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Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel 04:51 min

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Transkript Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel

Eines schönen Tages besuchte der berühmte indische Mathematiker Brahmagupta den Markt. Ein Schausteller saß vor seinem Zelt und bot jedem eine Wette an: Man solle ihm die Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung geben – irgendwelche Zahlen – und er würde die Gleichung mit Leichtigkeit lösen. Wenn er es schaffte, musste man ihm ein Goldstück schenken sollte es ihm aber nicht gelingen, so sollte er dem Herausforderer all sein Hab und Gut überlassen. Was der Schausteller nicht wusste: Brahmagupta war ihm schon auf der Schliche. Nur mit einem Trick könnte man so schnell Lösungen zu quadratischen Gleichungen finden. In der Tat: der Schausteller benutzte die pq-Formel! In die muss man nur die Koeffizienten einsetzen und bekommt sofort die Lösungen der Gleichung heraus! Doch Brahmagupta hatte einen Vorteil: er kannte den Beweis der Formel und wusste deshalb mit ihr umzugehen. Und wir lernen das nun auch: den direkten Beweis am Beispiel der pq-Formel. Können wir ausgehend von einer beliebigen quadratischen Gleichung in Normalform beweisen, dass ihre Lösungen SO ausgerechnet werden? Also: können wir sicher sein, dass die pq-Formel immer stimmt? Beim direkten Beweis geht man ganz direkt vor. Also: gegeben ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Wenn man die linke Seite der Gleichung mit einer binomischen Formel zusammenfassen könnte, wäre uns schon geholfen. Also Wenn wir diesen quadratische Term und die binomische Formel vergleichen würden wir a und x miteinander identifizieren – und dann entspräche '2 a b' dem 'p mal x' in dem quadratischen Term. Und weil a gleich x wäre könnten wir hier vereinfachen und dann wäre b gleich 'p Halbe'. Wenn wir also in der binomischen Formel 'a' durch 'x' und 'b' durch 'p Halbe' ersetzen und noch ein wenig kürzen ist das x Quadrat plus p x plus 'p Halbe' zum Quadrat. Um damit auf die Form x Quadrat plus px plus q zu kommen, müssen wir also 'p Halbe zum Quadrat' wieder abziehen und 'q' addieren. Also können wir die quadratische Gleichung SO schreiben. Den Rechentrick, etwas auf eine binomische Formel zu bringen, indem man den richtigen Term hinzufügt und wieder abzieht, nennt man QUADRATISCHE ERGÄNZUNG. Und in dieser Form können wir die Gleichung nach x auflösen. Dazu bringen wir erst DIESE beiden Terme auf die rechte Seite und ziehen dann auf beiden Seiten die Wurzel. Weil wir ein Quadrat entfernen, gibt es nun aber zwei Möglichkeiten für x: plus oder minus die Wurzel nämlich! Aber Vorsicht: diese Wurzel können wir nur ziehen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist! Das heißt, dass 'p Halbe' zum Quadrat minus q gößer oder gleich 0 sein muss. Sonst könnten wir die Wurzel ja nicht ziehen! Aber unter dieser Annahme können wir weiterrechnen: Wir ziehen auf beiden Seiten noch 'p Halbe' ab und finden so die Lösung 'x eins, zwei' ist gleich minus p Halbe plus/minus Wurzel aus p Halbe zum Quadrat minus q. Und das ist die pq-Formel! Kannst du dir schon denken, was Brahmagupta sich ausgedacht hat?

Er gab dem Schausteller für p den Wert 'minus zwei' und für q 3. Damit die pq-Formel angewendet werden kann, muss 'p Halbe zum Quadrat' minus q größer oder gleich 0 sein. Bei uns ist aber 'p Halbe' zum Quadrat gleich 1 und damit ist p Halbe zum Quadrat minus q, also 1 minus 3, nicht größer oder gleich 0. Das heißt, dass es für dieses p und q gar keine Lösung gibt! Brahmagupta rieb sich voller Vorfreude auf seinen Wettgewinn die Hände und wir fassen zusammen. Für einen direkten Beweis geht man von bekannten Tatsachen aus. Bei uns war das die quadratische Gleichung. Dann versucht man Schritt für Schritt Schlüsse zu folgern. Wir haben Umformungen gemacht und quadratisch ergänzt. Wenn man unterwegs noch ein paar Bedingungen mitnimmt, muss man sie sich merken. Unsere Bedingung für die pq-Formel war, dass 'p Halbe' zum Quadrat minus q größer oder gleich 0 sein muss. Und wenn man am Ende bei der gewünschten Aussage ankommt, hat man sie unter den Bedingungen bewiesen.

