Bernoulli-Versuch und Binomialverteilung

Hallo! Ein Bernoulliversuch ist ein Zufallsversuch mit nur 2 verschiedenen Ergebnissen, die heißen dann Erfolg und Misserfolg oder Treffer und Niete. Oder auch ganz neutral: 1 und 0. Beim Münzwurf heißen sie Zahl und Wappen. Führt man einen Bernoulliversuch 3-mal aus, kann man das in einem Baumdiagramm darstellen, ein Baumdiagramm, das dann 3 Stufen hat. Einen n-fachen Bernoulliversuch kann man auch durch ein Baumdiagramm darstellen. Das hat dann n Stufen und falls n > 3 würde das Baumdiagramm hier dann noch weitergehen. Die Wahrscheinlichkeit für 1 nennt man im allgemeinen p, das steht jetzt für eine Zahl zwischen 0 und 1, die andere Wahrscheinlichkeit ist dann 1-p, und das kann man hier auch sehen. Da und da. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit 2 Einsen ist nach der Pfadmultiplikationsregel gleich p²×(1-p) und ich schreibe hier (1-p)¹, das ist ja das gleiche, aber dann kann ich das auf den allgemeinen Fall besser übertragen. Das ist so, weil man 2× mit der Wahrscheinlichkeit für 1 multiplizieren muss, zum Beispiel hier bei 1 0 1, muss man hier mit p, dann mit 1-p und dann mit p multiplizieren. Also 2× mit der Wahrscheinlichkeit für 1 multiplizieren und 1× mit der Wahrscheinlichkeit für 0. Das ist auch hier so bei 1 1 0 und auch bei 0 1 1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad mit k 1 und n-k 0 ist allgemein p^k×(1-p)ⁿ-k. Und das ist so, weil in den Pfad mit k 1 eben nach der Pfadmultiplikationsregel k mit p multipliziert werden muss und dann gibt es noch n-k 0, deshalb muss man n-k× mit der Wahrscheinlichkeit für 0 also mit 1-p multiplizieren.  Es gibt (3ü2) (3 über 2) Pfade mit 2 Einsen. Hier beim dreifachen Bernoulliversuch. Allgemein gibt es (nük) Pfade mit k 1. Warum das so ist, steht in einem anderen Film, ist ein Ergebnis aus der Kombinatorik und erkläre ich jetzt hier nicht. Die Wahrscheinlichkeit für 2 Einsen bei einem dreistufigen Bernoulliversuch ist (3ü2)×p²×(1-p)¹, denn nach der Pfadadditionsregel müssen die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade mit 2 Einsen addiert werden, und weil alle Pfade mit 2 Einsen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, können wir einfach mit der Anzahl der Pfade multiplizieren. Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit für k 1 bei einem n-stufigen Bernoulliversuch gleich (nük)×p^k×(1-p)ⁿ-k, weil es (nük) Pfade mit k 1 gibt, die alle die Wahrscheinlichkeit p^k×(1-p)ⁿ-k haben. Definieren wir noch eine Zufallsgröße X, die die Anzahl der 1 zählt, dann können wir schreiben: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X=2 ist, also die Wahrscheinlichkeit für 2 Einsen, ist dann gleich (3ü2)×p²×(1-p)¹, ¹ kann man auch weglassen. Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X=k ist, also die Wahrscheinlichkeit für k 1, gleich (nük)×p^k×(1-p)ⁿ-k. Diese Funktion P, die diesen Werten der Zufallsgröße diese Zahlen zuordnet, ist eine Binomialverteilung. Wohl gemerkt, die Funktion ist die Binomialverteilung und diese Zufallsgröße X, denen diese Werte zugeordnet werden, ist binomial verteilt. Viel Spaß damit, tschüss!