Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren – Beispiele

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren – Beispiele
In diesem Video sehen wir uns gemeinsam Beispielaufgaben zum Verschieben von Funktionsgraphen mithilfe des Parameterverfahrens an. Dabei werden wir schrittweise zusammen drei verschiedene Aufgaben lösen, bei denen entweder der Funktionsgraph der parallel verschobenen Funktion gesucht wird, oder aber der Vektor, um den parallel verschoben wird. Viel Spaß!
Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren – Beispiele Übung
-
Gib die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel an.
TippsWenn du $x=x'-1$ in die Gleichung $y'=f(x)$ einsetzt, musst du die Klammern auflösen.
Hierfür verwendest du unter anderem die zweite binomische Formel:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Fasse diesen Term
$y'=2(x'^2-2x'+1)+8x'-8+4$
noch weiter zusammen.
LösungWenn die zu der Funktion $g(x)=2x^2+8x+6$ gehörige Parabel um den Vektor
$\vec w=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$
verschoben werden soll, wird auch jeder Punkt $P(x|y)$ des Funktionsgraphen um diesen Vektor verschoben wird. Dadurch erhält man diese Menge an Bildpunkten $P'(x'|y')$:
- $x'=x+1$ und äquivalent dazu: $x=x'-1$ sowie
- $y'=y-2=f(x)-2$
$y'=2x^2+8x+6-2=2x^2+8x+4$.
Nun muss noch $x=x'-1$ in diese Gleichung eingesetzt werden. So erhält man
$y'=2(x'-1)^2+8(x'-1)+4$.
Zuletzt werden die Klammern aufgelöst. Dies führt zu
$y'=2(x'^2-2x'+1)+8x'-8+4=2x'^2+4x'-2$.
Die gesuchte Funktionsgleichung der verschobenen Parabel lautet $g'(x)=2x^2+4x-2$.
-
Ermittle die Gleichung der verschobenen kubischen Funktion.
TippsVerwende die binomische Formel
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
Anstelle von $k(x)$ kannst durch auch einfach kurz $y$ schreiben:
$y=k(x)=2x^3+4$.
LösungDer Funktionsgraph der kubischen Funktion $k(x)=2x^3+4$ soll um den Vektor
$\vec b=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
verschoben werden.
So müssen für die Punkte $P(x|y)$ folgende Bedingungen gelten:
- $x'=x+2$ und äquivalent dazu: $x=x'-2$ sowie
- $y'=y-2=f(x)-2=2x^3+4-2=2x^3+2$.
$y'=2(x'-2)^3+2$.
Es ist $(x'-2)^3=x'^3-6x'^2+12x'-8$. Dies kann nun eingesetzt werden
$\begin{array}{rcl} y'&=&2(x'^3-6x'^2+12x'-8)+2\\ &=&2x'^3-12x'^2+24x'-16+2\\ &=&2x'^3-12x'^2+24x'-14 \end{array}$.
Dies ist die gesuchte Gleichung des verschobenen Funktionsgraphen:
$k'(x)=2x^3-12x^2+24x-14$.
-
Ermittle den Verschiebungsvektor, welcher den roten Graphen auf den grünen Graphen verschiebt.
TippsDie Verschiebung kann schon anhand der Scheitelpunkte erkannt werden.
Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel ist deren höchster Punkt.
Beachte unbedingt: Es wird der Funktionsgraph von $g(x)$ verschoben.
LösungHier ist die Verschiebung zu sehen. Die Verschiebung erfolgt um eine Einheit nach links und fünf Einheiten nach oben.
Dies führt zu dem Verschiebungsvektor
$\vec v=\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$.
Dieser Vektor kann auch rechnerisch hergeleitet werden.
Hierfür werden zunächst die Scheitelpunkte der beiden Parabeln bestimmt:
- Die x-Koordinate erhält man, indem man die Gleichung $f'(x)=0$ bzw. $g'(x)=0$ löst. Dies führt zu $x_f=1$ und $x_g=2$.
