30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Bernoulli und der Zufall

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 4.4 / 30 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Mandy F.
Bernoulli und der Zufall
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Bernoulli und der Zufall

Bernoulli-Experimenbte spielen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle. Daher befassen wir uns in diesem Video intensiver mit diesem Thema. Dabei wird anhand eines Beispiels erklärt, was man unter einem Bernoulli-Experiment und einer Bernoulli-Kette versteht. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten wird ein Baumdiagramm genutzt. So wird dir auf anschaulichem Wege gezeigt, wie Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Du wirst sehen, dass du dir einiges schon mithilfe deines Vorwissens erschließen kannst. Nun lernst du einen schnelleren Weg kennen, bei dem man nur eine einzige Formel verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Zuletzt erfährst du noch, wie der Name "Bernoulli"-Experiment zustande gekommen ist. In einer Zusammenfassung am Ende erhältst du alles Wichtige auf einen Blick.

Transkript Bernoulli und der Zufall

Hallo, hier ist Mindy. In diesem Video beginnen wir gleich mit einem Test. Also Stift raus und los geht es! Dieser Satz würde dich in der Schule sicher in Angst und Schrecken versetzen. Aber keine Panik! Du schreibst jetzt keinen Test. Diese Situation wollen wir als Ausgangsproblem für das Thema Bernoulli-Experimente nutzen. Damit wir den Überblick behalten, reduzieren wir das Problem auf folgende Aufgabe. Stell dir vor, du musst einen Multiple-Choice-Test lösen, der drei Fragen enthält. Jede Frage hat vier Antworten, von denen jeweils eine richtig ist. Wenn man von dem Inhalt des Tests überhaupt keine Ahnung hat, stellt man sich schonmal die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, alle drei Fragen richtig zu beantworten, wenn man die Kreuze zufällig setzt? Ziel dieses Videos soll es unter anderem sein, dass du diese Frage mit dem nötigen mathematischen Wissen beantworten kannst. Um dieses Problem zu lösen, brauchst du bereits etwas Vorwissen. Du musst wissen, was man unter der Wahrscheinlichkeit und dem Zufall versteht. Dazu gehört es auch, ein Baumdiagramm zeichnen und lesen zu können. In diesem Zusammenhang sollten dir auch die Pfadregel und Summenregel vertraut sein. Wichtige Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie Ereignis, Gegenereignis und Ergebnis sollten dir ebenfalls bekannt sein. Darüber hinaus ist der Binomialkoeffizient für Bernoulli-Experimente relevant. Wenn du soweit bist, können wir uns jetzt gemeinsam an das Lösen der Aufgabe wagen. Wir betrachten dazu als Erstes eine Frage für sich allein. Ziel bei der Beantwortung jeder Frage soll es natürlich sein, sie richtig zu beantworten. Wir gehen davon aus, dass immer genau ein Kreuz pro Frage gesetzt wird. Sodass wir für jede Frage zwei mögliche Ausgänge haben: Wenn du die Frage richtig beantwortest, so hast du einen sogenannten Erfolg, andernfalls einen Misserfolg. Damit wir nachher nicht jedes Mal das Wort Erfolg beziehungsweise Misserfolg schreiben müssen, schreiben wir kurz r und f. Übrigens, in manchen Büchern redete man auch von Treffer und Niete. Aus dieser Überlegung heraus ergibt sich unmittelbar die Definition eines Bernoulli-Experiments. So ist ein Bernoulli-Experiment ein Zufallsexperiment, bei dem man daran interessiert ist, ob ein Ereignis eintritt oder nicht. Tritt es ein, so hat man einen Erfolg, andernfalls einen Misserfolg. Auf unser Beispiel angewendet heißt dies: kreuzt man jeweils zufällig eine Antwort an, so ist jedes Ankreuzen ein Bernoulli-Experiment. Jetzt kommen wir zur Wahrscheinlichkeit und stellen uns die Frage, wie wahrscheinlich ist es nun, einen Erfolg zu erzielen? Richtig! Da wir vier mögliche Antworten haben und nur eine davon richtig ist, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von ein Viertel. Da diese Wahrscheinlichkeit den Erfolg beschreibt, nennt man sie auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Betrachten wir nun die Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs. Wie groß ist diese sogenannte Misserfolgswahrscheinlichkeit? Ganz genau! Drei von vier Antworten sind falsch, also drei Viertel. Damit man sie von der Erfolgswahrscheinlichkeit unterscheiden kann, nennt man sie q. Also ist q = ¾. Da die Wahrscheinlichkeiten von Erfolg und Misserfolg addiert 1 ergeben und wir nur diese beiden Ereignisse betrachten, wissen wir, dass der Misserfolg