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Erwartungswert – faires Spiel (ohne Zufallsgrößen)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Erwartungswert – faires Spiel (ohne Zufallsgrößen)
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Erwartungswert – faires Spiel (ohne Zufallsgrößen)

In diesem Video geht es um eine typische Aufgabe zum Erwartungswert: Es soll zunächst der Erwartungswert des Gewinns eines Glücksspiels berechnet werden. Dann soll das Spiel so angepasst werden, dass es fair ist. Ein Spiel ist im mathematischen Sinne fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist. In der Praxis werden solche Spiele aber normalerweise nicht angeboten, da der Spieleanbieter Geld verdienen möchte. Deshalb ist der Erwartungswert solcher Glücksspiele negativ.

Meistens wird der Erwartungswert einer Zufallsgröße bestimmt. Das ist aber nicht unbedingt nötig. In diesem Video kommen wir ohne die Definition der Zufallsgröße aus.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Wie formt man das nach 0 um beim erwartungswert wo 2,5€ rauskommt.

    Von Ppaschen3, vor mehr als einem Jahr
  2. Hallo Xaide,
    da hier die einzelnen Spiele unabhängig voneinander sind, ist der Erwartungswert für jedes Mal drehen gleich, also immer bei -20ct. Würde man zweimal spielen/drehen, hätte man dann insgesamt einen Verlust von 40ct zu erwarten.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 3 Jahren
  3. Und wie ändert sich der Erwartungswert nach zweimaligem Drehen?

    Von Xaide, vor fast 3 Jahren

Erwartungswert – faires Spiel (ohne Zufallsgrößen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erwartungswert – faires Spiel (ohne Zufallsgrößen) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Größen an, welche zur Berechnung des erwarteten Gewinns benötigt werden und berechne diesen.

    Tipps

    Ziehe von der Auszahlung den Einsatz ab, so erhältst du den Gewinn.

    Ein Verlust ist ein negativer Gewinn. Das passiert, wenn der Einsatz größer ist als die Auszahlung.

    Zu einer Auszahlung von $4~€$ kommt es bei einem blauen Feld. Wie viele blaue Felder gibt es und wie viele Felder gibt es insgesamt?

    Lösung

    Es soll der zu erwartende Gewinn berechnet werden.

    Schauen wir uns zunächst die Auszahlungen an. Wenn wir von diesen jeweils den Einsatz in Höhe von $2~€$ subtrahieren, erhalten wir den jeweiligen Gewinn. Mathematisch bedeutet dies, dass jedem Ergebnis des Zufallsversuchs ein Gewinn zugeordnet wird. Diese Zuordnung wird als Zufallsgröße bezeichnet.

    • „blau“ $\rightarrow~4~€$, also $a_1=4~€-2~€=2~€$
    • „grün“ $\rightarrow~1~€$, und damit $a_2=1~€-2~€=-1~€$
    • „rot“ $\rightarrow~0~€$, also $a_3=0~€-2~€=-2~€$
    Die jeweiligen Gewinne (bzw. negativen Gewinne) werden mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert:

    • $P(a_1)=\frac25$,
    • $P(a_2)=\frac15$ und
    • $P(a_3)=\frac25$.
    Damit ergibt sich der zu erwartende Gewinn:

    $E=2~€\cdot \frac25-1~€\cdot \frac15-2~€\cdot \frac25=-\frac15~€=-0,20~€$.

    Das bedeutet, dass der zu erwartende Gewinn $-20~ct$ beträgt. Dies ist ein Verlust. Es ist ratsam, dieses Spiel nicht zu spielen.

    Eine wichtige Faustregel: Ein Glücksrad macht nicht glücklich. Dies gilt für alle Glücksspiele.

  • Bestimme die Auszahlung für „Blau“, damit das Spiel fair ist.

    Tipps

    Beachte: Der Einsatz beträgt $2~€$. Diesen musst du noch zu dem Gewinn für „Blau“ addieren, um die „faire“ Auszahlung zu erhalten.

    Du erhältst eine lineare Gleichung mit dem unbekannten Gewinn $x$. Auf einer Seite der Gleichung steht die $0$.

    Lösung

    Der zu erwartende Gewinn $x$ bei unbekannter Auszahlung $(x+2)~€$ für „Blau“ beträgt:

    $E=x~€\cdot \frac25-1~€\cdot \frac15-2~€\cdot \frac25=\frac{2x-5}5~€$.

