Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren – Beispiele

Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren – Beispiele Übung

• Gib die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel an.

  Tipps

  Wenn du $x=x'-1$ in die Gleichung $y'=f(x)$ einsetzt, musst du die Klammern auflösen.

  Hierfür verwendest du unter anderem die zweite binomische Formel:

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Fasse diesen Term

  $y'=2(x'^2-2x'+1)+8x'-8+4$

  noch weiter zusammen.

  Lösung

  Wenn die zu der Funktion $g(x)=2x^2+8x+6$ gehörige Parabel um den Vektor

  $\vec w=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$

  verschoben werden soll, wird auch jeder Punkt $P(x|y)$ des Funktionsgraphen um diesen Vektor verschoben wird. Dadurch erhält man diese Menge an Bildpunkten $P'(x'|y')$:

  • $x'=x+1$ und äquivalent dazu: $x=x'-1$ sowie
  • $y'=y-2=f(x)-2$

  In $y'=y-2$ ersetzen wir $y$ nun durch unseren Funktionsterm:

  $y'=2x^2+8x+6-2=2x^2+8x+4$.

  Nun muss noch $x=x'-1$ in diese Gleichung eingesetzt werden. So erhält man

  $y'=2(x'-1)^2+8(x'-1)+4$.

  Zuletzt werden die Klammern aufgelöst. Dies führt zu

  $y'=2(x'^2-2x'+1)+8x'-8+4=2x'^2+4x'-2$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung der verschobenen Parabel lautet $g'(x)=2x^2+4x-2$.

• Ermittle die Gleichung der verschobenen kubischen Funktion.

  Tipps

  Verwende die binomische Formel

  $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

  Anstelle von $k(x)$ kannst durch auch einfach kurz $y$ schreiben:

  $y=k(x)=2x^3+4$.

  Lösung

  Der Funktionsgraph der kubischen Funktion $k(x)=2x^3+4$ soll um den Vektor

  $\vec b=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$

  verschoben werden.

  So müssen für die Punkte $P(x|y)$ folgende Bedingungen gelten:

  • $x'=x+2$ und äquivalent dazu: $x=x'-2$ sowie
  • $y'=y-2=f(x)-2=2x^3+4-2=2x^3+2$.

  Nun wird $x=x'-2$ in die Gleichung $y'=2x^3+2$ eingesetzt. So erhält man

  $y'=2(x'-2)^3+2$.

  Es ist $(x'-2)^3=x'^3-6x'^2+12x'-8$. Dies kann nun eingesetzt werden

  $\begin{array}{rcl} y'&=&2(x'^3-6x'^2+12x'-8)+2\\ &=&2x'^3-12x'^2+24x'-16+2\\ &=&2x'^3-12x'^2+24x'-14 \end{array}$.

  Dies ist die gesuchte Gleichung des verschobenen Funktionsgraphen:

  $k'(x)=2x^3-12x^2+24x-14$.

• Ermittle den Verschiebungsvektor, welcher den roten Graphen auf den grünen Graphen verschiebt.

  Tipps

  Die Verschiebung kann schon anhand der Scheitelpunkte erkannt werden.

  Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel ist deren höchster Punkt.

  Beachte unbedingt: Es wird der Funktionsgraph von $g(x)$ verschoben.

  Lösung

  Hier ist die Verschiebung zu sehen. Die Verschiebung erfolgt um eine Einheit nach links und fünf Einheiten nach oben.

  Dies führt zu dem Verschiebungsvektor

  $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$.

  Dieser Vektor kann auch rechnerisch hergeleitet werden.

  Hierfür werden zunächst die Scheitelpunkte der beiden Parabeln bestimmt:

  1. Die x-Koordinate erhält man, indem man die Gleichung $f'(x)=0$ bzw. $g'(x)=0$ löst. Dies führt zu $x_f=1$ und $x_g=2$.
  2. Diese Werte für $x$ werden in die jeweilige Funktionsgleichung eingesetzt:

  Der Funktionswert zu $x_f$ lautet $y_f=-1^2+2\cdot 1+5=6$. Der Scheitelpunkt lautet also $S_f(1|6)$.

