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Ableitungen - Summenregel 04:41 min

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Transkript Ableitungen - Summenregel

Hallo. Wenn Du Funktionen ableiten möchtest, deren Funktionsterme Summen sind, brauchst Du die Summenregel. Und die können wir uns jetzt mal ansehen und dann machen wir auch ein paar Anwendungsaufgaben dazu. Wir haben eine Funktion „f(x)“, zu der wird eine weitere Funktion „g(x)“ addiert. Zusammen bilden sie jetzt eine Funktion, die abgeleitet werden soll. Wir können jetzt die erste Funktion ableiten und dazu die Ableitung der zweiten Funktion addieren. Das heißt also die Summe der Ableitungen ist die Ableitung der Summe. So, kommen wir zu den Anwendungsaufgaben, und für manchen mag es eine gute Nachricht sein, dass bei der Summenregel nicht viel zu beachten ist. Man muss nur erkennen, ob der Funktionsterm eine Summe ist und dann summand-weise ableiten. Es gibt keine Ausnahmen, es gibt keine Tricks. Es geht also alles seinen behördlichen Gang. Wir haben eine Funktion, deren Funktionsterm eine Summe ist. Die Summe soll nun abgeleitet werden und das können wir hier also summand-weise machen. (x² + x)’. Die Ableitung von x² = 2x nach der Potenzregel, die Ableitung von x ist 1 und zwischendrin wird addiert. 2x + 1. Vor dem nächsten Beispiel sollten wir noch eine Sache klären, nämlich was ist eigentlich eine Summe? Ja, da gibt es immer wieder Erklärungsbedarf. Eine Summe ist ein Term. Einen Term kann man ausrechnen und wenn die letzte Rechnung beim Ausrechnen des Terms eine Strichrechnung ist, dann ist der Term eine Summe. Strichrechnung bedeutet aber auch Minuszeichen. Ja? Deshalb muss in einer Summe nicht unbedingt addiert werden, eine Subtraktion tut es auch. Wir haben wieder eine Funktion, deren Funktionsterm eine Summe ist: (-19x19 - 1)'. Das soll abgeleitet werden und wir können summand-weise ableiten. -19 * x19 ist -19, nach Faktorregel bleibt das stehen mal 19 mal x18. Und die Ableitung von -1 ist 0, das schreibe ich hier nicht mehr hin, deshalb haben wir hier die Ableitung stehen. -19 * 19x18. Kommen wir zum letzten Beispiel. Das ist viel komplizierter als die bisherigen Beispiele, und zwar deshalb, damit Du sehen kannst, es kommt nicht darauf an wie kompliziert der Funktionsterm ist, davon brauchst Du dich überhaupt nicht einmachen lassen. Du kannst einfach summand-weise ableiten und dann läuft das schon. Wir haben eine Summe, die wir ableiten wollen und die Ableitung funktioniert summand-weise. (-x99 - 1/(x² -1) + tan(x) - ln(ex))’. Die Ableitung von -x99, das Minus können wir abschreiben wegen der Faktorregel, die Ableitung von x99 ist 99x98 nach Potenzregeln. Dann können wir hier das Minuszeichen abschreiben wegen der Faktorregel, dann brauchen wir die Ableitung von 1/(x² - 1). Nach der Kettenregel ableiten und wir haben -2x im Zähler und x4 - 2x² + 1 im Nenner. Dann müssen wir Tangens von x ableiten, das ist: 1/cos2(x). Ja und hier muss man einmal scharf hingucken und sich überlegen, was das eigentlich ist: ln(ex))' ist gleich x. Die Ableitung von x ist 1, das Minuszeichen können wir abschreiben, also -1 hinten dran. -99x98 - (-2x)/( x4 - 2x² + 1) + 1/cos2(x) - 1. So, das war schon alles an Beispielen was man zur Summenregel so finden kann. Wir haben also gesehen was der Kern der Summenregel ist, einfach summand-weise ableiten und dann kann nichts passieren. Viel Spaß damit, tschüss!

2 Kommentare
  1. Martin ist der King D)

    Von Jacob 4, vor etwa einem Jahr
  2. Hey Martin, super Erklärungen jedoch ist der Ton bei deinen Videos immer so leise, dass man dich kaum versteht. LG

    Von Patrik P., vor etwa 3 Jahren

Ableitungen - Summenregel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen - Summenregel kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Summenregel zum Ableitung der Summe von Funktionen an.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an. Es gilt:

    • $(x^3)'=3x^2$ und
    • $(3x)'=3$.
    Damit ist $(x^3+3x)'=3x^2+3$.