    Dieser muss gleich $0~€$ sein. So erhält man diese Gleichung:

    $\frac{2x-5}5~€=0~€$.

    Das bedeutet, dass für den Zähler $2x-5=0$ gelten muss. Wende Äquivalenzumformungen an:

    • Addiere $5$ zu $2x=5$ und
    • dividiere durch $2$. So erhältst du $x=2,5$.
    Also muss der Gewinn für „Blau“ $2,50~€$ betragen. Da der Einsatz $2~€$ beträgt, muss dieser noch zum Gewinn addiert werden. Dies führt zu der „fairen“ Auszahlung $2,50~€+2~€=4,50~€$.

  • Berechne die Auszahlungen für „Rot“ und „Grün“ sowie den Einsatz für ein faires Spiel.

    Tipps

    Ersetze jeweils bei dem zu erwartenden Gewinn für die jeweilige Farbe den Gewinn durch $x$. Hier siehst du dies für das blaue Feld:

    $E=x~€\cdot \frac25-1~€\cdot \frac15-2~€\cdot \frac25=\frac{2x-5}5~€$.

    Setze nun diesen zu erwartenden Gewinn gleich $0~€$ und forme die entsprechende Gleichung nach $x$ um:

    $\frac{2x-5}5~€=0~€$.

    Für das blaue Feld erhältst du den Gewinn $2,50~€$. Die Auszahlung beträgt dann $2,50~€+2~€=4,50~€$.

    Berechne zur Bestimmung des Einsatzes die zu erwartende Auszahlung.

    Diese muss gleich dem Einsatz sein.

    Lösung

    Um jeweils die Auszahlung bei „Grün“ oder „Rot“ zu bestimmen, ersetzt du in der folgenden Formel den entsprechenden Gewinn durch $x$:

    $E=2~€\cdot \frac25+(-1)~€\cdot \frac15+(-2)~€\cdot \frac25$.

    Der zu erwartende Gewinn muss in einem fairen Spiel jeweils gleich $0~€$ sein.

    Zu dem grünen Feld:

    Hier wurde $x$ anstelle des Gewinns für ein grünes Feld eingesetzt:

    $E=2~€\cdot \frac25+x~€\cdot \frac15+(-2)~€\cdot \frac25=\frac{x}5~€$.

    Der zu erwartende Gewinn $E$ muss $0~€$ betragen, also ist $x=0$. Nun addierst du noch den Einsatz und erhältst als Auszahlung $0~€+2~€=2~€$.

    Zu dem roten Feld:

    Hier wurde $x$ anstelle des Gewinns für ein rotes Feld eingesetzt:

    $E=2~€\cdot \frac25+(-1)~€\cdot \frac15+x~€\cdot \frac25=\frac{3+2x}5~€$.

    Der zu erwartende Gewinn $E$ muss $0~€$ betragen, also ist $3+2x=0$ zu lösen. Subtrahiere $3$ und dividiere anschließend durch $2$. Dies führt zu $x=-1,5$. Nun addierst du noch den Einsatz und erhältst als Auszahlung $-1,50~€+2~€=0,50~€$.

    Zu guter Letzt schauen wir uns noch an, bei welchem Einsatz das Spiel fair wäre. Wir verändern also nicht die Auszahlungen, sondern den Einsatz. Hierfür berechnen wir die zu erwartende Auszahlung:

    $E=4~€\cdot \frac25+1~€\cdot \frac15+0~€\cdot \frac25=\frac95~€=1,80~€$.

    Das bedeutet, wenn der Einsatz gleich dem zu erwartenden Gewinn, also gleich $1,80~€$ ist, dann ist das Spiel fair.

  • Entscheide, bei welcher Auszahlung das Spiel fair ist.

    Tipps

    Du kannst jeweils die zu erwartende Auszahlung berechnen. Diese muss gleich dem Einsatz sein. Dann ist das Spiel fair.

    Verwende jeweils diese Formel:

    $E=a_1\cdot P(e_1)+a_2\cdot P(e_2)+a_3\cdot P(e_3)$.

    Die Wahrscheinlichkeiten sind $P(e_1)=\frac15=P(e_2)$ sowie $P(e_3)=\frac35$.

    Einmal ist die zu erwartende Auszahlung kleiner und einmal größer als der Einsatz.

    Lösung

    Ein Spiel ist fair, wenn der zu erwartende Gewinn gleich $0$ ist. Dies ist der Fall, wenn die zu erwartende Auszahlung gleich dem Einsatz ist.

