Graphisches Lösen von quadratischen Gleichungen – Beispiele

Graphisches Lösen von quadratischen Gleichungen – Beispiele Übung

• Ergänze die Aussagen zu Normal- und Scheitelpunktform.

  Tipps

  Normieren bedeutet etwas auf Eins setzen.

  Überlege dir, wie die Normalparabel im Koordinatensystem liegen kann.

  Lösung

  Quadratische Funktionen kann man auf unterschiedliche Weise darstellen.

  Die zwei wichtigsten Formen heißen Normal- und Scheitelpunktform. Diese sind zueinander äquivalent und lassen sich durch quadratische Ergänzung und Ausmultiplizieren ineinander umformen. Mittels der quadratischen Ergänzung formst du die Normalform in die Scheitelpunktform um; mit Hilfe des Ausmultiplizierens formst du die Scheitelpunktform in die Normalform um.

  Bei beiden Formen ist der Parameter $a = 1$. Die Normalform ist $x^2 + bx + c = 0$, wobei $b$ und $c$ reelle Zahlen sind.

  Indem du die quadratische Ergänzung anwendest, erhältst du die Normalform $(x + p)^2 + q = 0$. Auch hier sind $p$ und $q$ reelle Zahlen. Sie geben aber gleichzeitig indirekt den Scheitelpunkt an. Er liegt bei $S (-p|q)$.

  Häufig kann man anhand der Scheitelpunktsform überprüfen, ob und wie viele Schnittstellen mit der $x$-Achse existieren. Möglich sind keine, eine oder zwei Schnittstellen.

• Schildere, wie du den Scheitelpunkt und die Nullstellen bestimmst.

  Tipps

  Die Normalform lässt sich leicht in die Scheitelpunktform umwandeln, indem du die quadratische Ergänzung anwendest.

  Wie viele Nullstellen sind maximal möglich?

  Der Scheitelpunkt zu (x + p)$^2$ + q = 0 ist gerade S(-p | q).

  Lösung

  Bei quadratischen Funktionen gibt es drei verschiedene Fälle in Hinsicht auf die Anzahl der Nullstellen.

  Es sind keine, eine oder zwei Nullstellen möglich.

  Um die Anzahl der Nullstellen zu überprüfen, ist es sehr praktisch zwischen Normal- und Scheitelpunktform wechseln zu können. Das ist durch quadratische Ergänzung sowie durch Ausmultiplizieren möglich, je nachdem, in welcher Form man die Funktion vorliegen haben möchte.

  Beispielsweise kann man folgendermaßen umformen, wobei ausmultipliziert wird:

  $($x + 2$)$$^2$ - 1 = x$^2$ + 4x + 4 -1 = x$^2$ + 4x + 3 = 0.

  Wolltest du dagegen x$^2$ + 4x + 3 = 0 in die Scheitelpunktform bringen, schaust du dir die Stelle 4x an. Ein quadratischer Term, der 4x erzeugt, ist $($x + 2$)$$^2$ = x$^2$ + 4x + 4. Jetzt haben wir aber 1 zu viel, was wir wieder abziehen müssen. Es ergibt sich also $($x + 2$)$$^2$ - 1 = 0 als Scheitelpunktform..

  Da der Scheitelpunkt S $($-2$|$1$)$ hier unter der x-Achse liegt und der Graph nach oben geöffnet ist, haben wir zwei Nullstellen. Wenn du die Normalparabel in ein Koordinatensystem zeichnest, liegen diese bei x$_1$ = -3 und x$_2$ = -1.

  Beim Bestimmen des Scheitelpunkts musst du allerdings beachten, dass du das Vorzeichen der x-Koordinate änderst, wenn du sie aus der Klammer abliest.

  Deswegen haben wir bei $($x - 1$)$$^2$ = 0 den Scheitelpunkt S $($1$|$0$)$ und nicht etwa S $($-1$|$0$)$. Außerdem liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse und es gibt somit nur einen Berührungspunkt mit der x-Achse.

  Anders sieht es dagegen bei x$^2$ + 2x + 2 = $($x + 1$)$$^2$ + 1 = 0 aus. Hier ist der Scheitelpunkt bei S $($-1$|$1$)$ und die Parabel nach oben offen, sodass keine Nullstelle vorliegt.

• Bestimme, welche Normalform zu welcher Scheitelpunktform gehört.

  Tipps

  Wenn du eine Normal- in Scheitelpunktform oder umgekehrt umformen möchtest, verwende die quadratische Ergänzung bzw. multipliziere aus.

  Lösung

  Hilfreich ist es, zwischen den verschiedenen Formen einer quadratischen Funktion beliebig hin- und herwechseln zu können, da jede Form ihren ganz eigenen Vorteil besitzt. Wie du zwischen den beiden Formen wechseln kannst, wollen wir anhand einer Normal- und Scheitelpunktform erkennen, die jeweils den gleichen Graphen beschreibt.

  Als Funktion wählen wir $x^2 + 2x - 3 = 0$ in der Normalform und $(x + 1)^2 - 4 = 0$ in der Scheitelpunktform.

  Berechnen wir zuerst die Normalform aus der Scheitelpunktform, indem wir ausmultiplizieren:

  $(x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3 = 0$.

  Nun berechnen wir die Scheitelpunktform zu $x^2 + 2x - 3 = 0$. Liegt die Normalform $x^2 + bx + c = 0$ vor, so steht vorne bei der Scheitelpunktform $(x + \frac{b}{2})^2$, wobei später meistens noch etwas addiert oder subtrahiert werden muss:

  $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

  Das unterscheidet sich noch von $x^2 + 2x - 3 = 0$.