das Gegenereignis vom Erfolg ist und umgekehrt. Demnach lässt sich zum Beispiel q schnell berechnen durch, q = 1 - p. Weil wir aber nicht nur eine Frage allein betrachten, sondern insgesamt drei, handelt es sich bei diesem Versuch um einen mehrstufigen Zufallsversuch. Wir können bei unserem Versuch sogar von einer Bernoulli-Kette sprechen. Denn darunter versteht man einen mehrstufigen Versuch, bei dem sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe nicht ändert. Eine Bernoulli-Kette besteht also aus mehreren Bernoulli-Versuchen. Für unser Beispiel bedeutet dies, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit immer ein Viertel beträgt. Man bezeichnet die Länge dieser Kette, also die Anzahl der Stufen beziehungsweise Durchgänge dann kurz mit n. In unserem Beispiel ist n gleich 3, da wir drei Fragen haben. Die Anzahl der Erfolge bezeichnet man mit k, k ist je nach betrachtetem Ereignis unterschiedlich. Wenn zum Beispiel alle drei Antworten richtig sind, dann ist k gleich 3. Allgemein schreibt man dann für die Wahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Ereignisses: die Wahrscheinlichkeit B(k), unter der Voraussetzung, dass n und p gegeben sind. Zur Erinnerung: p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, welche bei unserem Beispiel ein Viertel beträgt. Wenn wir alle Werte dieses Beispiels einsetzen, erhalten wir dann, B(3), unter der Voraussetzung, dass n = 3 ist und p = ¼. An dieses Beispiel wollen wir uns gleich heranwagen. Und diese Wahrscheinlichkeit berechnen. Dazu ist es hilfreich, zuerst ein Baumdiagramm zu zeichnen, welches diesen Versuch recht anschaulich darstellt. Für den Anfang überlegen wir uns, wie viele Ausgänge wir haben. Da wir zwei Ausgänge haben, Erfolg oder Misserfolg, hat das Diagramm zunächst zwei Pfade, an denen wir für den einen Pfad r für Erfolg und den anderen Pfad f für Misserfolg dranschreiben. Weil wir insgesamt drei Fragen haben, ergeben sich insgesamt drei Stufen. Damit haben wir schon mal das Grundgerüst. Nun fehlen noch die Wahrscheinlichkeiten. Die kennen wir auch schon! Erinnerst du dich noch? Genau! Wir haben eine Erfolgswahrscheinlichkeit von ¼ und eine Misserfolgswahrscheinlichkeit von ¾. Dies ergänzen wir jetzt noch fix bei den anderen Pfaden und fertig ist unser Baumdiagramm. Nun betrachten wir verschiedene Ereignisse, zu denen wir die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen wollen. Wir beginnen mit unserem Ausgangsproblem. Nennen wir es Ereignis A. Hier wollten wir herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, drei richtige Antworten anzukreuzen. Dazu folgen wir dem Pfad rrr. Nach der Pfadregel ergibt sich demnach für die Wahrscheinlichkeit von P(rrr) das Produkt ¼ mal ¼ mal ¼. Dies ergibt nach der Potenzregel kurz (¼)³. Beziehungsweise ohne Potenzschreibweise 1/64. Dies ist gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, weil dieses Ereignis nur ein Ergebnis umfasst. Dies bedeutet, bei einem von 64 Fällen kreuzt man tatsächlich alle drei richtigen Antworten an, wenn man zufällig Kreuze setzt. Wesentlich realistischer ist es doch zum Beispiel, genau zwei richtige Antworten zu erhalten, oder? Lass uns das herausfinden. Dies sei nun unser Ereignis B: Genau zwei richtige Antworten. Welche Pfade gehören dazu? Es sind die Pfade rrf, rfr und frr. Für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse multiplizieren wir wieder die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade, die dazugehören. Damit ergibt sich für P(rfr) gleich ¼ mal ¼ mal ¾. Und das ist gleich (¼)² mal ¾. Und das ergibt 3/64. Wir haben noch P(rfr). Das ist gleich ¼ mal ¾ mal ¼. Und das ist (¼)² mal ¾. Und das ist wieder 3/64. Und zu guter Letzt, P(frr). Das ist ¾ mal ¼ mal ¼. Und das ist wieder (¼)² mal ¾. Und wiederum ist das gleich 3/64. Das Ereignis B umfasst alle diese drei Ergebnisse. Die Reihenfolge ist also egal. Daher können wir nach der Summenregel für Pfade die Wahrscheinlichkeiten P(rrf), P(rfr) und P(frr) addieren. Und erhalten damit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B. Da die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse gleich sind, können wir auch kurz schreiben 3 mal 3/64, beziehungsweise mithilfe der Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten 3 mal (¼)² mal ¾. Es ergibt sich 9/64. Das Ereignis B ist also tatsächlich wahrscheinlicher als Ereignis A. Nun übersetzen wir die Schreibweise in die Sprache von Bernoulli. Diesmal haben wir die Formulierung B(2), unter der Voraussetzung, dass n = 3 und p = ¼ ist, und das ist 9/64. Was