Oft benutzt man solche Beweise für Formeln und andere Rechenaussagen. Brahmagupta, der weise Mathematiker, zog mit den Reichtümern des Schaustellers davon und der fügte direkt seinem Schild noch ein paar Bedingungen hinzu.

1 Kommentar
  1. nice cool great funny

    Von Yiren Y., vor 10 Monaten

Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du beim direkten Beweis der $pq$-Formel vorgehst.

    Tipps

    Es soll mittels eines direkten Beweises gezeigt werden, dass die Lösung der Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt berechnet werden kann:

    $x_{1|2}=-\frac p2 \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Die $pq$-Formel liefert für $\left(\frac p2\right)^2-q\lt 0$ keine Lösung.

    Lösung

    Möchten wir eine Tatsache mittels eines direkten Beweises beweisen, so gehen wir wie folgt vor:

    • Wir gehen zunächst von einer bekannten Tatsache aus.
    • Anschließend versuchen wir, Schritt für Schritt Schlüsse zu folgern.
    • Wir merken uns zudem alle Bedingungen, die wir beim Beweisen mitnehmen
    • Wenn wir am Ende bei der gewünschten Aussage ankommen, haben wir diese unter den jeweiligen Bedingungen bewiesen.
    Brahmagupta möchte mittels eines direkten Beweises zeigen, dass die Lösung der Gleichung $x^2+px+q=0$ durch die $pq$-Formel gegeben ist. Hierzu muss er wie folgt vorgehen:

    • Brahmagupta geht bei seinem Beweis von der quadratischen Gleichung in Normalform aus.
    • Er muss diese zunächst umformen und anschließend eine quadratische Ergänzung durchführen.
    • Die Bedingung, die er annimmt, muss er sich merken. Diese ist, dass der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich null sein muss. Die $pq$-Formel liefert nämlich für $\left(\frac p2\right)^2-q\lt 0$ keine Lösung.
  • Gib den direkten Beweis für die $pq$-Formel an.

    Tipps

    Bei einem direkten Beweis gehst du immer von einer bekannten Tatsache aus. Diese ist hier die quadratische Gleichung in Normalform.

    Das Ziel ist es, die quadratische Gleichung in Normalform so umzuformen, dass am Ende die $pq$-Formel resultiert.

    Lösung

    Im Folgenden möchten wir beweisen, dass unter bestimmten Bedingungen die $pq$-Formel die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform ist.

    Wenn wir die quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ mit der ersten binomischen Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ vergleichen, können wir die folgende Gleichung aufstellen:

    $ x^2+px+\left(\frac p2\right)^2=\left(x+\frac p2\right)^2 $.

    Diese Gleichung möchten wir nun so umstellen, dass ihre linke Seite mit der linken Seite der quadratischen Gleichung in Normalform, also mit $x^2+px+q$, übereinstimmt. Hierzu führen wir zunächst eine Nulladdition durch und stellen die resultierende Gleichung wie folgt um:

    $ \begin{array}{lllll} x^2+px+\left(\frac p2\right)^2+q-q &=& \left(x+\frac p2\right)^2 && \vert -\left(\frac p2\right)^2 \\ x^2+px+q-q &=& \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2 && \vert +q \\ x^2+px+q &=& \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q \end{array} $

    Aufgrund der zu beweisenden Gleichung wissen wir, dass $x^2+px+q=0$ gilt. Somit können wir nun die rechte Seite der hergeleiteten Beziehung gleich null setzen und nach $x$ auflösen. Dann folgt:

    $ \begin{array}{lllll} \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q &=& 0 &&\vert +\left(\frac p2\right)^2 \\ \left(x+\frac p2\right)^2+q &=& \left(\frac p2\right)^2 &&\vert -q \\ \left(x+\frac p2\right)^2 &=& \left(\frac p2\right)^2-q && \\ \end{array} $

    Unter der Bedingung, dass $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ gilt, wird nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen:

    $ \begin{array}{lllll} x_{1|2}+\frac p2 &=& \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} && \vert -\frac p2\\ x_{1|2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} && \end{array} $

    Um den Schausteller hereinzulegen, kann Brahmagupta ihm also zwei Werte für $p$ und $q$ nennen, die die Bedingung $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ nicht erfüllen.

  • Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Terme.

    Tipps

    Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie ohne Rest durch $2$ teilbar ist. Liefert die Division durch $2$ einen Rest von $1$, so ist diese Zahl ungerade.

    Jede Zahl, die mit $2$ multipliziert wird, liefert ein Produkt, das gerade ist. Multiplizierst du mit $3$, so ist das Produkt durch $3$ ohne Rest teilbar. Addierst du eine gerade Zahl und $1$, so erhältst du eine ungerade Summe.

    Schau dir folgendes Beispiel für die natürliche Zahl $n$ an:

    $\underbrace{2\cdot (\underbrace{\underbrace{2\cdot (\underbrace{3n}_{\text{durch } 3 \text{ teilbar}})}_{\text{gerade Zahl}}+1}_{\text{ungerade Zahl}})}_{\text{gerade Zahl}}$

    Der gesamte Ausdruck ist somit eine gerade Zahl.

    Lösung

    Bei einem direkten Beweis ist es wichtig, Schlüsse zu folgern, die zum Ziel führen. Also schauen wir uns im Folgenden einige solcher Zusammenhänge an. Aber zunächst klären wir, was die einzelnen Eigenschaften aussagen.

    Gerade Zahl

    Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie ohne Rest durch $2$ teilbar ist. Jede Zahl, die mit der $2$ multipliziert wird, ergibt ein gerades Produkt.

    Ungerade Zahl

    Wird eine Zahl durch $2$ dividiert und hat dann einen Rest von $1$, so ist diese Zahl ungerade. Addierst du eine gerade Zahl und $1$, so erhältst du eine ungerade Summe.

    Zahl durch $3$ teilbar

    Eine Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn die Division durch $3$ ohne Rest möglich ist. Multiplizierst du eine Zahl mit $3$, so ist das Produkt auch durch $3$ ohne Rest teilbar.

    Auf unsere Terme mit der natürlichen Zahl $n$ treffen demnach die folgenden Eigenschaften zu:

    Gerade Zahlen sind:

    • $2n$,
    • $2(n+1)$ und
    • $2(2n-1)$.
    Ungerade Zahlen sind:

    • $2n+1$ und
    • $2(3n+3)+1$.
    Zahlen, die durch $3$ teilbar sind:

    • $3n-3$ und
    • $3n$.
  • Zeige mittels eines direkten Beweises, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist.

    Tipps

    Jede Multiplikation von einer beliebigen ganzen Zahl und $2$ ergibt eine gerade Zahl.

    Addiert man eine gerade Zahl und $1$, so erhält man eine ungerade Summe.

    Lösung

    Im Folgenden möchten wir zeigen, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    Bedingung

    $x=2n+1$ mit $n\in\mathbb{N}$

    $y=2m+1$ mit $m\in\mathbb{N}$

    Jede ganze Zahl, die mit $2$ multipliziert wird, ergibt ein gerades Produkt. Addieren wir eine gerade Zahl und $1$, so erhalten wir eine ungerade Summe. Wir nehmen also in der Bedingung zwei ungerade Zahlen $x$ und $y$ an.

    Behauptung

    $2\nmid xy$

    Das Symbol $\nmid$ bedeutet, dass $2$ kein Teiler des Produktes $xy$ ist. Ist $2$ kein Teiler einer Zahl, so ist diese Zahl ungerade.

    Beweis

    Wir setzen unsere Bedingung in die Behauptung ein und formen um:
    $ \begin{array}{lll} \\ x\cdot y &=& \left(2n+1\right)\cdot \left(2m+1\right) \\ &=& 4nm+2n+2m+1 \\ &=& 2(2nm+n+m)+1 \\ \\ \end{array} $
    Der Term $2(2nm+n+m)$ ist eine gerade Zahl, denn die Zahl $(2nm+n+m)$ wird mit $2$ multipliziert. Somit gilt: $~2\mid 2(2nm+n+m)$.

    Da $2(2nm+n+m)$ eine gerade Zahl ist, ist $2(2nm+n+m)+1$ eine ungerade Zahl. Somit haben wir mittels eines direkten Beweises gezeigt, dass das Produkt $xy$ eine ungerade Zahl ist. Es gilt also:

    $2\nmid xy=2(2nm+n+m)+1$.

  • Bestimme, welche Koeffizienten $p$ und $q$ für die $pq$-Formel eine Lösung liefern.

    Tipps

    Die Bedingung dafür, dass die $pq$-Formel die Lösung einer quadratischen Gleichung liefert, lautet wie folgt:

    $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ .

    Du kannst die gegebenen Werte für die Koeffizienten $p$ und $q$ in die Bedingung einsetzen und diese überprüfen. Ist das Resultat eine negative Zahl, so existiert keine Lösung dieser quadratischen Gleichung.

    Der Ausdruck unter der Quadratwurzel in der $pq$-Formel heißt Diskriminante $D$ der quadratischen Gleichung. Für diese gilt:

    $ \begin{array}{lllll} D &\gt& 0 &\rightarrow& \text{zwei Lösungen} \\ D &=& 0 &\rightarrow& \text{eine Lösung} \\ D &\lt& 0 &\rightarrow& \text{keine Lösung} \end{array} $

    Lösung

    Bei dem direkten Beweis der $pq$-Formel wird die Annahme getroffen, dass $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ gilt. Dieser Ausdruck steht in der $pq$-Formel unter der Quadratwurzel und heißt Diskriminante $D$ der quadratischen Gleichung. Für diese gilt:

    $ \begin{array}{lllll} D &\gt& 0 &\rightarrow& \text{zwei Lösungen} \\ D &=& 0 &\rightarrow& \text{eine Lösung} \\ D &\lt& 0 &\rightarrow& \text{keine Lösung} \end{array} $

    Wenn wir also ausgehend von den Koeffizienten $p$ und $q$ beurteilen wollen, ob die zugehörige quadratische Gleichung eine Lösung besitzt, müssen wir nur die Bedingung $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ überprüfen.

    Beispiel 1: $~p=2;~q=2$

    $\left(\frac 22\right)^2-2=1^2-2=-1\lt 0$

    Somit ist die Bedingung nicht erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt keine Lösung.

    Beispiel 2: $~p=4;~q=4$

    $\left(\frac 42\right)^2-4=2^2-4=4-4=0$

    Somit ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

    Beispiel 3: $~p=2;~q=-2$

    $\left(\frac 22\right)^2-(-2)=1^2+2=3\gt 0$

    Somit ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

    Beispiel 4: $~p=-4;~q=4$

    $\left(\frac {-4}2\right)^2-4=(-2)^2-4=4-4=0$

    Somit ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

    Beispiel 5: $~p=-2;~q=2$

    $\left(\frac {-2}2\right)^2-2=(-1)^2-2=-1\lt 0$

    Somit ist die Bedingung nicht erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt keine Lösung.

  • Zeige, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist.

    Tipps

    $2\mid a+b$ bedeutet, dass die $2$ ein Teiler der Summe $a+b$ ist, denn eine gerade Zahl kann ohne Rest durch die $2$ geteilt werden.

    Andersherum ist das Produkt von einer beliebigen Zahl und der $2$ immer gerade.

    Addiert man eine gerade Zahl und die $1$, so erhält man eine ungerade Zahl. Oder anders gesagt: $2a+1$ für $a\in\mathbb{N}$ ist eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Im Folgenden möchten wir beweisen, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    Behauptung
    $2$ soll ein Teiler der Summe $a+b$ sein:

    $~ 2\mid a+b$.

    Bedingung
    Diese Behauptung soll unter der Bedingung, dass $a$ und $b$ jeweils ungerade Zahlen sind, gelten. Es folgt also:

    $a=$ $2n+1$, mit $n\in\mathbb{N}$
    $b=$ $2m+1$, mit $m\in\mathbb{N}$.

    Beweis
    Wir setzen unsere Behauptung in die Addition $a+b$ ein, fassen zusammen und formen zielführend um:
    $ \begin{array}{lll} \\ a+b &=& 2n+1+2m+1 \\ &=& 2n+2m+2 \\ &=& 2\cdot(n+m+1)\\ \\ \end{array} $
    Da $2\mid 2\cdot(n+m+1)$ ist, ist die Behauptung $~2\mid a+b$ bewiesen. Damit wurde gezeigt: Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.