- Diese Werte für $x$ werden in die jeweilige Funktionsgleichung eingesetzt:
Analog ermitteln wir $y_g=-2^2+4\cdot 2-3=1$. Der Scheitelpunkt ist also $S_g(2|1)$.
Damit ist die x-Koordinate des Verschiebungsvektors $v_x=1-2=-1$ und die y-Koordinate $v_y=6-1=5$. Dies sind gerade die Koordinaten des oben bereits aufgeführten Verschiebungsvektors.
-
Bestimme jeweils die neue Funktionsgleichung, die durch Verschiebung aus $f(x)=x^2+2$ hervorgeht.
TippsGanz allgemein führt eine Verschiebung um den Vektor
$\vec v=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
zu $f'(x)=(x-v_x)^2+2+v_y$.
Verwende die beiden binomischen Formeln
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Hier kannst du die verschobenen Parabeln sehen.
- Die grüne gehört zu $f(x)=x^2+2$,
- die gelbe entsteht durch Verschiebung um $\vec a$,
- die violette um $\vec b$,
- die rote um $\vec c$ und
- die blaue um $\vec d$.
LösungDie grüne Parabel ist die zu $f(x)=x^2+2$ gehörende.
Die Verschiebung um den Vektor $\vec a$ führt zu der gelben Parabel: $f_g(x)=(x-1)^2+2+1=x^2-2x+4$.
Die Verschiebung um den Vektor $\vec b$ führt zu der violetten Parabel: $f_v(x)=(x+1)^2+2+1=x^2+2x+4$.
Die Verschiebung um den Vektor $\vec c$ führt zu der roten Parabel: $f_r(x)=(x-1)^2+2-1=x^2-2x+2$.
Die Verschiebung um den Vektor $\vec d$ führt zu der blauen Parabel: $f_b(x)=(x+1)^2+2-1=x^2+2x+2$.
-
Beschreibe, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel findet.
TippsDie notwendige Bedingung für Extrema der Funktion $f(x)$ lautet
$f'(x)=0$.
Ein Punkt eines Funktionsgraphen zu der Funktion $f(x)$ ist gegeben durch $P(x|f(x))$.
Hier siehst du den Anfang der Berechnung der y-Koordinate
$y=k(-4)=(-4)^2+8\cdot (-4)-12$.
LösungUm den Scheitelpunkt (also den tiefsten Punkt) dieser Parabel zu bestimmen, benötigt man die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion. Diese sind
- $k'(x)=2x+8$ sowie
- $k''(x)=2>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor, da $k''(x)>0$.
$\begin{array}{rclll} 2x+8&=&0&|&-8\\ 2x&=&-8&|&:2\\ x&=&-4 \end{array}$
Dieser Wert für $x$ wird in die Funktionsgleichung eingesetzt:
$k(-4)=(-4)^2+8\cdot (-4)-12=16-32-12=-28$.
Der Scheitelpunkt lautet also $S(-4|-28)$.
-
Bestimme die Funktionsgleichung der verschobenen kubischen Funktion.
TippsWir können folgende Bedingungen festhalten:
- $x'=x-1$ und dazu äquivalent: $x=x'+1$ sowie
- $y'=y+3=x^3-x+3$.
Verwende die binomische Formel
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Du kannst zur Kontrolle einzelne Punkte des Funktionsgraphen verschieben.
LösungDie Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^3-x$ soll um den Vektor $\vec v=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ verschoben werden. Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion ergibt sich durch
$f'(x)=(x+1)^3-(x+1)+3$.
Nun können die Klammern aufgelöst werden:
$f'(x)=x^3+3x^2+3x+1-x-1+3=x^3+3x^2+2x+3$.
6.399
sofaheld-Level
6.573
vorgefertigte
Vokabeln
8.510
Lernvideos
37.559
Übungen
34.073
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion