40%

Cyber Monday-Angebot – nur bis zum 4.12.2022

sofatutor 30 Tage lang kostenlos testen & dann 40 % sparen!

Differentialquotient – geometrische Herleitung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 3.8 / 6 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Differentialquotient – geometrische Herleitung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Differentialquotient – geometrische Herleitung

Der Differentialquotient ist der zentrale Begriff der Differentialrechnung. In diesem Video sehen wir uns an, wie wir anschaulich verstehen können, was der Differentialquotient bedeutet. Geometrisch gesehen geht es darum, die Steigung einer Tangente zu bestimmen, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt. Das Problem dabei ist, dass wir für die Steigungsbestimmung von Geraden - und eine Tangente ist ja eine Gerade - zwei Punkte brauchen, wobei die Tangente aber nur einen einzigen Punkt mit dem Funktionsgraphen gemeinsam hat. Wir lösen das Problem, indem wir uns ansehen, welche Steigungen die Sekanten haben, die sich in der Umgebung des Berührpunktes befinden. Wir stellen dann fest, dass es nur eine einzige Steigung gibt, die keine Sekantensteigung ist: Es ist die Tangentensteigung. Wir bestimmen also die Tangentensteigung, indem wir alle anderen Steigungen ausschließen. Dabei kommen wir sogar ohne den Grenzwertbegriff aus.

Transkript Differentialquotient – geometrische Herleitung

Hallo. Wir haben jetzt den zentralen Begriff der Differentialrechnung, nämlich den Differentialquotienten oder auch Ableitung genannt, oder Grenzwert der Sekantensteigung. Da gibt es viele Namen. Solche zentralen Begriffe verlangen förmlich nach einer bildlichen Darstellung, damit sie ihre Kraft so richtig entfalten können. Und das machen wir jetzt. Wir haben hier den Differentialquotienten in einer recht allgemeinen Form. Das ist der Grenzwert, also der Limes für h gegen 0 von (f(x ±h) - f(x)) / ±h. Wir wollen uns jetzt nicht damit beschäftigen, wie wir diesen Grenzwert rechnerisch bestimmen, sondern wie wir das anschaulich verstehen können. Und da werden wir feststellen, dass wir dieses Ding hier, diesen Grenzprozess, gar nicht brauchen. Das können wir auch so. Wir können uns das mal an einem konkreten Beispiel anschauen. Wir haben hier einen Teil des Funktionsgraphens der Funktion f(x) = x². Und mit dem Differentialquotienten berechnen wir nichts anderes als die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Wir können die Steigung dieser Tangente nicht einfach so berechnen, weil wir ein Steigungsdreieck brauchen, um die Steigung einer Geraden zu berechnen. Und dazu brauchen wir zwei Punkte. Hier haben wir aber nur einen. Aber wir können Sekantensteigungen berechnen und dann überlegen, was uns das über die Steigung dieser Tangente sagt. Und das machen wir jetzt. Wir haben hier wieder so ungefähr den Funktionsgraphen der Funktion f(x) = x². Wir können einen Punkt auswählen. Hier ist das x dazu auf der X-Achse. Und wir wählen einen zweiten Punkt aus. Dann können wir hier eine Sekante durch diese beiden Punkte zeichnen. Hier haben wir die Stelle auf der X-Achse mit x+h. Und wir können die Steigung berechnen dieser Sekante auf folgende Weise: Wir haben h > 0. Dieses h soll größer Null sein. Sonst hätten wir ja, wenn es gleich Null wäre, keine Steigung und keine Sekante und kein gar nichts. Wir bestimmen den Funktionswert an dieser Stelle. Das ist (x+h)². Wir wollen diese Länge haben. Das heißt, wir ziehen den Funktionswert bei x ab. Also -x². Und teilen durch diese Streckenlänge. Und das ist h. Jetzt können wir das ein bisschen umformen zu (x² + 2xh + h² - x²) / h. Und da sehen wir erstmal: Okay, diese beiden hier addieren sich zu 0. Die brauchen wir nicht mehr. Und wir können hier das h kürzen und da auch. h ist ja > 0. Wir können kürzen. Und wir erhalten dann 2x + h. Wir sehen hier, dass in dem Rahmen, in dem sich h bewegt, gilt: Immer, wenn eine Steigung größer ist als 2x, dann ist es die Steigung einer solchen Sekante. So, wir können das Ganze noch einmal veranstalten. Und zwar in die andere Richtung. Wir haben wieder hier einen Punkt mit der X-Koordinate x. Und jetzt gehen wir mal in die andere Richtung und wählen hier noch einen Punkt des Graphen aus. Der hat die X-Koordinate x-h. h soll weiterhin größer als Null sein. Wir haben jetzt hier eine Sekante, deren Steigung wir bestimmen können. Hier ist das Steigungsdreieck. Und die Steigung können wir nun so bestimmen: Wir brauchen den Funktionswert an dieser Stelle hier, an der Stelle. Das ist x². Wir wollen diese Länge haben. Wir ziehen also den Funktionswert bei x-h ab und haben dann also minus (x-h)² und teilen das Ganze durch h. Jetzt können wir das hier noch ausmultiplizieren. Dann erhalten wir-. x² steht sowieso da. Und wir haben hier x². Wenn wir das quadrieren hier die Klammer. Minuszeichen davor, also steht hier -x². Dann haben wir hier, wenn wir das ausmultiplizieren, -2xh. Minuszeichen davor führt zu plus 2xh. Und plus h², Minuszeichen davor ist -h². Und das teilen wir weiterhin durch h. Jetzt können wir hier sehen, das addiert sich zu 0. Wir können hier und hier h kürzen und kommen auf folgenden Ausdruck: 2x-h. So, und hieran sehen wir jetzt, dass Folgendes gilt. Also in dem Rahmen, in dem sich hier h bewegt. Immer, wenn eine Steigung kleiner ist als 2x, dann ist es die Steigung einer solchen Sekante. Zusammen mit diesem Resultat wissen wir jetzt Folgendes: Alle Steigungen, die kleiner sind als 2x, sind Sekantensteigungen. Alle Steigungen, die größer sind als 2x, sind auch Sekantensteigungen. Und das bedeutet, dass es für die Tangente nur noch eine einzige Steigung gibt, die übrig bleibt. Und das ist die Steigung 2x. Ja, und das ist die Ableitung an der Stelle x der Funktion x². Die Ableitung ist 2x. So, wir haben gesehen, wie wir uns den Differentialquotienten vorstellen können. Und wir haben die Herleitung sogar hinbekommen, ohne den Grenzprozess durchzuführen, den wir Menschen ja gar nicht sehen können. Stattdessen haben wir aufgeschrieben, was wir sehen können und was das mathematisch bedeutet. Ja, und wenn es nicht komplizierter ist, muss man es auch nicht komplizierter machen. Viel Spaß damit. Tschüss.

0 Kommentare

Differentialquotient – geometrische Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differentialquotient – geometrische Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Differentialquotienten an.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Welcher Ausdruck liefert für $f(x)=x^2$ ebenfalls $2x$?

    Es sind zwei Formulierungen korrekt.

    Beachte, wogegen das $h$ beim Grenzwert strebt. Der Abstand der Punkte soll kleiner werden.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Die folgenden beiden Differentialquotienten liefern für $f(x)=x^2$ ebenfalls die Steigung $2x$.

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x+h)}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x-h)^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2-2hx+h^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x-h)}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x-h \\ &=& 2x \end{array}$

  • Ergänze die geometrische Herleitung des Differentialquotienten.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden kannst du mit folgender Formel berechnen:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Die erste und zweite binomische Formel sind wie folgt definiert:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=2x+h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer, wenn eine Steigung größer ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}=\dfrac{x^2-(x^2-2hx+h^2)}{h}=2x-h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn eine Steigung kleiner ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2x$

  • Bestimme jeweils den Differentialquotienten der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$

    Bestimme zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Setze in diesen dann die entsprechenden $x$-Werte ein.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Wir bestimmen zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Dann setzen wir in diesen die entsprechenden $x$-Werte ein.

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2hx+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    Damit erhalten wir die folgenden Differentialquotienten:

    • Für $x=2$ folgt $2\cdot 2=4$.
    • Für $x=4$ folgt $2\cdot 4=8$.
    • Für $x=6$ folgt $2\cdot 6=12$.
    • Für $x=8$ folgt $2\cdot 8=16$.
  • Leite mit Hilfe des Differentialquotienten die Steigung der Tangente an dem Punkt $(x\vert f(x))$ her.

    Tipps

    Für die Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
    Für die Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Du kannst im Zähler $h$ ausklammern und kürzen.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten ohne die Grenzwertbildung zu betrachten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+4hx+2h^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{4hx+2h^2}{h}=4x+2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung größer ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+1-(2x^2-4hx+2h^2+1)}{h}=\dfrac{4hx-2h^2}{h}=4x-2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung kleiner ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=2x^2+1$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $4x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2\cdot 2x^{2-1}=4x$

  • Beschreibe, was der Differentialquotient angibt.

    Tipps

    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

    Die erste Ableitung einer Funktion $f$ liefert an einer Stelle $x$ immer die Steigung der Tangente der Stammfunktion bei $(x\vert f(x))$.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er ist wie folgt definiert:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

  • Ermittle die jeweilige Tangentensteigung $m$ an der Stelle $x$ mit Hilfe des Differentialquotienten.

    Tipps

    Für die erste Steigung musst du folgenden Ausdruck berechnen:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h}$

    Du kannst auch alternativ erst den allgemeinen Differentialquotienten bestimmen und dann die $x$-Koordinate einsetzen.

    Lösung

    Beispiel 1: $~f(x)=2x^2+1$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $f$ an dem Punkt $(2\vert 9)$ berührt, berechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(4+4h+h^2)+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8+8h+2h^2+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8h+2h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(8+2h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} 8+2h \\ &=& 8 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=8$.

    Beispiel 2: $~g(x)=(x+1)^2$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $g$ an dem Punkt $(-3\vert 4)$ berührt, bestimmen wir analog:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-3+h+1)^2-(-3+1)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-2+h)^2-(-2)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{4-4h+h^2-4}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-4h+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(-4+h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} -4+h \\ &=& -4 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=-4$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.062

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.287

Lernvideos

42.420

Übungen

37.484

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden