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Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße

Betrachte den Zufallsversuch einmaliges Würfeln mit einem Würfel, die Zufallsgröße X gebe die gewürfelte Augenzahl an. Berechne dazu den Erwartungswert und die Varianz bzw. die Standardabweichung.

  • E(X) = 3; V(X) = 19/3 = 6,333...; σ = 2,517
  • E(X) = 3,5; V(X) = 3/2 = 1,5; σ = 1,225
  • E(X) = 3,5; V(X) = 35/12 = 2,91666...; σ = 1,708
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Steve Taube

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße

lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße

In diesem Video erkläre ich Dir die Begriffe "Erwartungswert", "Varianz" und "Standardabweichung". An einem Beispiel, bei dem ich als Zufallsexperiment würfle, werde ich dir die Bedeutung der drei Begriffe veranschaulichen. Am Ende werden noch zwei wichtige Eigenschaften des Erwartungswertes und der Varianz angegeben. Du solltest bereits wissen, wie Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Wenn Du mehr über Wahrscheinlichkeitsrechnung lernen möchtest, kannst Du Dir noch die Videos über die Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße anschauen.

Transkript Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße

Hallo! In diesem Video geht es um den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was soll der Erwartungswert sein? Als Zufallsexperiment würfeln wir zweimal mit einem Tetraeder. Der hat genau vier Seiten. Und die Zufallsgröße x soll immer die Differenz dieser beiden Augenwerte beschreiben. Da die Augenwerte die Zahlen von 1 bis 4 sind, kann die Differenz nur Werte von 0 bis 3 annehmen. Und ohne jetzt noch mal genauer darauf einzugehen, wie die Wahrscheinlichkeiten zustande kommen, möchte ich die einfach angeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz 0 ist, 4/16. Die Differenz 1 hat die Wahrscheinlichkeit 6/16, 2 4/16 und 3 2/16. Das kann man noch schnell kürzen. Und wenn wir jetzt ganz viele Werte von x beobachten, können wir uns am Schluss fragen, was denn am Schluss im Durchschnitt für ein Wert rausgekommen ist. Und dieser Wert soll eben genau der Erwartungswert der Zufallsgröße sein. Jetzt machen wir das aber nicht genau wie beim arithmetischen Mittel, sondern wir wichten jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Also wir wissen ja schon, dass die 0 zum Beispiel mit der Wahrscheinlichkeit 2/8 auftritt. Also nehmen wir uns von der 0 nur 2/8. Dazu addieren von der 1 den Anteil 3/8. Von der 2 nehmen wir uns nur 2/8 und von der 3 1/8. Und diese Anteile werden dann jeweils aufaddiert. Die Summe der Anteile muss immer 1 ergeben. Sodass man quasi eine ganze neue Zahl aus verschiedenen Teilen anderer Zahlen zusammensetzt. Der Erwartungswert ist also das, mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete, arithmetische Mittel der Werte von x. Hier kommt übrigens 1,25 raus. Und das wäre dann also die durchschnittliche Differenz der beiden Augenzahlen. Jetzt zeichnen wir mal das Stabdiagramm dieser Zufallsgröße auf. Da liegt der Erwartungswert ungefähr hier. Man sieht hier insbesondere, dass der Erwartungswert nicht unbedingt ein Wert sein muss, den die Zufallsgröße wirklich annehmen kann. Und jetzt schauen wir uns mal die allgemeine Definition an: Sei x eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte x1 bis xn annehmen kann. Dann heißt die Kenngröße E(x)=x1×P(X=x1)+...+xn×P(X=xn) beziehungsweise ? über i=1 bis n von xi×P(X=xi) der Erwartungswert der endlichen Zufallsgröße x. Man multipliziert also immer den Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert auftritt. Und diese Produkte summiert man dann über alle Werte auf. Als Beispiele betrachten wir jetzt noch mal 2 Zufallsvariablen. Die Zufallsvariable x, die die Werte 1, 3 und 5 annehmen kann, mit den Wahrscheinlichkeiten 0,45, 0,1 und 0,45. Und die Zufallsgröße y, die die Werte 1, 2, 4 und 5 annehmen kann, mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2, 0,3, 0,3, 0,2. Die Stabdiagramme dieser beiden Zufallsgrößen sehen dann so aus. Der Erwartungswert von x berechnet sich jetzt durch 1×0,45+3×0,1+5×0,45. Das ergibt 3. Und diesen Erwartungswert hätte man tatsächlich auch erwartet. Denn rechts und links von 3 verteilen sich die Werte der Zufallsgröße identisch. Der Erwartungswert von y ist 1×0,2+2×0,3 und so weiter. Mittlerweile wissen wir schon, wie es geht. Und da kommt auch 3 raus, denn auch hier sieht man, dass sich um die 3 die Werte der Zufallsgröße gleich verteilen. Trotzdem ist die Verteilung der Zufallsvariablen sehr verschieden. Das heißt, ein gleicher Erwartungswert sagt noch nichts darüber aus, ob die Verteilungen tatsächlich ähnlich sind. Wenn man also einmal der Erwartungswert hat, wäre es also viel interessanter noch zu wissen, in welchem Maße sich die anderen Werte um den Erwartungswert herum gruppieren. Also, ob sich die Werte im Mittel sehr weit um den Erwartungswert streuen oder ob sie sich näher an ihm dran gruppieren. Und das kann man mit der Varianz ausrechnen. Die Definition sieht so aus: Sei x eine endliche Zufallsgröße mit dem Erwartungswert E(x), dann heißt folgende Größe Varianz von x. Wir nehmen uns einen Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, und ziehen davon den Erwartungswert ab. Weil dabei positive oder negative Differenzen herauskommen können, quadrieren wir das Ganze und multiplizieren dann mit der Wahrscheinlichkeit für diesen Wert. Das Ganze wird danach aufsummiert über alle möglichen Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann. Also E([X-E(x)]²) und davon berechnen wir im Prinzip den Erwartungswert. Also die mittlere Abweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße. Da man in der Formel immer die Quadrate der Differenzen genommen hat, zieht man jetzt am Schluss wieder die Wurzel, um das sozusagen rückgängig zu machen. Und das heißt dann Standardabweichung der Zufallsgröße. Nehmen wir noch mal unsere Zufallsgröße von dem Tetraeder, die hatte den Erwartungswert 1,25, und berechnen deren Varianz. Wir nehmen also den Wert 0, ziehen davon 1,25 ab. Das Ganze wird quadriert und mit der Wahrscheinlichkeit für 0 multipliziert. Dann addieren wir (1-1,25)²×6/16 und so weiter. Das ergibt 15/14. Und als Standardabweichung also Wurzel aus der Varianz ergibt sich ungefähr 1,04. Das heißt, im Mittel weichen die Werte der Zufallsgröße um 1,04 vom Erwartungswert ab. Wenn wir uns das Stabdiagramm noch mal anschauen, dann können wir das auch bestätigen. Jetzt möchte ich auch noch mal auf unsere anderen beiden Beispiele zurückkommen. Ich schreibe noch mal die Wertetabellen auf und zeichne die Stabdiagramme. Bei beiden war der Erwartungswert 3 und wir wollen jetzt noch die Varianzen berechnen. Zur Varianz von x nehmen wir den Erwartungswert 3, ziehen den Wert 1 ab, quadrieren das Ganze und multiplizieren mit der Wahrscheinlichkeit, also 0,45. Dann ziehen wir 3 vom Wert 3 ab, quadrieren und multiplizieren mit 0,1. Und dann ziehen wir 5 von 3 ab, quadrieren und multiplizieren mit 0,45. Das ergibt 3,6 und damit eine Standardabweichung von ungefähr 1,9. Das bestätigt man auch, denn 90 Prozent der Werte haben ja den Abstand 2 vom Erwartungswert. Die Varianz von y berechnen wir genauso. Wir ziehen von dem entsprechenden Wert immer den Mittelwert ab, quadrieren und multiplizieren mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit. Das Ganze wird aufsummiert. Das ergibt 2,2. Und damit ist die Standardabweichung ungefähr 1,48. Auch hier passt das schön zu unserem Stabdiagramm, denn 60 Prozent der Werte haben den Abstand 1 und die anderen 40 Prozent der Werte haben den Abstand 2 vom Erwartungswert. Zum Schluss möchte ich noch auf 2 wichtige Eigenschaften hinweisen. Zum einen ist der Erwartungswert einer Summe von 2 Zufallsvariablen gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte. Das kann man sich kurz mal klar machen. Wenn zum Beispiel die Zufallsvariable x beschreibt, wie viele Tore Paulo bei 10 Schüssen schießt und er hat einen Erwartungswert von 7, und y beschreibt, wie viele Tore Martin bei 10 Schüssen schießt und er hat einen Erwartungswert von 4, dann beschreibt die Zufallsvariable x+y, wie viele Tore Martin und Paulo zusammen bei je 10 Schüssen schießen. Und das sind dann natürlich 7+4, also 11. Und die zweite Eigenschaft ist, dass auch die Varianz einer Summe von zwei Zufallsvariablen wieder gleich der Summe der einzelnen Varianzen ist. Okay, jetzt haben wir also 2 der wichtigsten Begriffe der Stochastik kennengelernt und ich hoffe mal, dass ein bisschen hängen geblieben ist. Das war es.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. Danke Bruder hat mir mega zum Verständnis geholfen. =)

    Von Paul 18, vor etwa 5 Jahren
  2. Sehr gut erklärt, habe es jetzt endlich auch mal verstanden. Dankeschön :)

    Von Johannamueller1997, vor mehr als 5 Jahren
  3. Echt gut! Danke! :)

    Von Thomasmaier, vor mehr als 5 Jahren
  4. ...hat mich ganz schön durcheinander gebracht der "nicht fehler"... ansonsten gut:)

    Von Lisahalter, vor fast 6 Jahren
  5. Ich würde nicht sagen, dass das ein Fehler ist. Es geht ja tatsächlich nur um die Beträge.

    Von Steve Taube, vor fast 6 Jahren
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