  Analog ermitteln wir $y_g=-2^2+4\cdot 2-3=1$. Der Scheitelpunkt ist also $S_g(2|1)$.

  Damit ist die x-Koordinate des Verschiebungsvektors $v_x=1-2=-1$ und die y-Koordinate $v_y=6-1=5$. Dies sind gerade die Koordinaten des oben bereits aufgeführten Verschiebungsvektors.

• Bestimme jeweils die neue Funktionsgleichung, die durch Verschiebung aus $f(x)=x^2+2$ hervorgeht.

  Tipps

  Ganz allgemein führt eine Verschiebung um den Vektor

  $\vec v=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$

  zu $f'(x)=(x-v_x)^2+2+v_y$.

  Verwende die beiden binomischen Formeln

  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Hier kannst du die verschobenen Parabeln sehen.

  • Die grüne gehört zu $f(x)=x^2+2$,
  • die gelbe entsteht durch Verschiebung um $\vec a$,
  • die violette um $\vec b$,
  • die rote um $\vec c$ und
  • die blaue um $\vec d$.

  Lösung

  Die grüne Parabel ist die zu $f(x)=x^2+2$ gehörende.

  Die Verschiebung um den Vektor $\vec a$ führt zu der gelben Parabel: $f_g(x)=(x-1)^2+2+1=x^2-2x+4$.

  Die Verschiebung um den Vektor $\vec b$ führt zu der violetten Parabel: $f_v(x)=(x+1)^2+2+1=x^2+2x+4$.

  Die Verschiebung um den Vektor $\vec c$ führt zu der roten Parabel: $f_r(x)=(x-1)^2+2-1=x^2-2x+2$.

  Die Verschiebung um den Vektor $\vec d$ führt zu der blauen Parabel: $f_b(x)=(x+1)^2+2-1=x^2+2x+2$.

• Beschreibe, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel findet.

  Tipps

  Die notwendige Bedingung für Extrema der Funktion $f(x)$ lautet

  $f'(x)=0$.

  Ein Punkt eines Funktionsgraphen zu der Funktion $f(x)$ ist gegeben durch $P(x|f(x))$.

  Hier siehst du den Anfang der Berechnung der y-Koordinate

  $y=k(-4)=(-4)^2+8\cdot (-4)-12$.

  Lösung

  Um den Scheitelpunkt (also den tiefsten Punkt) dieser Parabel zu bestimmen, benötigt man die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion. Diese sind

  • $k'(x)=2x+8$ sowie
  • $k''(x)=2>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor, da $k''(x)>0$.

  Nun muss noch die Gleichung $k'(x)=0$ gelöst werden.

  $\begin{array}{rclll} 2x+8&=&0&|&-8\\ 2x&=&-8&|&:2\\ x&=&-4 \end{array}$

  Dieser Wert für $x$ wird in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  $k(-4)=(-4)^2+8\cdot (-4)-12=16-32-12=-28$.

  Der Scheitelpunkt lautet also $S(-4|-28)$.

• Bestimme die Funktionsgleichung der verschobenen kubischen Funktion.

  Tipps

  Wir können folgende Bedingungen festhalten:

  • $x'=x-1$ und dazu äquivalent: $x=x'+1$ sowie
  • $y'=y+3=x^3-x+3$.

  Verwende die binomische Formel

  $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

  Du kannst zur Kontrolle einzelne Punkte des Funktionsgraphen verschieben.

  Lösung

  Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^3-x$ soll um den Vektor $\vec v=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ verschoben werden. Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion ergibt sich durch

  $f'(x)=(x+1)^3-(x+1)+3$.

  Nun können die Klammern aufgelöst werden:

  $f'(x)=x^3+3x^2+3x+1-x-1+3=x^3+3x^2+2x+3$.