bei diesem Versuch immer gleich bleibt, ist die Anzahl der Stufen: drei und die Erfolgswahrscheinlichkeit: ¼. Es ändert sich jedoch die Anzahl der Erfolge, nämlich genau zwei. Daher ist k = 2. Diese Aufgaben konnten wir schon mit unserem vorherigen Wissen lösen. Aber dieser Weg ist doch recht aufwendig, oder? Daher lernst du nun den schnelleren Weg über die Bernoulli-Formel kennen. Als Ausgangspunkt erinnern wir uns, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p = ¼ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q = ¾ sind. Zudem ist die Länge der Bernoulli-Kette n = 3. Außerdem schauen wir uns das Ereignis B noch einmal genauer an. Wir haben uns die jeweiligen Ergebnisse einzeln betrachtet und erhielten zunächst für die Einzelwahrscheinlichkeiten die folgenden Werte. Wir sehen, dass in allen drei Rechnungen die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeit enthalten sind. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p, die Misserfolgswahrscheinlichkeit gleich q, beziehungsweise 1 - p. Die 2 hier oben stellt die Anzahl der Erfolge, also die Anzahl richtiger Antworten, dar. Dies ist k. Mit dieser Entdeckung können wir schon die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses mit k Erfolgen verallgemeinern. Die Formel lautet p hoch k, mal (1 - p) hoch n - k; n minus k ist dabei die Anzahl der Misserfolge. Diese ergibt sich, indem man die Anzahl der Erfolge von der Anzahl der Einzelversuche, also Stufen, abzieht. Nun haben wir aber beim Ereignis B drei Ergebnisse, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dabei ist es also egal, in welcher Stufe die Erfolge auftreten. Demnach ist die Reihenfolge egal. Wir haben dazu einfach die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert und erhielten B(2), unter der Voraussetzung, dass n = 3 und p = ¼ ist: P(rrf) plus P(rfr) plus P(frr). Und erhielten in Kurzschreibweise, 3 mal (¼)² mal ¾ ist gleich 9/64. Dies geht aber noch schneller! Wir müssen die Anzahl der möglichen Ergebnisse nicht immer erst bestimmen und deren Wahrscheinlichkeiten dann am Ende addieren. Dazu nutzen wir den Binomialkoeffizienten. Denn er gibt uns schnell die Anzahl der Möglichkeiten, Erfolge und Misserfolge zu kombinieren, ohne die Reihenfolge zu beachten. Er berechnet sich aus n über k, und wird als Faktor vor die obige Formel gesetzt. Damit ergibt sich im Allgemeinen für die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen k bei einer Kettenlänge von n und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p: (n über k) mal p hoch k, mal (1 - p) hoch n - k. Wenden wir diese Formel nun rückwirkend auf P(B) an. Dazu schaffen wir uns Platz und übernehmen die Formel. Es ergibt sich dann für Ereignis B mit p = ¼, q = 1 - p = ¾, n = 3 und k = 2. B(2) unter der Voraussetzung, dass n = 3 und p = ¼ ist: (3 über 2) mal (¼)² mal ¾ hoch 3 - 2. Und das ist gleich 3 mal (¼)² mal ¾ hoch 1. Die 1 hier oben kann man weglassen. Und dies ist ja auch genau unsere Lösung von vorhin! Nämlich 9/64, nur etwas schneller! Falls du dich schon die ganze Zeit gefragt hast, warum diese Art von Versuchen Bernoulli-Experimente heißen, dann gibt es jetzt die Antwort. Der Name ist zurückzuführen auf den Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli, der von 1654 bis 1705 lebte. Er gilt als Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie und setzte damit einen Meilenstein in der mathematischen Geschichte. Aber nun wieder zurück zur Gegenwart. Was solltest du dir unbedingt zu diesem Thema merken? Du solltest wissen, was ein Bernoulli-Experiment ist. Es ist ein Zufallsexperiment, bei dem man daran interessiert ist, ob ein Ereignis eintritt, man also einen Erfolg hat, oder ein Ereignis nicht eintritt, man also einen Misserfolg hat. Außerdem solltest du den Unterschied zwischen einem Bernoulli-Experiment und einer Bernoulli-Kette kennen. So ist eine Bernoulli-Kette ein mehrstufiger Versuch, bei dem sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe nicht ändert. Eine solche Kette besteht also aus mehreren gleichartigen Bernoulli-Experimenten. Und zu guter Letzt solltest du die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Bernoulli-Ereignissen kennen und anwenden können. Sie lautet B(k), unter der Voraussetzung, dass n und p gilt, das ist (n über k) mal p hoch k, mal (1 - p) hoch n - k. n ist die Länge der Kette, also die Anzahl der Stufen beziehungsweise Durchgänge, p die Erfolgswahrscheinlichkeit und k die Anzahl der Erfolge. Das war es schon wieder von mir! Daher sage ich nun bye, bye. Bis zum nächsten Mal!