    Merke dir:

    • Summand plus Summand gleich Summe und
    • Faktor mal Faktor gleich Produkt.
    Aber auch eine Differenz ist von der Summandenregel betroffen. Warum? Jede Differenz kann auch als Summe geschrieben werden:

    $a-b=a+(-b)$.

    Lösung

    Wenn zu einer Funktion $f(x)$ eine weitere Funktion $g(x)$ addiert wird, erhält man eine Summenfunktion $f(x)+g(x)$. Wenn diese Summenfunktion abgeleitet werden soll, kann jeder Summand, also $f(x)$ und $g(x)$, einzeln abgeleitet werden. Die Ableitungen werden addiert:

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Das bedeutet: Die Summe der Ableitungen ist die Ableitung der Summe.

  • Leite die Funktion jeweils ab.

    Tipps

    Natürlich ist

    $-19\cdot 19x^{18}-0=-19\cdot 19x^{18}$.

    Wenn du die Ableitung von zwei Funktionen kennst, kennst du auch die Ableitung der Summe dieser Funktionen, nämlich die Summe der Ableitungen.

    Schaue dir dieses Beispiel an: Es soll $2x^2-5x$ abgeleitet werden:

    • $(2x^2)'=4x$ und
    • $(5x)'=5$.
    • Damit ist $(2x^2-5x)'=4x-5$.
    Lösung

    Willst du eine Summe ableiten, so leitest du jeden Summanden ab. Zum Schluss addierst du die Ableitungen.

    Wir schauen uns dies an zwei Beispielen jeweils Schritt für Schritt an:

    Wir wollen die Ableitung $(x^2+x)'$ berechnen:

    • $(x^2)'=2x$ und
    • $(x)'=1$.
    • Damit ist $(x^2+x)'=2x+1$.
    Ebenso kann die nächste Ableitung bestimmt werden: $(-19x^{19}-1)'$:

    • $(-10x^{19})'=-19\cdot 19x^{18}$ und
    • $(1)'=0$.
    • Zusammen ergibt sich $(-19x^{19}-1)'=-19\cdot 19x^{18}-0=-19\cdot 19x^{18}$.
  • Untersuche die folgenden Ableitungen.

    Tipps

    Die Fehler tauchen nur in der Anwendung der Summenregel auf.

    Die Potenzregel ist jeweils richtig angewendet worden.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    $(x^{-2}+x^{2})'=(-2)\cdot x^{-3}+2x$.

    Das Minus bezieht sich nur auf den ersten Summanden.

    Falsch wäre hier $(x^{-2}+x^{2})'=(-2)\cdot x^{-3}-2x$.

    Insgesamt wurden fünf Fehler gemacht.

    Lösung

    Wenn du eine Summe ableiten sollst, leitest du Summand für Summand ab. Die Rechenzeichen bleiben stehen:

    1. $(3x^2+4x+8)'=6x+4$
    2. $(3x^{-2}+4x^2+8x)'=-6x^{-3}+8x+8$. Das Minuszeichen am Anfang hat keine Auswirkung auf die folgenden Rechenzeichen.
    3. $(x^5+3x^3-2x^2+x-5)'=5x^4+9x^2-4x+1$
    4. $(4x^8+3x^5-4x^4+x^3-5x)'=32x^7+15x^4-16x^3+3x^2-5$
  • Bestimme jeweils die Ableitung der Funktionsterme.

    Tipps

    Achte darauf, dass die Rechenzeichen richtig übertragen werden.

    Du kannst jeden einzelnen Summanden ableiten und dann die Ableitungen mit den gleichen Rechenzeichen verbinden wie in dem Term, welcher abgeleitet wird.

    Schaue dir ein Beispiel an: $16x^3-6x-4$.

    • Es ist $(16x^3)'=48x^2$,
    • $(6x)'=6$ und
    • $(4)'=0$.
    • Damit ist ingesamt $(16x^3-6x-4)'=48x^2-6-0=48x^2-6$.
    Lösung

    An den nun folgenden Beispielen sollst du noch einmal sehr deutlich sehen, dass du Summen ableitest, indem du jeden einzelnen Summanden ableitest. Die Rechenzeichen bleiben erhalten.

