Logarithmusgesetze – Übungen
- Logarithmusgesetze – Einstieg
- Logarithmen addieren – Produktregel
- Logarithmen subtrahieren – Quotientenregel
- Logarithmus einer Potenz – Potenzregel
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
5 Minuten verstehen
5 Minuten üben
2 Minuten Fragen stellen
Bereit für eine echte Prüfung?
Lerntext zum Thema Logarithmusgesetze – Übungen
Logarithmusgesetze – Einstieg
Wie bei vielen anderen Themen in der Mathematik gibt es auch für die Rechnung mit dem Logarithmus einige Regeln und Gesetze. Was solltest du vorweg schon wissen?
- Was Logarithmen eigentlich sind, wie der Logarithmus definiert ist und wie die einzelnen Bestandteile im Logarithmus heißen
- Was hinter einer Potenz steckt und wie diese berechnet werden kann
Wie so oft bei Regeln in der Mathematik gilt: Sie wirken erst einmal komplex, sind aber in der Anwendung hilfreich und vereinfachen viele Rechenwege sehr.
Logarithmen addieren – Produktregel
Als Erstes wollen wir uns auf die Addition von Logarithmen konzentrieren. Dabei gilt:
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren:
$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:
$\log_{\color{green}{2}}{(\color{red}{4} \cdot \color{#0000FF}{8}})=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{4}} + \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 2+3 = 5$
$\log_{\color{green}{5}}{(\color{red}{25} \cdot \color{#0000FF}{125}})=\log_{\color{green}{5}}{\color{red}{25}} + \log_{\color{green}{5}}{\color{blue}{125}} = 2+3 = 5$
Das Gesetz kann auch andersherum angewendet werden. Dabei musst du aber immer darauf achten, dass die Basis der Logarithmen tatsächlich gleich ist:
$\log_{\color{green}{4}}{\color{red}{8}} + \log_{\color{green}{4}}{\color{blue}{2}} =\log_{\color{green}{4}}{(\color{red}{8} \cdot \color{blue}{2}})=\log_{\color{green}{4}}{16}=2$
Natürlich kommt es eher selten vor, dass in einer Rechnung direkt ein Produkt im Logarithmus steht. Daher ist es hilfreich, wenn ein Logarithmus einer großen Zahl gebildet werden soll, zunächst zu schauen, ob man daraus ein Produkt bilden könnte. Das kann dir helfen, den Logarithmus im Kopf zu lösen. Ein Beispiel soll dir das verdeutlichen:
$\log_{8}{512} = \log_{8}{(8 \cdot 64)} = \log_{8}{8} + \log_{8}{64}=1+2=3$
Versuch, die nachfolgenden Aufgaben einmal selbstständig zu lösen.
Logarithmen subtrahieren – Quotientenregel
Als Nächstes wollen wir uns die Subtraktion von Logarithmen anschauen. Dabei gilt:
Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner:
$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:
$\log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{32}}{ \color{#0000FF}{8}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{32}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 5-3=2$
$\log_{\color{green}{3}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{3}}{ \color{#0000FF}{27}}\right)}=\log_{\color{green}{3}}{\color{red}{3}} - \log_{\color{green}{3}}{\color{blue}{27}} = 1-3= -2 $
Auch dieses Gesetz kann andersherum angewendet werden (auch hier müssen dafür die Basen der Logarithmen identisch sein):
$\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{24}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{blue}{12}} = \log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{24}}{ \color{#0000FF}{12}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{2}=1 $
Jetzt bist du wieder dran! Löse die nachfolgenden Aufgaben selbstständig.
Hinweis: Alternativ können die Brüche natürlich auch für den Lösungsweg gekürzt werden.
Logarithmus einer Potenz – Potenzregel
Zum Abschluss schauen wir uns an, wie man den Logarithmus einer Potenz umschreiben kann.
Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz.
$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$
Die nachfolgenden Beispiele sollen dir das deutlicher machen:
$\log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}^\color{#0000FF}{7}}= {\color{#0000FF}{7}} \cdot \log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}} = 7 \cdot 3 = 21$
$\log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}^\color{#0000FF}{5}}= {\color{#0000FF}{5}} \cdot \log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}} = 5 \cdot 2 = 10$
Andersherum kann das Gesetz wie folgt angewendet werden:
${\color{#0000FF}{6}} \cdot \log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}} =\log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}^\color{#0000FF}{6}}=\log_{\color{#008000}{8}}{64}=2$
Wie bei den anderen beiden Rechenregeln darfst du dich jetzt auch wieder an ein paar Aufgaben versuchen!
Logarithmusgesetze – Zusammenfassung
Das waren jetzt ganz schön viele Zahlen und Regeln. Nun sollten dir Logarithmus-Aufgaben einfacher fallen!
Zur Wiederholung:
- Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
- Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$
- Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):
$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$
Logarithmusgesetze – Übungen Übung
-
Bennene die Logarithmusgesetze.
TippsDer Quotient und die Rechnung mit dem Bruch passen in keine Lücke.
Lösung- Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):
- Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):
- Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):
-
Wende ein Logarithmusgesetz an.
TippsDer Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus gezogen.
Lösung- $ \log_7 3^4 = 4 \cdot \log_7 3$
- $\log_4 7^3 = 3 \cdot \log_4 7$
- $\log_7 4^3 = 3 \cdot \log_7 4$
- $\log_3 7^4 = 4 \cdot \log_3 7$
-
Ergänze die Rechnungen.
TippsEs müssen ausschließlich ganze Zahlen in die Felder eingetragen werden. Alle Werte kannst du im Kopf berechnen!
Lösung- $\log_4 64=\log_4 (4\cdot 16)= \log_4 4 + \log_4 16= 1 + 2 = 3$
- $\log_8 2+ \log_8 32 = \log_8 (2\cdot 32)=\log_8 64 = 2$
- $\log_{10} \big(\frac{10}{1000}\big)=\log_{10} 10 - \log_{10} 1000 = 1-3 = -2$
- $\log_3 81=\log_3 9^2 = 2\cdot \log_3 9= 2\cdot 2 = 4$
-
Finde Fehler bei der Anwendung von Logarithmusgesetzen.
TippsNur eine Rechnung ist vollständig korrekt.
Lösung- $\log_5 100= \log_5 (5 \cdot 25) =\log_5 5 + \log_5 25=1+2=3$
Wenn $\log_5 100$ gesucht ist, kann man wegen $100=4\cdot 25$ auflösen zu $\log_5 4+\log_5 25$, allerdings ist $\log_5 4$ keine ganze Zahl und könnte z. B. mit dem Taschenrechner bestimmt werden.
- $\log_2 2 + \log_4 32=\log_{2\cdot 4} {2\cdot 32} = \log_8 64 = 2$
- $\log_2 32= \log_2 (4\cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$
- $\log_6 (3) {\color{#FF0000}{ \cdot}} \log_6 12=\log_6 (3 \cdot 12)=\log_6 36=2$
-
Beschreibe den Rechenweg.
TippsEs fängt an mit einem Textbaustein und dann wechseln sich Rechungen und Textbausteine ab.
LösungWir wenden die Regel rückwärts an und fassen die beiden Logarithmen zu einem zusammen:
$\log_7 \big( \frac{98}{2}\big)$
Dann kürzen wir den Bruch im Numerus:
$\log_7 49$
Anschließend wenden wir den Logarithmus an und erhalten das Ergebnis:
$\underline{\underline{2}}$
-
Wende ein Logarithmusgesetz an, um das Ergebnis näherungsweise zu bestimmen.
Tipps$400=2\cdot 2 \cdot 100$ oder $400=2\cdot 2 \cdot 10\cdot 10$
Lösung$\log_{10} 400$
$= \log_{10} (2\cdot 2 \cdot 100)$
$= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 100$
$\approx 0,3 + 0,3 + 2 = 2,6$
oder
$\log_{10} 400$
$= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 10 + \log_{10} 10$
$\approx 0,3 + 0,3 + 1+1 = \underline{\underline{2,6}}$
9.369
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
7.747
Lernvideos
37.181
Übungen
32.408
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Flächeninhalt – Übungen
- Volumen Zylinder
- Potenzgesetze – Übungen
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Binomische Formeln – Übungen
- Raute
- Brüche umwandeln Übungen
- Parallelogramm
- Ungleichungen – Übungen
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Quadratische Gleichungen – Übungen
- Flächeninhalt
