Ebenengleichungen in Parameterform – Beispiel

Hi und willkommen zu meinem Video Ebenen in Parameterform. Fangen wir gleich an. In r³, also der dreidimensionale Raum, den wir kennen, sind Ebenen zweidimensionale Gebilde. Eine Ebene besteht aus: Einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Wie können wir uns die Sache vorstellen? Eine Ebene ist ein zweidimensionales Gebilde, also so wie ein Blatt, ein Blatt, das unendlich groß ist und in irgendeiner Lage liegt. Okay? Oder auch diese Wand hier. Das heißt, genauso wie ich eine Gerade nicht vollständig zeichnen kann, kann ich auch eine Ebene nicht vollständig zeichnen. Sie verläuft also immer noch weiter. Auf dieser Ebene befinden sich zwei Richtungsvektoren, v^-> und u^->. Wichtig ist, v^-> darf kein Vielfaches von u^-> sein. Oder u^-> kein Vielfaches von v^->. Also die Richtungsvektoren dürfen nicht linear abhängig sein, sie müssen linear unabhängig sein, sonst würden sie in dieselbe Richtung zeigen und dann könnte man damit nur eine Gerade beschreiben. Eine Ebene braucht aber zwei Richtungsvektoren.  Die müssen jetzt nicht im 90°-Winkel sein, aber irgendwie müssen sie liegen. Und es muss mindesten ein Punkt auf der Ebene gefunden werden. Der Punkt kann hier liegen, kann hier liegen, kann da liegen, das ist vollkommen egal. Wenn hier der Ursprung ist, dann gibt es einen Punkt auf der Ebene, auf den sie sich sozusagen stützt. Stellt euch das als Platte vor, und das ist der Balken, der das ganze hält. Und das nennt man den Stützvektor. Okay, formal beschreiben wir die Ebene so: Ein beliebiger Punkt auf der Ebene mal wieder, ist gleich der Stützvektor, plus (λ) lambda mal ein Richtungsvektor. Lambda ist wieder Element von R. So, das ist ja erst mal eine Geradengleichung. Jetzt lernt ihr noch einen zweiten griechischen Buchstaben kennen, das ist μ (my). Es müssen nicht λ und μ da stehen, einige schreiben auch r und s, ich hab mich jetzt für λ und μ entschieden. Und u^-> ist der zweite Richtungsvektor, damit wir die Ebene komplett beschreiben können. Das heißt, wir finden jeden beliebigen Punkt der Ebene durch eine Linearkombination vom Stützvektor und einem Vielfachen der beiden Richtungsvektoren. So, soviel erst mal zur Theorie. So, jetzt mal ein bisschen Praxis. Wie spannt man eine Ebene auf? Die Punkte, ich hab hier die Vektorformen geschrieben, weil dass platzsparender ist, A, B und C, sollen eine Ebene aufspannen, das heißt, erst mal was ist die wichtigste Bedingung? Die Punkte dürfen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Das heißt mit anderen Worten würde sich ja daraus ergeben, dass die Richtungsvektoren vielfache voneinander sind. Aber das finden wir jetzt erst mal raus. Wir benutzen also einen der Punkte als Stützvektor - also sagen wir mal A. Das Ganze sieht dann so aus: Wir haben also hier den Punkt A, hier haben wir den Nullpunkt, und wir haben die erste Stütze. Jetzt müssen wir von A noch nach B und nach C kommen. Das heißt, wir rechnen jetzt plus AB^->, also B-A: 2-0; 5-1; 3-2. Und nicht vergessen: Das ganze mal λ nehmen. Damit wir nicht nur den Punkt auf der Ebene finden, sondern jeden beliebigen. Und jetzt Vektor AC^-> , C-A also: 8-0; 2-1 und 4-2. Und das ganze mal μ. Und schon haben wir die Ebene aufgespannt. Aber im Prinzip sieht das gar nicht wirklich aus wie eine Ebene, das ist ja noch ein Dreieck. Okay? Ist aber eine Ebene. Wir müssen uns die Ebene so vorstellen: Sie verläuft in alle Richtungen weiter, also nach hier, nach da, und so weiter. Und A liefert den Stützvektor. Okay. Danke fürs Zusehen!