  Wir müssen noch $4$ abziehen, dann ergibt sich $(x + 1)^2 - 4 = 0$.

• Ermittle die zueinander gehörigen Parabeln und Scheitelpunktformen.

  Tipps

  Wie kannst du den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform $(x + p)^2 + q = 0$ ablesen?

  $x^2 = 0$ ist die Scheitelpunktform mit $p = 0$ und $q = 0$.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform beschreibt eine quadratische Funktion genauso wie eine Normalform auch. Allerdings besitzt sie den entscheidenden Vorteil, dass du mit ihrer Hilfe ganz leicht den Scheitelpunkt bestimmen kannst.

  Wenn du künftig eine im Koordinatensystem gezeichnete Normalparabel betrachtest, kannst du sofort die dazugehörige Funktion mittels der Scheitelpunktform bestimmen. Dabei kann die Scheitelpunktform etwas ungewöhnlich aussehen. Liegt er bei $S (0|-3)$, ergibt sich:

  $(x)^2 - 3 = x^2 - 3 = 0$.

  Wollen wir beispielsweise die Scheitelpunktform der grünen Parabel bestimmen, ermitteln wie zunächst den Scheitelpunkt. Er liegt bei $S (-1|1)$. Jetzt müssen wir diese Koordinaten nur noch eintragen, wobei wir darauf achten, dass das Vorzeichen der $x$-Koordinate vertauscht wird. Aus $-1$ wird $1$ und die dazugehörige Scheitelpunktform ist $(x + 1)^2 + 1 = 0$.

• Bestimme, welche Aussagen zu Normal- und Scheitelpunktform stimmen.

  Tipps

  Wie viele Nullstellen sind bei einer quadratischen Funktion möglich?

  Äquivalent bedeutet, dass zwei Aussagen oder Gleichungen gleichwertig sind.

  Die Normalform einer quadratischen Funktion heißt im Allgemeinen x$^2$ + bx + c = 0.

  Lösung

  Bei quadratischen Funktionen wird die Lage durch die Parameter bestimmt. Abhängig davon, wie du diese festlegst, gibt es keine, eine oder zwei Nullstellen. Liegt genau eine Nullstelle vor, wird diese Berührpunkt genannt.

  Auch besitzen quadratische Funktionen immer einen Scheitelpunkt, der sich am leichtesten aus der Scheitelpunktform ablesen lässt.

  x$^2$ + bx + c = 0 ist äquivalent zu $($x + p$)$$^2$ + q = 0. Hier sind die Parameter b, c, p und q Element der reellen Zahlen. Die Normalform lässt sich durch quadratische Ergänzung und die Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren in die jeweils andere Form umwandeln.

• Untersuche die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^2 - 4x$ hinsichtlich Scheitelpunkt, Nullstellen und Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

  Tipps

  Nutze die Scheitelpunktform, um mehr über die Funktion zu erfahren.

  Die Schnittstelle der $y$-Achse liegt auf der $y$-Achse und somit bei $x = 0$.

  Welchen Ansatz benötigst du für die Bestimmung von Nullstellen?

  Lösung

  Wir betrachten die Funktion $f(x) = x^2 - 4x$ und wollen ermitteln, wo der Scheitelpunkt sowie die Schnittstellen mit der $x$-Achse und der $y$-Achse liegen.

  Jetzt, wo wir die beiden verschiedenen Formen kennen, können wir im Voraus beurteilen, welche der beiden Formen uns bei welcher Fragestellung weiterhilft.

  Wenn wir ein wenig überlegen, merken wir schnell, dass uns bei der Berechnung der Nullstellen und der Schnittstellen mit der $y$-Achse die Scheitelpunktform wenig hilft.

  Finden wir also zuerst diese Punkte heraus.

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse muss ja auf Höhe von $x = 0$ liegen, also setzen wir das einfach mal in unsere Funktion ein: $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Dieser Punkt liegt also im sogenannten Ursprung bei $(0|0)$. Somit wird die $y$-Achse bei $y = 0$ geschnitten.

  Die Nullstellen lassen sich mit der Normalform gut berechnen, da die Funktion ja schon gleich $0$ gesetzt ist und wir die Stellen suchen, an denen die Funktion $0$ ergibt. Wie wir sehen, können wir bei $x^2 - 4x = 0$ die Variable $x$ ausklammern: $x (x - 4) = 0$. Nun wissen wir, dass die Nullstellen bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ liegen.

  Nun wollen wir noch den Scheitelpunkt ermitteln. Dazu wechseln wir zur Scheitelpunktform, indem wir die quadratische Ergänzung verwenden. Wir betrachten erneut den Teil der Funktion, der mit $bx$ beschrieben wird. In dem Klammerausdruck der Scheitelpunktform steht $(x + \frac{b}{2})^2$. Wir haben also $(x - 2)^2 = 0$. Wenn wir das ausmultiplizieren, steht da $x^2 - 4x + 4 = 0$. Das sind aber, wenn wir die Normalform betrachten, $4$ zu viel, die wir wieder abziehen: $(x - 2)^2 - 4 = 0$. Jetzt können wir den Scheitelpunkt benennen. Er liegt bei $S (2|-4)$.

  Vielleicht ist dir aufgefallen, dass wir auch schneller ans Ziel hätten gelangen können, indem wir den Scheitelpunkt arithmetisch bestimmt hätten. Das wäre durchaus möglich gewesen, wenn man die Nullstellen betrachtet und sich erinnert, dass die Normalparabel achsensymmetrisch ist. Dann wäre die Mitte von $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gewesen und man hätte die $y$-Koordinate leicht ermitteln können.

  Wie du siehst, ist es immer hilfreich, mehrere Lösungswege in petto zu haben.