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. hi war echt cool das video daumen hoch ella und lotti

    Von lotti, vor 4 Monaten
  2. @Yoon Sojina Gib in den Taschenrechner 3 nCr 2 ein

    Von Joachim 14, vor mehr als einem Jahr
  3. Wie wird n über k, also drei über zwei, drei?

    Von Yoon Sojina, vor fast 2 Jahren
  4. Super Video! Daumen hoch! :-)

    Von L Siebler97, vor fast 4 Jahren
  5. @Torstenfrosch: Versuch mal das folgende Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/binomialverteilung-binomialkoeffizient
    Außerdem sind wir gerade bei diesem Thema dabei, Videos nachzuproduzieren. Da gibt's also bald mehr zu. :)
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Bernoulli und der Zufall Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bernoulli und der Zufall kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften eines Bernoulli-Experiments an.

    Tipps

    Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei welchem der Ausgang unvorhersehbar ist.

    Schau dir ein Beispiel an. In einer Urne befinden sich fünf Kugeln. Davon sind zwei rot und drei grün.

    Nun wird aus dieser Urne dreimal eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt.

    Das ist ein $3$-stufiges Bernoulli-Experiment.

    In einer Urne befinden sich Kugeln mit drei verschiedenen Farben. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen.

    • Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht.
    • Es gibt drei verschiedene Ausgänge des Experimentes.
    Dies ist kein Bernoulli-Experiment.

    Lösung

    Wir beschäftigen uns im Folgenden mit Bernoulli-Experimenten. Dazu wollen wir zunächst festhalten, was ein Bernoulli-Experiment ist.

    Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei man daran interessiert ist, ob ein Ereignis eintritt (Erfolg) oder nicht (Misserfolg).

    Statt „Erfolg“ oder „Misserfolg“ werden auch oft die Begriffe „Treffer“ oder „Nichttreffer“ beziehungsweise „Niete“ verwendet.

    Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Erfolges wird als Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten des Erfolges wird als Misserfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet.

    Liegt ein mehrstufiges Bernoulli-Experment vor, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Dabei darf sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe nicht ändern.

  • Beschrifte die einzelnen Größen in der Formel nach Bernoulli.

    Tipps

    Mit Hilfe der Formel nach Bernoulli kannst du die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge bei $n$-maligem Durchführen des Bernoulli-Experimentes berechnen.

    Du führst zum Beispiel ein Bernoulli-Experiment $10$-mal durch. Dabei interessierst du dich für die Wahrscheinlichkeit von $6$ Erfolgen. Du weißt nun umgekehrt, dass es $10-6=4$ Misserfolge geben muss.

    Der Term $\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$ wird als Binomialkoeffizient bezeichnet.

    Dabei muss $n\ge k$ sein.

    Lösung

    Stelle dir das folgende Beispiel vor: Du hast einen Multiple-Choice-Test mit drei Fragen. Bei jeder der Fragen hast du vier Antwortmöglichkeiten, von denen eine korrekt ist. Wenn du nun vollkommen ahnungslos die Antworten ankreuzt, hast du eine Erfolgswahrscheinlichkeit von $p=\frac14$ bei jeder Frage. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann $1-p=1-\frac14=\frac34$.

    Das dreistufige Bernoulli-Experiment ist hier in einem Baumdiagramm dargestellt. Jede Stufe (Spalte) entspricht dabei einer der drei Fragen. Jedes Mal hast du die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit. Der Übersicht halber sind die Wahrscheinlichkeiten nicht an jedem Ast zu sehen.

    Wir schauen uns nun das Ereignis $B$ „Es werden zwei Antworten richtig angekreuzt“ an.

    Es gibt insgesamt drei Pfade, bei denen genau zweimal $r$ auftaucht. Diese Pfade sind für Ereignis $B$ also interessant.

    Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du mit Hilfe der 1. Pfadregel berechnen. Vielleicht kennst du diese Regel auch als Produktregel:

    • $P(rrf)=\frac14\cdot \frac14\cdot \frac34$,
    • $P(rfr)=\frac14\cdot \frac34\cdot \frac14$ und
    • $P(frr)=\frac34\cdot \frac14\cdot \frac14$.
    Du siehst, jedes Mal kommt der Faktor $p=\frac14$ zweimal vor. Dies ist gerade die Anzahl der Erfolge. Der Faktor $1-p=\frac34$ kommt genau einmal vor. Dies ist die Anzahl der Misserfolge. Die Anzahl der Misserfolge ergibt sich dabei immer als Differenz aller Durchführungen und der Anzahl der Erfolge. Hier rechnest du bspw. $3 - 2 = 1$.

    Allgemein gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Pfades also:

    $p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Dabei gilt:

    • $p$ ist die Erfolgs- und $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge und $n-k$ die Anzahl der Misserfolge.
    Nun musst du noch überlegen, wie viele solcher Pfade es gibt. Diese Frage beantwortet der Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}=3$. Der Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$ gibt die Anzahl aller Möglichkeiten an, in einer Kette der Länge $n$ genau $k$ Erfolge zu haben.

    Somit kannst du nun die Formel nach Bernoulli aufstellen. Diese geht auf Jakob I. Bernoulli (1654-1705), einen Schweizer Mathematiker und Physiker, zurück. Die Formel hilft dir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ genau $k$ Erfolge eintreffen:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Wir schauen uns abschließend noch einmal die einzelnen Größen an:

    • $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette, also die Anzahl der Durchführungen des Experimentes.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge. Demzufolge ist $n-k$ die Anzahl der Misserfolge.
    • $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit und deren Gegenwahrscheinlickeit $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit.
  • Entscheide, ob ein Bernoulli-Experiment vorliegt.

    Tipps

    Man spricht von einem mehrstufigen Bernoulli-Experiment, wenn wir den Ausgang des Experiments in genau zwei Ereignisse (Erfolg und Misserfolg) aufteilen und sich die Erfolgswahrscheinlichkeit in jeder Stufe nicht ändert.

