Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung Übung

• Berechne den gesuchten Prozentsatz.

  Tipps

  Es gilt:

  $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

  Es gilt:

  $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lll} P(X=0) &=& \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\ \\ &=& \binom{10}{0}\cdot 0,326^0\cdot (1-0,326)^{10-0} \\ \\ &=&0,0193463466549 \end{array}$

  Lösung

  Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\leq 4)\geq 0,8$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

  • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

  • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

  Wert 1 $~p=0,326$

  $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

  • $P(X=0)=0,0193463466549$
  • $P(X=1)=0,0935743176481$
  • $P(X=2)=0,2036699168989$
  • $P(X=3)=0,2626959165540$
  • $P(X=4)=0,2223561133443$

  Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,8016$

  Wert 2 $~p=0,327$

  $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

  • $P(X=0)=0,2231005755758$
  • $P(X=1)=0,2623795323067$
  • $P(X=2)=0,2025016344523$
  • $P(X=3)=0,0926154264264$
  • $P(X=4)=0,0190612177324$

  Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,7997$

  Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,326$ unsere gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

  Wenn also höchstens $32,6\%$ aller Züge verspätet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zügen verspätet sind, größer als $80\%$.

• Gib die nötigen Formeln für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ an.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, wie du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette berechnen würdest.

  Es gibt $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Erfolgen. Wenn du $P(X=k)$ bestimmen möchtest, musst du alle diese Pfade berücksichtigen.

  Lösung

  Um die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ zu berechnen, müssen wir alle Pfade berücksichtigen, bei denen die Anzahl der Erfolge kleiner gleich $k$ sind. Hierzu addiert man die Wahrscheinlichkeiten der betroffenen Pfade:

  • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)$

  Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen erhältst du wie folgt:

  • $P(e_{k;n})=p^k+(1-p)^{n-k}$

  Da es bei einer Bernoulli-Kette $\binom{n}{k}$ solcher Pfade gibt, müssen wir diesen Term noch mit dem Binomialkoeffizienten multiplizieren, um alle Pfade zu berücksichtigen, in denen genau $k$ Erfolge auftreten:

  • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k+(1-p)^{n-k}$

• Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Den Wert für $p$ erhältst du durch folgende Überlegung:

  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem herkömmlichen Würfel (Augenzahlen von $1$ bis $6$) eine $3$ zu würfeln?

  Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

  Lösung

  Wir berechnen im Folgenden die kumulierte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $40-$maligem Würfeln höchstens $5$ Mal eine $3$ gewürfelt wird?

  Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ entspricht $\frac 16$. Das ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit, mit der eine $3$ gewürfelt wird.

  Damit erhalten wir die folgende Berechnung:

  • $P(X=0)=\binom{40}{0}\cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-0} = 0,0006803778368$

  • $P(X=1)=\binom{40}{1}\cdot \left(\frac 16\right)^1\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-1} = 0,0054430226944$

  • $P(X=2)=\binom{40}{2}\cdot \left(\frac 16\right)^2\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-2} = 0,0212277885081$

  • $P(X=3)=\binom{40}{3}\cdot \left(\frac 16\right)^3\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-3} = 0,0537770642204$

  • $P(X=4)=\binom{40}{4}\cdot \left(\frac 16\right)^4\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-4} = 0,0994875688078$

  • $P(X=5)=\binom{40}{5}\cdot \left(\frac 16\right)^5\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-5} = 0,1432620990832$

  Damit ist:

  $\begin{array}{lll} P(X\leq 5) &=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\ &\approx & 0,3239 \\ &=& 32,39\% \end{array}$

• Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen genau.

  Tipps

  Es ist $n=10$ und $k=2$.

  Du benötigst folgende Formeln:

  • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

  • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

  Lösung

  Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Ausschuss $p$ für $P(X\leq 2)\geq 0,9$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

  • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

  • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

  Wert 1 $~p=0,116$

  $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

  • $P(X=0)=0,291422211872058$
  • $P(X=1)=0,382409237298176$
  • $P(X=2)=0,225811789445303$

  Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,8996$

  Wert 2 $~p=0,115$

  $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

  • $P(X=0)=0,294735675445797$
  • $P(X=1)=0,382989860748775$
  • $P(X=2)=0,223951698234453$

  Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,9017$

  Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,115$ unsere gesuchte Ausschusswahrscheinlichkeit ist.

  Wenn also mit höchstens $11,5\%$ Ausschuss produziert wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei von zehn zufällig ausgewählten Staubsaugern Ausschussstücke sind, größer als $90\%$.

• Bestimme die jeweiligen Ansätze.

  Tipps

  Die Formulierungen „mehr als“ und „weniger als“ schließen die jeweilige Grenze nicht ein.

  Eine Münze wird $50$ Mal geworfen. Mit $P(X=2)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlich, dass genau $2$ Mal Kopf geworfen wird.

  Lösung

  Die Formulierungen können wir wie folgt mit Relationszeichen ausdrücken:

  • „mehr als $32$“ $~\rightarrow~>32$
  • „weniger als $32$“ $~\rightarrow~<32$
  • „mindestens $32$“ $~\rightarrow~\geq 32$
  • „höchstens $32$“ $~\rightarrow~\leq 32$
  • „genau $32$ Mal“ $~\rightarrow~=32$

  Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X=32)$.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\geq 32)$.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\leq 32)$.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X>32)$.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X<32)$.

• Erschließe die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Es gilt für die Gegenwahrscheinlichkeit:

  $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$

  Versuche es mit $p= 0,056$, $p= 0,069$ und $p= 0,078$.

  Lösung

  Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\geq 3)\leq 0,15$ bestimmen. Das formulieren wir wie folgt:

  $P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)\leq 0,15$

  Nun setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $1-P(X\leq 2)$. Wir benötigen folgende Formeln:

  • $1-P(X\leq k)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k))$

  • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

  Für $p=0,067$ folgt:

  $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

  • $P(X=0)=0,249823262108031$
  • $P(X=1)=0,358802970230183$
  • $P(X=2)=0,244778232102371$

  Damit ist $1-P(X\leq 2)\approx 0,1466$

  Wenn das Gerät also mit höchstens $15\%$ nicht funktionieren soll, dürfen alle Teile mit maximal $6,7\%$ nicht funktionieren.