Binomialverteilung – k bestimmen – Multiple-Choice

Hallo. Wenn du schon einmal so einen Multiple Choice Test gemacht hast, hast du dich vielleicht gefragt, wie wahrscheinlich es ist, durch zufälliges Ankreuzen den Test zu bestehen. Und wenn du so einen Test konzipierst, solltest du darüber nachdenken, wie viele Antworten zum Bestehen des Tests nötig sind, um beurteilen zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit man diesen Test durch zufälliges Ankreuzen bestehen kann. Und wie das geht, das machen wir jetzt. Die Aufgabe lautet: Ein Multiple Choice Test bestehe aus 20 Fragen mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, den Test durch zufällige Auswahl zu bestehen, soll höchstens fünf Prozent betragen. Wie viele richtige Antworten müssen demnach gefordert werden? Schauen wir uns das mal konkret an. Hier haben wir so eine Frage. Und hier ist noch eine. Die zufällige Beantwortung einer Frage, also die Beantwortung ohne Wissen, ist ein Bernoulli-Versuch, weil die Antwort entweder richtig oder falsch ist. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist immer ein Viertel, weil jeweils nur eine von vier Antwortmöglichkeiten richtig ist. Der Test besteht aus 20 Fragen. Also haben wir eine Bernoulli-Kette der Länge 20. Und damit haben wir auch eine Zufallsgröße, nämlich X = Anzahl der richtigen Antworten, die binomialverteilt ist. Wenn wir jetzt mal sagen, wir brauchen sieben oder mehr richtige Antworten, um den Test zu bestehen, dann können wir mal hier die Wahrscheinlichkeiten bis zu sechs richtigen Antworten abdecken. Und wir sehen, dass diese gesamte Wahrscheinlichkeit hier für sieben oder mehr Erfolgen größer ist als fünf Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, wir werden also mehr richtige Antworten fordern müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, den Test rein zufällig zu bestehen, höchstens fünf Prozent ist. Wir suchen also ein k, für das gilt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X ≥ k ist, ≤ 0,05 ist. Je nachdem, wie du das nachguckst oder ausrechnest, kann Folgendes hilfreich sein. Wenn das hier richtig ist, dann gilt auch, dass die Wahrscheinlichkeit für (X ≤ k -1) ≥ 0,95 ist und umgekehrt. Wir können das richtige k durch systematisches Ausprobieren bestimmen. Und da haben wir folgende Werte: P (X ≥ 8) ≈ 0,1018 und P (X ≥ 9) ≈ 0,0409 So, und das heißt jetzt: Wir müssen also mindestens neun richtige Antworten fordern, damit die Wahrscheinlichkeit, den Test zufällig zu bestehen, höchstens fünf Prozent ist. Denn wenn wir nur acht richtige Antworten fordern, ist die Wahrscheinlichkeit, den Test zufällig zu bestehen, ungefähr zehn Prozent. So, dann sind wir fertig. Bleibt noch zu erwähnen, dass Tests normalerweise so gestrickt sind, dass die Wahrscheinlichkeit, durch zufälliges Ankreuzen den Test zu bestehen, viel geringer ist, als die Wahrscheinlichkeit, die wir jetzt in der Aufgabe hatten. Also Können ist immer besser als Raten. Viel Spaß damit. Tschüss.