    Man verwendet auch oft den Begriff Bernoulli-Kette.

    Betrachte folgendes Beispiel:

    Du hast einen Behälter mit $10$ Kugeln vor dir. Jede Kugel ist entweder rot oder blau. Nun ziehst du $2$-mal und legst die Kugel, die du gezogen hast, immer wieder zurück.

    Dies ist ein mehrstufiges Bernoulli-Experiment.

    Es kann auf die Betrachtungsweise ankommen. Bei einem normalen Würfel gibt es die Ergebnisse $1,2,3,4,5 und 6$. Wenn du dich aber bspw. nur für „gerade“ und „ungerade“ Würfe interessierst, teilst du die Ergebnisse in genau zwei Ereignisse ein.

    Lösung

    Die Bernoulli-Formel ist oft sehr hilfreich. Du musst allerdings vorher prüfen, ob du sie überhaupt anwenden solltest bzw. ob es sich bei dem vorliegenden Experiment überhaupt um ein Bernoulli-Experiment handelt.

    Schauen wir uns die Voraussetzungen noch einmal genauer an.

    Es geht nur um Erfolg oder Misserfolg.

    Das bedeutet insbesondere, dass das Experiment nur zwei Ausgänge haben darf, die dich interessieren.

    • Beim Glücksrad 1 gibt es drei verschiedene Ausgänge, von denen jeder wichtig ist, da die Auszahlung sich danach richtet. Dies kann kein Bernoulli-Experiment sein.
    • Beim Würfel gibt es auch mehrere Ausgänge. Da Paul sich jedoch nur für gerade Augenzahl interessiert, ist dies der Erfolg. Der Misserfolg ist dann die ungerade Augenzahl.
    Die Erfolgswahrscheinlichkeiten dürfen sich nicht ändern.

    • Bei den Losen wird Paul diese nach dem Kauf sicher nicht zurücklegen. Das bedeutet, hier liegt ein Urnenmodell ohne Zurücklegen vor. Die Wahrscheinlichkeiten, also insbesondere die Erfolgswahrscheinlichkeit, ändern sich. Dies ist somit kein Bernoulli-Experiment.
    • Allgemein kannst du dir einen Zufallsversuch als Urnenmodell vorstellen: Wird mit Zurücklegen gezogen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht, ansonsten ändern sie sich.
    Die verbleibenden drei Zufallsexperimente Urne, Würfel und Glücksrad 2 sind somit Bernoulli-Experimente.

    Wie du an den Beispielen siehst, musst du bei der Entscheidung, ob es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt, sehr auf die Details achten.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$.

    Tipps

    Beachte, dass $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Du erhältst die Misserfolgswahrscheinlichkeit, indem du die Erfolgswahrscheinlichkeit von $1$ subtrahierst.

    Wie oft zieht Luke eine Kugel? Hier liegt ein vierstufiges Bernoulli-Experiment vor.

    Setze die bekannten Größen in die Formel nach Bernoulli ein und runde das Ergebnis, sofern nötig, auf vier Stellen nach dem Komma.

    Lösung

    Wir wissen bereits, dass es sich hier um ein Bernoulli-Experiment handelt. Wenn du die einzelnen Größen für die Formel nach Bernoulli bestimmt hast, kannst du diese in die Formel einsetzen. Die Formel lautet:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    • $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette oder auch die Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experimentes. Hier gilt $n=4$.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge, hier also $3$.
    • $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit. Da drei von fünf Kugeln grün sind, ist diese $\frac35=0,6$.
    Nachdem du alle Werte zugeordnet hast, musst du diese in die Formel einsetzen:

    $B_{4;0,6}(3)=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\cdot 0,6^3\cdot \left(1-0,6\right)^{4-3}=0,3456$.

  • Bestimme die verschiedenen Größen für die Formel nach Bernoulli.

    Tipps

    $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette, also die Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experimentes.

    $k$ ist die Anzahl der Erfolge. Dies sind hier die richtigen Antworten.

    $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.

    Du hast vier Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist.

    Lösung

    Um die Formel nach Bernoulli anzuwenden, musst du dir jeweils deutlich machen, welche Größen du kennst. In dem Beispiel betrachtest du einen Multiple-Choice-Test, der $3$ Fragen beinhaltet. Jede Frage hat $4$ Antwortalternativen, von denen $1$ richtig und $3$ falsch sind. Du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass du genau $2$ Antworten korrekt rätst.

    • $n:$ Da jede Frage ein Bernoulli-Experiment darstellt, ist die Länge der Bernoulli-Kette hier die Anzahl der Fragen. Es gilt $n=3$.
    • $k:$ Da du die Wahrscheinlichkeit für $2$ korrekte Antworten wissen willst, ist $k=2$.
    • $n-k$: Die Anzahl der Misserfolge ergibt sich aus der Differenz $n-k = 3-2 =1$.
    • $p:$ Da es bei jeder Frage genau eine richtige aus vier Antwortalternativen gibt, gilt $p= \frac14$.
    • $1-p:$ Die Misserfolgswahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Differenz $1-p = 1 - \frac14 = \frac34$.
    Nun kannst du beginnen zu rechnen:

    $B_{3,\frac14}(2)=\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\cdot \left(\frac14\right)^2\cdot \left(\frac34\right)^1=\frac9{64}\approx0,1406$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass du genau zwei korrekte Antworten errätst, liegt also bei $14,06~\%$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Verwende die Formel nach Bernoulli: $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    $n$ ist dabei die Anzahl, wie oft Luke eine Kugel zieht. $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luke bei einem Zug eine grüne Kugel zieht. Sie entspricht dem Verhältnis von grünen Kugeln zu allen Kugeln.

    $k$ stellt immer in Abhängigkeit von der Aufgabe den Parameter dar, der die Anzahl der Erfolge festlegt.

    Bei $C$ und $D$ musst du mehrere Wahrscheinlichkeiten addieren. Mach dir dazu klar, was bspw. die Aussage „höchstens eine grüne Kugel“ bedeutet. Welche $k$ erfüllen die Bedingung?

    Lösung

    Bei allen folgenden Berechnungen verwendest du die Formel nach Bernoulli. Diese lautet:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Jedes Mal ist $n=5$ und $p=0,6$.

    Die ersten beiden Wahrscheinlichkeiten sind sogenannte Punktwahrscheinlichkeiten.

    $A$: „Luke zieht keine grüne Kugel.“

    $P(A)=B_{5;0,6}(0)=\begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}\cdot 0,6^0\cdot 0,4^5=0,01024\approx 0,0102$

    $B$: „Luke zieht drei grüne Kugeln.“

    $P(B)=B_{5;0,6}(3)=\begin{pmatrix} 5\\3 \end{pmatrix}\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=0,3456$

    Die nächsten beiden Wahrscheinlichkeiten sind Intervallwahrscheinlichkeiten. Für deren Berechnung addierst du Punktwahrscheinlichkeiten.

    $C$: „Luke zieht höchstens eine grüne Kugel.“

    Das bedeutet, dass Luke entweder genau $0$ oder genau $1$ grüne Kugel zieht. Also gilt:

    $P(C)=B_{5;0,6}(0)+B_{5;0,6}(1)$.

    Die Wahrscheinlichkeit $B_{5;0,6}(0)=0,01024$ hast du bereits oben berechnet. Außerdem gilt:

    $B_{5;0,6}(1)=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}\cdot 0,6^1\cdot 0,4^4=0,0768$.

    Nun kannst du die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

    $P(C)=0,01024+0,0768=0,08704\approx 0,0870$.

    $D$: „Luke zieht mindestens vier grüne Kugeln.“

    Auch hier musst du wieder addieren:

    $P(D)=B_{5;0,6}(4)+B_{5;0,6}(5)$.

    Es gilt:

    $B_{5;0,6}(4)=\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}\cdot 0,6^4\cdot 0,4^1=0,2592$;

    $B_{5;0,6}(5)=\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}\cdot 0,6^5\cdot 0,4^0=0,07776$.

    Zuletzt kannst du die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

    $P(D)=0,2592+0,07776=0,33696\approx 0,3370$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.000

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.232

Lernvideos

42.246

Übungen

37.345

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden