Betragsfunktionen

Betragsfunktionen Übung

• Gib zu den Graphen die Funktionsgleichungen an.

  Tipps

  Ein Vorfaktor verändert immer die Streckung/Stauchung eines Graphen.

  Werden Parameter hinzuaddiert, so wird ihr Graph auf einer der Achsen verschoben.

  Lösung

  Betrachten wir die Graphen der Reihe nach.

  Bild 1: $f(x)=a\cdot |x|$

  Der Graph dieser Betragsfunktion ist stärker in Richtung der y-Achse gestaucht als üblich. Hier wurde ein Faktor vor den Betrag gesetzt. Je größer dieser ist, desto stärker fällt/steigt der Graph der Betragsfunktion.

  Bild 2: $f(x)=|x|+c$

  Der Graph dieser Betragsfunktion wurde um zwei Einheiten auf der y-Achse nach unten verschoben. Hier wurde ein Parameter zum Argument der Funktion hinzuaddiert. Es hat den gleichen Einfluss wie bei einer linearen Funktion und gibt auch direkt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Hier wäre $c=-2$.

  Bild 3: $f(x)=|x|$

  Hier handelt es sich um die normale Betragsfunktion. Jeder Funktionswert ist der Betrag seines x-Wertes. Der Graph wurde nicht gestaucht oder verschoben.

  Bild 4: $f(x)=|x+b|$

  Der Graph dieser Betragsfunktion wurde entlang der x-Achse verschoben. Es wurde also kein Parameter hinter, sondern direkt in das Argument der Funktion eingefügt. Hierbei handelt es sich um $b=3$.

  Wir merken uns für Betragsfunktionen:

  Falls $f(x)=|x+b|$, so gilt

  • eine Verschiebung nach links für $b>0$ und

  • eine Verschiebung nach rechts für $b<0$

  entlang der x-Achse.

• Bestimme die Punkte, die durch den Parameter entstehen.

  Tipps

  Für $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.

  Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.

  Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.

  Lösung

  Beginnen wir mit dem Parameter $a$. Wird er zur Funktion hinzugefügt, so staucht bzw. streckt sich der Graph der Funktion.

  Sein Scheitelpunkt ändert sich hierdurch nicht; er bleibt $S(0|0)$. Es hat aber Einfluss auf die Funktionswerte von $P_1$ und $P_2$:

  Die neuen Koordinaten sind $P_1(1|a\cdot 1)$ und $P_2(-1|a\cdot 1)$.

  Beim Parameter $b$ wird der Graph nicht gestreckt oder gestaucht, sondern entlang der x-Achse verschoben. Dabei verschiebt er sich nach links, wenn $b>0$, und nach rechts, wenn $b<0$.

  Somit ändert sich der x-Wert des Scheitelpunktes: $S$ wird zu $S(-b|0)$.

  Auch von den x-Werten der Punkte $P_1$ und $P_2$ wird dieser Parameter abgezogen:

  Die neuen Koordinaten sind $P_1(1-b|1)$ und $P_2(-1-b|1)$.

  Beim Parameter $c$ findet auch eine Verschiebung statt, allerdings entlang der y-Achse, wie wir das auch schon von Graphen linearer Funktionen kennen.

  Hier hat der Parameter Einfluss auf die Funktionswerte aller Punkte und gibt direkt den y-Achsenabschnitt an:

  Die neuen Koordinaten sind $S(0|c)$, $P_1(1|1+c)$ und $P_2(-1|1+c)$.

• Gib die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Achsen an.

  Tipps

  Man berechnet den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem man $f(0)$ berechnet.

  Um einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse zu ermitteln, setzt man $f(x)=0$.

  Der Graph der angegebenen Funktion sieht folgendermaßen aus:

  Lösung

  Fangen wir mit den Schnittpunkten mit der x-Achse an.

  Für alle Punkte des Graphen auf der x-Achse muss der y-Wert der Funktion $0$ sein.

  Wir setzen $y=0=f(x)$

  $0= \begin{vmatrix}~|x|-2~\end{vmatrix}$

  Die äußeren Betragsstriche können wir zunächst weglassen:

  $0= |x|-2 \quad \Leftrightarrow \quad |x|=2$

  Hier sieht man, dass es zwei mögliche Lösungen für $x$ geben kann, nämlich $2$ und $-2$, da $-2$ durch den Betrag wieder positiv wird.

  Unsere Schnittpunkte mit der x-Achse sind also $(-2|0)$ und $(2|0)$.

  Nun zum Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir berechnen $f(0)$, da bei einem Punkt des Graphen auf der y-Achse $x=0$ gelten muss.

  $f(0)= \begin{vmatrix}~|0|-2~\end{vmatrix}$

  Hier lassen wir die äußeren Betragsstriche stehen und lassen dafür die inneren weg, da der Betrag von Null wieder Null ist:

  $f(0)= |0-2|=|-2|=2$

  Unser Schnittpunkt mit der y-Achse liegt also bei $(0|2)$.

• Bestimme die Parameter der Funktionen.

  Tipps

  Für $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.

  Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.

  Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.

  Lösung

  Gehen wir die Graphen der Reihe nach durch.

  Bild 1:

  Hier wurde der Graph entlang der y-Achse verschoben. Das bedeutet, dass ein Parameter hinzuaddiert wurde, was allgemein so aussehen würde: $f(x)=|x|+c$.

  Da in diesem Fall der Parameter den y-Achsenabschnitt angibt, können wir den Wert des Parameters als $c=2$ ablesen.

  Bild 2:

  Bei diesem Graphen sehen wir eine Verschiebung entlang der x-Achse. Das bedeutet, dass ein Parameter innerhalb des Arguments der Funktion hinzuaddiert wurde. Allgemein sieht das so aus:

  $f(x)=|x+b|$

  Wir erinnern uns: Für negative $b$ verschiebt man den Funktionsgraphen um $b$ Einheiten nach rechts, für positive nach links. Da der Graph zwei Einheiten nach rechts verschoben wurde, erhalten wir für den Wert des Parameters:

  $b=-2$

  Bild 3:

  Dieser Funktionsgraph ist in Richtung der y-Achse gestreckt. Streckung und Stauchung erreicht man, indem man einen Vorfaktor verwendet, was allgemein so aussieht:

  $f(x)=a\cdot |x|$

  Die Funktionswerte verändern sich dann im Gegensatz zu einer normalen Betragsfunktion so:

  $P(1|1)$ wird zu $P(1|a\cdot 1)$.

  Wir können den Punkt $(1|2)$ ablesen, was bedeutet, dass dies der Wert des Parameters sein muss:

  $a=2$

  Bild 4:

  Dieser Funktionsgraph besitzt drei, statt wie üblich einen Scheitelpunkt. Wie du an der Skizze erkennen kannst, wird die Betragsfunktion zunächst entlang der y-Achse um zwei Einheiten nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung dafür lautet $f(x)=|x|-2$.

  Dann wurde der Bereich von $-2$ bis $2$ an der x-Achse gespiegelt. Das bedeutet, dass der gesamte Funktionsterm noch einmal in einen Betrag gesetzt wurde, damit der Graph komplett oberhalb der x-Achse verläuft.

  Die gesuchte Funktion ist damit:

  $f(x)=|~|x|-2|$

• Bestimme, welcher Graph zur Betragsfunktion $f$ gehört.

  Tipps

  Der Betrag macht alle Werte innerhalb der Betragsstriche positiv.

  Es gilt: $|-4| = 4$.

  Lösung

  Da der Betrag eines Wertes immer positiv ist, kann der Graph von $f(x)= |x|$ für alle möglichen x-Werte immer nur im positiven Bereich liegen.

  Eine Wertetabelle kann dir immer helfen, markante Punkte des Graphen zu finden, um ihn dir besser vorstellen oder zeichnen zu können. Hier ist ein Beispiel für eine passende Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-2&-1&0&1&2 \\ \hline y&2&1&0&1&2 \end{array}$

  Wir sehen also, dass die Betragsfunktion oberhalb der x-Achse und durch den Ursprung verlaufen muss.

• Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$.

  Tipps

  Lege dir eine Wertetabelle für $-5<x<5$ an.

  Definitionslücken sind Werte, für die die Funktion nicht definiert ist. So ist die Definitionslücke von $f(x)=\frac{1}{x}$ gerade $x=0$, da man nicht durch null teilen darf.

  Berechne mal den Betrag $|f|$ der Funktion $f$. Was fällt dir auf?

  Schnittpunkte mit der y-Achse haben die Form $(0|f(0))$.

  Willst du die Schnittstellen mit der x-Achse ausrechnen, so machst du den Ansatz $f(x)=0$.

  Lösung

  Wir sehen die Funktion $f(x)=\frac{x}{|x|}$ hier blau im Bild. Bei $x=0$ haben wir eine Definitionslücke.

  Mithilfe einer Wertetabelle kannst du dir ein paar markante Punkte berechnen und nach diesen dann den Graphen selbst zeichnen.

  Wir sehen, dass der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft. Das liegt daran, dass nur der Nenner und nicht der ganze Bruch im Betrag steht. So können auch negative Funktionswerte entstehen.

  Es gibt keine Schnittpunkte mit der x-Achse, da der Graph parallel zu ihr verläuft. Somit haben wir auch keinen Scheitelpunkt, weil es sich um zwei zueinander parallele Geraden handelt.

  Wir haben sogar eine Definitionslücke bei $x=0$, da wir nicht durch $0$ teilen dürfen. Daher haben wir auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.