    Deshalb berechnen wir nun für jedes der Beispiele die erwartete Auszahlung.

    Hierfür benötigen wir noch die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse:

    • $e_1$ ist erfüllt für ein Feld, somit ist $P(e_1)=\frac15$.
    • Dies gilt auch für $e_2$. Damit ist auch $P(e_2)=\frac15$.
    • Es bleiben noch drei Felder, welche $e_3$ erfüllen. Damit ist $P(e_3)=\frac35$.
    Wir schauen uns nun von oben nach unten die verschiedenen Einsätze und Auszahlungen an:

    1. $E=2~€\cdot \frac15+3~€\cdot \frac15+4~€\cdot \frac35=\frac{17}5~€=3,40~€$. Dies ist größer als der Einsatz, also ist das Spiel nicht fair.
    2. $E=2,50~€\cdot \frac15+5~€\cdot \frac15+0~€\cdot \frac35=\frac{7,50}5~€=1,50~€$. Dies ist gleich dem Einsatz, also ist das Spiel fair.
    3. $E=1~€\cdot \frac15+2~€\cdot \frac15+3~€\cdot \frac35=\frac{12}5~€=2,40~€$. Dies ist kleiner als der Einsatz, also ist das Spiel nicht fair.
    4. $E=1~€\cdot \frac15+3~€\cdot \frac15+4~€\cdot \frac35=\frac{15}5~€=3~€$. Dies ist gleich dem Einsatz, also ist das Spiel fair.
  • Schildere, wann ein Spiel fair ist.

    Tipps

    „Fair“ bedeutet, dass das Spiel sowohl für den Spieler als auch für den Anbieter des Spiels fair ist.

    Man könnte auch sagen, „das Spiel muss $0$ auf $0$ ausgehen“.

    Um den Gewinn zu erhalten, subtrahierst du von der Auszahlung den Einsatz.

    Bekommst du mehr heraus, als du bezahlt hast, ist das Spiel für dich günstig, für den Spielanbieter jedoch ungünstig.

    Es sind zwei Antworten richtig.

    Lösung

    Bei Glücksspielen geht es oft darum, ob das Spiel „fair“ ist. Nur was bedeutet das?

    Das bedeutet, dass der zu erwartende Gewinn gleich $0$ sein muss.

    Dies kann man auch anders ausdrücken: Die zu erwartende Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein.

    In allen anderen Fällen ist das Spiel entweder für den Spieler oder für den Anbieter des Spiels günstig und für den jeweils anderen demzufolge ungünstig.

  • Untersuche, für welchen Winkel $\alpha$ das Spiel fair ist.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeiten hängen von dem Winkel $\alpha$ ab.

    Es ist

    • $P($blau$)=\frac{\alpha}{360^\circ}$ sowie
    • $P($rot$)=\frac{360^\circ-\alpha}{360^\circ}=1-P($blau$)$.

    Du kannst mit unbekanntem $p=P($blau$)$ die zu erwartende Auszahlung berechnen. Diese muss gleich dem Einsatz sein, damit das Spiel fair ist.

    Forme zuletzt zu diesem $p$ die Gleichung

    $p=\frac{\alpha}{360^\circ}$

    nach $\alpha$ um.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit, das blaue Feld zu drehen, hängt von dem Winkel $\alpha$ ab. Es gilt:

    $p=P($blau$)=\frac{\alpha}{360^\circ}$.

    Damit ist die Wahrscheinlichkeit, das rote Feld zu drehen $1-p=P($rot$)$.

    Damit lässt sich die zu erwartende Auszahlung berechnen:

    $\begin{array}{rcl} E&=&10~€\cdot p+2~€\cdot (1-p)\\ &=&(10p+2-2p)~€\\ &=&(8p+2)~€ \end{array}$

    Diese Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein, also $5~€$. Dies führt zu der Gleichung $8p+2=5$.

    • Subtrahiere $2$, so erhältst du $8p=3$.
    • Dividiere nun durch $8$. Dies führt zu $p=\frac38$.
    Um den Winkel $\alpha$ zu berechnen, formst du die Gleichung $\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac38$ um:

    $\begin{array}{rclll} \frac{\alpha}{360^\circ}&=&\frac38&|&\cdot 360^\circ\\ \alpha&=&135^\circ \end{array}$

    Der Winkel muss $135^\circ$ betragen.

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