung können wir jetzt beliebig oft wiederholen. Wir würden jetzt nacheinander X4, X5, X6 und so weiter berechnen. Nach Heron kämen wir jetzt dem Wert der Quadratwurzel von neun immer näher. Uns soll es an dieser Stelle genügen. X3 ist der letzte errechnete Wert für Xn. Und damit der Näherungswert der Quadratwurzel, Wurzel neun. Geben wir Wurzel neun in den Taschenrechner ein, so erhalten wir drei. Und es stimmt. 3,00009 ist annähernd die Zahl drei. Zusammenfassung. Fassen wir das Gelernte einmal zusammen: Das Heron-Verfahren ist ein Näherungsverfahren für die Berechnung von Quadratwurzeln. Das heißt, es wird die Lösung der Aufgabe Wurzel a gesucht. Das Heron-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Also ein Verfahren, welches auf der Wiederholung derselben Rechenvorschriften (Iterationsschritte) beruht. Dies geschieht so lange, bis man die gewünschte Genauigkeit erhalten hat. Dabei lautet die Rechenvorschrift des Heron-Verfahrens X0=(a+1)/2. Die weiteren n Schritte werden so berechnet: Xn+1=(Xn+a/Xn)/2. Es muss darauf geachtet werden, dass man beim Zählen der Iterationsschritte bei der Null beginnt. Der letzte berechnete Wert für Xn ist dann der Näherungswert der gesuchten Quadratwurzel. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. schlecht

    Von ٭Sophia٭, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Hoffmann Wp, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor fast 2 Jahren
  3. bin leider nicht wirklich weitergekommen, anhand eines Beispiels mit normalen Brüchen etc. wäre dies mir leichter gefallen zu verstehen.

    Von Hoffmann Wp, vor fast 2 Jahren
  4. Ein super Video, leider nur etwas unübersichtlich gestaltet, das Beispiel ist aber super erklärt und ausgeführt.

    Von Lemmerz Christiane, vor fast 3 Jahren
  5. Hallo Lucia K.,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 3 Jahren
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Heron-Verfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Heron-Verfahren kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Rechenvorschrift des Heron-Verfahrens an.

    Tipps

    Wenn die Wurzel aus $2$ berechnet werden soll, startet man mit $x_0=1,5$.

    Zwei Formeln sind korrekt.

    Wenn die Wurzel aus $2$ berechnet werden soll, so ist im zweiten Iterationsschritt $x_1=\frac{17}{12}$.

    Lösung

    Bei dem Verfahren von Heron zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl $a$ handelt es sich um ein Iterationsverfahren.

    Das bedeutet, dass die Quadratwurzel schrittweise angenähert wird.

    Hierfür muss eine Rechenvorschrift bekannt sein:

    • Der Startwert des Verfahrens ist gegeben durch: $x_0=\frac{a+1}2$.
    • Ist ein Wert bekannt, so berechnet sich der folgende gemäß: $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

  • Berechne die ersten vier Glieder zur Berechnung von $\sqrt 9$.

    Tipps

    Die Rechenvorschrift für das Verfahren nach Heron lautet:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

    Die tatsächliche Wurzel aus $9$ ist $\sqrt 9=3$.

    Lösung

    Zur Berechnung der Quadratwurzel von $9$ kann das Verfahren nach Heron angewendet werden.

    Die Rechenvorschrift lautet:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.
    Also ist
    1. $x_0=\frac{9+1}2=\frac{10}2=5$,
    2. $x_1=\frac{5+\frac95}2=\frac{34}{10}=3,4$,
    3. $x_2=\frac{\frac{34}{10}+\frac{9\cdot 10}{34}}{2}=\frac{257}{85}\approx 3,023$ und
    4. $x_3=\frac{\frac{257}{85}+\frac{9\cdot 85}{257}}{2}\approx 3,00009$.
    Man kann $\sqrt 9=3$ mit dem Taschenrechner berechnen und erkennt, dass bereits $x_3$ eine recht gute Näherung dieses Wertes ist.

  • Ermittle $\sqrt2$ näherungsweise mit dem Heron-Verfahren, indem du die ersten vier Näherungen angibst.

    Tipps

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}}$.

    Du kannst in jedem Schritt das Ergebnis quadrieren, um festzustellen, wie genau das Ergebnis bereits ist.

    Wenn man $x_3$ auf $9$ Stellen hinter dem Komma aufgeschrieben hat und im Anschluss quadriert, erhält man $1,999999999$.

    Lösung

    Wir verwenden die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $\large{x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}}$
    Die ersten $4$ Folgeglieder zur Berechnung von $\sqrt2$ lauten:

    $\begin{align*} x_0&=\frac{2+1}2=1,5\\ x_1&=\frac{1,5+\frac{2}{1,5}}2=\frac{17}{12}\approx1,417\\ x_2&=\frac{\frac{17}{12}+\frac{2\cdot12}{17}}{2}\approx 1,41422\\ x_3&=\frac{1,41422+\frac{2}{1,41422}}{2}\approx1,414213562 \end{align*}$.

    Es gilt $x_3^2\approx1,414213562^2=1,999999999$. $x_3$ scheint bereits eine sehr gute Näherung für $\sqrt 2$ zu sein.

  • Gib die Näherung $x_n$ des Heron-Verfahrens an, bei der $x_n^2$ weniger als $5\cdot 10^{-7}$ von $15$ abweicht.

    Tipps

    Gesucht ist der kleinste Index $n$, für den

    • $x_n^2\approx 15,000000a$ mit $0\leq a\leq 4$ oder
    • $x_n^2\approx 14,999999b$ mit $6\leq b\leq 9$ gilt.

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.

    Es gilt $x_4\approx3,874158$.

    Berechne von da an die Werte auf $7$ Stellen nach dem Komma.

    Lösung

    Es muss $\sqrt {15}$ näherungsweise so gut mit der folgenden Vorschrift:

    • $x_0=\frac{15+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{15}{x_n}}2$
    berechnet werden, dass $x_n^2$ weniger als $5\cdot 10^{-7}$ von $15$ abweicht.

    $\begin{align*} x_0&=\frac{15+1}2=8\\ x_1&=\frac{8+\frac{15}{8}}2=1,9375\\ x_2&=\frac{1,9375+\frac{15}{1,9375}}{2}\approx 4,839718\\ x_3&=\frac{4,839718+\frac{15}{4,839718}}{2}\approx3,969536\\ x_4&=\frac{3,969536+\frac{15}{3,969536}}{2}\approx3,874158\\ x_5&=\frac{3,874158+\frac{15}{3,874158}}{2}\approx3,8729835\\ x_6&=\frac{3,8729835+\frac{15}{3,8729835}}{2}\approx3,8729833 \end{align*}$

    Es gilt $x_6^2\approx 3,8729833^2=14,99999964$. Das bedeutet, dass nach $6$-maligem Anwenden der Rechenvorschrift $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{15}{x_n}}2$ die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

  • Ergänze die Erklärung zum Heron-Verfahren.

    Tipps

    Die Wurzel einer Zahl wird mit dem Verfahren Schritt für Schritt berechnet. Das nennt man iterativ.

    Die Wurzel erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung.

    Lösung

    Das Verfahren der iterativen Berechnung der Wurzel einer vorgegebenen Zahl geht auf Heron von Alexandria zurück, der in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n.Chr. lebte. Die Wurzel erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung. Man erhält dabei immer nur eine Näherung.

    Gesucht ist die Wurzel aus $a$:

    $\sqrt{a}=b$

    Dabei bezeichnet

    • $b$ als die Quadratwurzel und
    • $a$ als den Radikanten bzw. die Wurzelbasis.

  • Berechne die Wurzel $\sqrt{16}$ auf $6$ Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Verwende die Rechenvorschrift:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$

    Es gilt $\sqrt{16}=4$. Auf $6$ Nachkommastellen genau bedeutet $4,000000\ldots$.

    Es gilt $x_2\approx 4,137$.

    Lösung

    Um $\sqrt 16$ zu berechnen, kann die folgende Rechenvorschrift verwendet werden:

    • $x_0=\frac{a+1}2$ und
    • $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac a{x_n}}{2}$.
    In diesem Fall ist $a=16$ der Radikand:

    $\begin{align*} x_0&=\frac{16+1}2=8,5\\ x_1&=\frac{8,5+\frac{16}{8,5}}2=\frac{353}{68}\approx5,191\\ x_2&=\frac{\frac{353}{68}+\frac{16\cdot68}{353}}{2}\approx 4,137\\ x_3&=\frac{4,137+\frac{16}{4,137}}{2}\approx4,0022\\ x_4&=\frac{4,0022+\frac{16}{4,0022}}{2}\approx4,0000006 \end{align*}$

    Mit dem Taschenrechner kann $\sqrt 16=4$ berechnet werden. Für $x_4$, also Index $4$, ist der angenäherte Wert auf $6$ Nachkommastellen genau.

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