    Betrachten wir zunächst $3x^3-2x^2+x$.

    Zunächst berechnest du die einzelnen Ableitungen:

    • $(3x^3)'=9x^2$,
    • $(2x^2)'=4x$ und
    • $(x)'=1$.
    Nun fehlen nur noch die Rechenzeichen: $(3x^3-2x^2+x)'=9x^2-4x+1$.

    Ermitteln wir nun die Ableitung der Funktionsterms $-3x^3+2x^2+x$.

    Die einzelnen Ableitungen hast du bereits bei dem Beispiel vorher berechnet. Achte auf die Rechenzeichen:

    $(-3x^3+2x^2+x)'=-9x^2+4x+1$.

    Wie sieht es bei dem Term $4x^4+3x^2+4x$ aus?

    Auch hier berechnest du zunächst wieder die einzelnen Ableitungen:

    • $(4x^4)'=16x^3$,
    • $(3x^2)'=6x$ und
    • $(4x)'=4$.
    Fast fertig: $(4x^4+3x^2+4x)'=16x^3+6x+4$.

    Zuletzt wollen wir noch die Ableitung zu $4x^4-3x^2-4x$ ermitteln.

    Auch hier musst du auf die Rechenzeichen achten: $(4x^4-3x^2-4x)'=16x^3-6x-4$.

  • Beschreibe, was eine Summe ist.

    Tipps

    Eine Summe ist zum Beispiel dieser Term:

    $2x+4$.

    Keine Summe, sondern ein Produkt, ist der Term $2(x+4)$.

    Auch dieser Term ist eine Summe: $2x-4$.

    Ein Term, in welchem die letzte Rechnung, die durchgeführt wird, eine Punktrechnung ist, wird als Produkt bezeichnet.

    • $2(x+4)$ ist ein Produkt.
    • Ebenso ist $\frac2{x+4}$ ein Produkt.
    Lösung

    Eine Summe ist ein Term, den du ausrechnen kannst.

    Wenn die letzte Rechnung, die durchgeführt wird, eine Strichrechnung ist, spricht man von einer Summe.

    Da auch die Subtraktion eine Strichrechnung ist, sind auch Terme wie $2x-3$ eine Summe.

    Man könnte die Ableitungsregel natürlich auch so schreiben:

    $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

    Das bedeutet: Du leitest jeden einzelnen Term ab und verwendest die gleichen Rechenzeichen wie bei der Funktion, die abgeleitet werden soll.

  • Berechne jeweils die Ableitung an der Stelle $x=1$.

    Tipps

    Es kommen jeweils natürliche Zahlen heraus.

    Zum Beispiel ist die Ableitung von $f(x)=3x^2-4x+1$ gegeben durch:

    $f'(x)=6x-4$.

    Setze nun $x=1$ in diese Ableitung ein.

    Die Summe der vier Werte ist $11$.

    Lösung

    Mit Ableitungen lassen sich viele tolle Dinge machen.

    Die erste Ableitung steht für die Steigung einer Tangente. Es kann passieren, dass du die erste Ableitung an einer Stelle berechnen musst. Wenn du eine Funktion auf Extrema untersuchst, muss die erste Ableitung $0$ sein. Hier müsstest du eine Gleichung lösen.

    In dieser Aufgabe sollst du jeweils eine Ableitung ermitteln und diese an einer bestimmten Stelle ausrechnen:

    1. $f(x)=3x^2-4x+1$ hat die Ableitung $f'(x)=6x-4$. Damit ist $f'(1)=6\cdot 1-4=6-4=2$.
    2. Die Ableitung zu $g(x)=x^4-4$ ist $g'(x)=4x^3$. Damit ist $g'(1)=4\cdot 1^3=4\cdot 1=4$.
    3. $h(x)=x^3-2x^2+4x+8$. Die Ableitung dieser Funktion ist $h'(x)=3x^2-4x+4$ und somit $h'(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+4=3$.
    4. Die Funktion $k(x)=x^7-x^6+x^5-x^4$ hat die Ableitung $k'(x)=7x^6-6x^5+5x^4-4x^3$. Somit ist $k'(1)=7\cdot 1^6-6\cdot 1^5+5\cdot 1^4-4\cdot 1^3=7-6+5-4=2$.