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Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

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Martin Wabnik
Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

In diesem Video behandeln wir eine Aufgabe zu Binomialverteilungen: Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße und eine bestimmte Anzahl von Erfolgen, wobei diese Anzahl eine bestimme Wahrscheinlichkeit haben soll. Gesucht ist das dazu passende p, also die Erfolgswahrscheinlichkeit des zugrunde liegenden Bernoulli-Versuchs. Die Aufgabe lautet: Wie hoch darf der Prozentsatz der verspäteten Züge höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zugfahrten verspätet sind?

Transkript Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

Hallo, wenn du schon mal mit der Bahn gefahren bist, hast du möglicherweise auch schon mal was von Verspätungen gehört und da wir hier in der Mathematik sind, wollen wir jetzt nicht in das allgemeine Gemeckere über die Bahn einstimmen, sondern wir wollen ein paar Wahrscheinlichkeiten berechnen. Zum Beispiel bei welchem Anteil verspäteter Züge ergeben sich welche Wahrscheinlichkeiten für welche Verspätungen meiner zukünftigen Zugfahrten? Wir haben folgende Aufgabe, wie hoch darf der Prozentsatz der verspäteten Züge höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 Prozent höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zugfahrten verspätet sind? Wir haben hier einen Bernoulli Versuch, ja ein Zug ist entweder verspätet oder eben nicht. Wir wollen diesen Versuch zehn Mal durchführen, haben dann eine Bernoulli Kette der Länge zehn und damit auch eine normalverteilte Zufallsgröße, nämlich die Zufallsgröße, die die Erfolge zählt. In dem Fall ist es dann die Zufallsgröße X gleich Anzahl der verspäteten Züge. Die Wahrscheinlichkeit P für X kleiner gleich vier soll jetzt größer gleich 80 Prozent sein oder eben größer gleich 0,8. Wir suchen zu dieser Ungleichung das richtige P, die richtige Erfolgswahrscheinlichkeit. Und wenn wir uns auf eine Genauigkeit von drei Nachkommastellen einigen, dann können wir dieses klein p hier durch systematisches Probieren finden und haben dann folgende Situation, wenn p gleich 0,326 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für X kleiner gleich vier ungefähr gleich 0,8016 und wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit klein p gleich 0,327 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für X kleiner gleich vier ungefähr 0,7997. So und dieses p ist das p, welches wir suchen, denn hier ist die Wahrscheinlichkeit noch unter 80 Prozent und wenn wir bei drei Stellen nach dem Komma sind, dann ist dann hier die Wahrscheinlichkeit erstmals über 80 Prozent. Also, p gleich 0,326 ist unser gesuchter Wert. Das können wir jetzt noch in einem Antwortsatz zusammenfassen. Der könnte zum Beispiel so aussehen, wenn höchstens 32,6 Prozent aller Züge verspätet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zügen verspätet sind, größer als 80 Prozent. Die offizielle Verspätungsquote der Bahn im Fernverkehr für das erste Halbjahr 2018 beträgt übrigens 32,5 Prozent und dabei zählt die Bahn nur Verspätungen ab sechs Minuten. Jetzt könnte man sagen: „Naja, im Fernverkehr, wenn ich jetzt vier Minuten später an meinem Zielbahnhof ankomme, ist es vielleicht auch egal.“ Aber, wenn ich umsteigen muss und eine Umsteigezeit, sagen wir mal, von zehn Minuten eingeplant habe und mein Zug zehn Minuten Verspätung hat und ich am Münchener Hauptbahnhof bin mit 34 Gleisen, dann kann das schon ziemlich eng werden. Aber, da wir hier in der Mathematik sind, können wir hier ein paar Wahrscheinlichkeiten vorher ausrechnen und uns dann hinterher viel Ärger ersparen. Viel Spaß damit. Tschüss.

Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den gesuchten Prozentsatz.

    Tipps

    Es gilt:

    $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

    Es gilt:

    $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} P(X=0) &=& \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\ \\ &=& \binom{10}{0}\cdot 0,326^0\cdot (1-0,326)^{10-0} \\ \\ &=&0,0193463466549 \end{array}$

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\leq 4)\geq 0,8$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,326$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,0193463466549$
    • $P(X=1)=0,0935743176481$
    • $P(X=2)=0,2036699168989$
    • $P(X=3)=0,2626959165540$
    • $P(X=4)=0,2223561133443$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,8016$

    Wert 2 $~p=0,327$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,2231005755758$
    • $P(X=1)=0,2623795323067$
    • $P(X=2)=0,2025016344523$
    • $P(X=3)=0,0926154264264$
    • $P(X=4)=0,0190612177324$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,7997$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,326$ unsere gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also höchstens $32,6\%$ aller Züge verspätet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zügen verspätet sind, größer als $80\%$.

  • Gib die nötigen Formeln für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ an.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette berechnen würdest.

    Es gibt $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Erfolgen. Wenn du $P(X=k)$ bestimmen möchtest, musst du alle diese Pfade berücksichtigen.

    Lösung

    Um die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ zu berechnen, müssen wir alle Pfade berücksichtigen, bei denen die Anzahl der Erfolge kleiner gleich $k$ sind. Hierzu addiert man die Wahrscheinlichkeiten der betroffenen Pfade:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)$
    Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen erhältst du wie folgt:

    • $P(e_{k;n})=p^k+(1-p)^{n-k}$
    Da es bei einer Bernoulli-Kette $\binom{n}{k}$ solcher Pfade gibt, müssen wir diesen Term noch mit dem Binomialkoeffizienten multiplizieren, um alle Pfade zu berücksichtigen, in denen genau $k$ Erfolge auftreten:

    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k+(1-p)^{n-k}$
  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Den Wert für $p$ erhältst du durch folgende Überlegung:

    • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem herkömmlichen Würfel (Augenzahlen von $1$ bis $6$) eine $3$ zu würfeln?

    Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

    Lösung

    Wir berechnen im Folgenden die kumulierte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $40-$maligem Würfeln höchstens $5$ Mal eine $3$ gewürfelt wird?

    Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ entspricht $\frac 16$. Das ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit, mit der eine $3$ gewürfelt wird.

    Damit erhalten wir die folgende Berechnung:

    • $P(X=0)=\binom{40}{0}\cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-0} = 0,0006803778368$
    • $P(X=1)=\binom{40}{1}\cdot \left(\frac 16\right)^1\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-1} = 0,0054430226944$
    • $P(X=2)=\binom{40}{2}\cdot \left(\frac 16\right)^2\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-2} = 0,0212277885081$
    • $P(X=3)=\binom{40}{3}\cdot \left(\frac 16\right)^3\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-3} = 0,0537770642204$
    • $P(X=4)=\binom{40}{4}\cdot \left(\frac 16\right)^4\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-4} = 0,0994875688078$
    • $P(X=5)=\binom{40}{5}\cdot \left(\frac 16\right)^5\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-5} = 0,1432620990832$
    Damit ist:

    $\begin{array}{lll} P(X\leq 5) &=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\ &\approx & 0,3239 \\ &=& 32,39\% \end{array}$

  • Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Es ist $n=10$ und $k=2$.

    Du benötigst folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Ausschuss $p$ für $P(X\leq 2)\geq 0,9$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,116$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,291422211872058$
    • $P(X=1)=0,382409237298176$
    • $P(X=2)=0,225811789445303$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,8996$

    Wert 2 $~p=0,115$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,294735675445797$
    • $P(X=1)=0,382989860748775$
    • $P(X=2)=0,223951698234453$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,9017$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,115$ unsere gesuchte Ausschusswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also mit höchstens $11,5\%$ Ausschuss produziert wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei von zehn zufällig ausgewählten Staubsaugern Ausschussstücke sind, größer als $90\%$.

  • Bestimme die jeweiligen Ansätze.

    Tipps

    Die Formulierungen „mehr als“ und „weniger als“ schließen die jeweilige Grenze nicht ein.

    Eine Münze wird $50$ Mal geworfen. Mit $P(X=2)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlich, dass genau $2$ Mal Kopf geworfen wird.

    Lösung

    Die Formulierungen können wir wie folgt mit Relationszeichen ausdrücken:

    • „mehr als $32$“ $~\rightarrow~>32$
    • „weniger als $32$“ $~\rightarrow~<32$
    • „mindestens $32$“ $~\rightarrow~\geq 32$
    • „höchstens $32$“ $~\rightarrow~\leq 32$
    • „genau $32$ Mal“ $~\rightarrow~=32$
    Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X=32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\geq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\leq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X>32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X<32)$.
  • Erschließe die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Es gilt für die Gegenwahrscheinlichkeit:

    $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$

    Versuche es mit $p= 0,056$, $p= 0,069$ und $p= 0,078$.

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\geq 3)\leq 0,15$ bestimmen. Das formulieren wir wie folgt:

    $P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)\leq 0,15$

    Nun setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $1-P(X\leq 2)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $1-P(X\leq k)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k))$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Für $p=0,067$ folgt:

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,249823262108031$
    • $P(X=1)=0,358802970230183$
    • $P(X=2)=0,244778232102371$
    Damit ist $1-P(X\leq 2)\approx 0,1466$

    Wenn das Gerät also mit höchstens $15\%$ nicht funktionieren soll, dürfen alle Teile mit maximal $6,7\%$ nicht funktionieren.

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