Ableitungen – Beispiele (5)

Ableitungen – Beispiele (5) Übung

• Schildere, wie die Funktion abgeleitet werden kann.

  Tipps

  Ein Term der Form $a^n$ ist eine Potenz.

  Die Potenzregel lautet: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  Wenn du das Vielfache einer Funktion ableiten möchtest, kannst du auch die Funktion ableiten und die so erhaltene Ableitung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

  Dies ist die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

  Es gilt

  • Summand + Summand = Summe
  • Minuend - Subtrahend = Differenz
  • Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt
  • Dividend : Divisor = Quotient.

  Lösung

  Es soll die Funktion $x^5-6x^3$ abgeleitet werden.

  Da es sich um eine Summe von $x^5$ und $-6x^3$ handelt, verwendet man hierfür die Summenregel, $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

  Das bedeutet, dass jeder Summand für sich abgeleitet wird und die jeweiligen Ableitungen dann addiert werden.

  Zur Ableitung von $x^5$ verwendet man die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  Zur Ableitung von $-6x^3$ verwendet man zusätzlich noch die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

• Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Verwende für die Ableitung von Potenzen die Potenzregel:

  $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

  Es ist zum Beispiel: $(x^3)'=3x^2$.

  Verwende die Faktorregel:

  $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

  Lösung

  Um die Funktion $f(x)=x^5-6x^3$ abzuleiten, betrachtet man jeden Summanden für sich und leitet diesen ab. Die entsprechenden Ableitungen werden dann addiert. Dies ist die Summenregel.

  Zur Ableitung der beiden Summanden wird einmal bei $x^5$ und $-6x^3$ die Potenzregel angewendet. Zusätzlich braucht man noch die Faktorregel für den zweiten Summanden $-6x^3$. Wir erhalten insgesamt:

  $f'(x)=5x^{5-1}-6\cdot 3x^{3-1}$.

  Nun kann weiter vereinfacht werden zu:

  $f'(x)=5x^4-18x^2$.

• Erkläre, welche Ableitungsregel verwendet wird.

  Tipps

  Die Ableitung der Funktion lautet insgesamt:

  $f'(x)=-8x^3+9x^2$.

  Die verwendeten Ableitungsregeln sind:

  • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
  • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
  • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  Lösung

  In dieser Übung wird die Funktion $f(x)=-2x^4+3x^3$ Schritt für Schritt abgeleitet und dabei die jeweils verwendete Ableitungsregel erklärt.

  Die verwendeten Ableitungsregeln sind:

  • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
  • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
  • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  1. $f'(x)=(-2x^4)'+(3x^3)'$; dies ist die Summenregel.
  2. $(-2x^4)'=-2(x^4)'$; dies ist die Faktorregel für den linken Summanden.
  3. $-2(x^4)'=-2\cdot 4x^{4-1}=-8x^3$; dies ist die Potenzregel für den linken Summanden.
  4. $(3x^3)'=3(x^3)'$; dies ist die Faktorregel für den rechten Summanden.
  5. $3(x^3)'=3\cdot 3x^{3-1}=9x^2$; dies ist die Potenzregel für den rechten Summanden.

  Die Ableitung der obigen Funktion ist somit:

  $f'(x)=-8x^3+9x^2$.

• Leite die Funktion einmal ab.

  Tipps

  Verwende das Distributivgesetz:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Beachte: Weder die Faktor-, noch die Summen-, noch die Potenzregel sind Regeln zur Ableitung einer Produktes, bei welchem beide Faktoren von $x$ abhängen.

  Die verwendeten Regeln sind:

  • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
  • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
  • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  Lösung

  Die Funktion $f(x) = \frac 12x^3\cdot(-2x^2+6x)$ lässt sich mit der Faktor-, der Summen- sowie der Potenzregel nicht direkt ableiten.

  Wenn man die Klammer ausmultipliziert, können diese Regeln jedoch angewendet werden:

  $f(x)=\frac 12x^3\cdot(-2x^2+6x)=-x^5+3x^4$.

  Somit gilt:

  $\begin{align*} f'(x)&=-5x^{5-1}+3\cdot 4x^{4-1}\\ &=-5x^4+12x^3. \end{align*}$

• Nenne die richtigen Formeln für die Faktor-, Summen- und Potenzregel.

  Tipps

  Die Ableitung von $x^7$ ist zum Beispiel $7x^6$.

  Bei der Funktion $f(x)=2x^3-4x$ musst du jede der Ableitungsregeln verwenden:

  $f'(x)=2\cdot 3\cdot x^{3-1}-4=6x^2-4$.

  Lösung

  Um Funktionen abzuleiten, muss man einige Ableitungsregeln kennen:

  Die Faktorregel: Diese besagt, dass man das Vielfache einer Funktion ableitet, indem man die Funktion ableitet und mit dem entsprechenden Faktor multipliziert.

  $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$

  Die Summenregel: Diese besagt, dass die Ableitung der Summe zweier Funktionen die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist.

  $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

  Übrigens: Diese Regel kann man so auch mit dem Minuszeichen formulieren.

  Die Potenzregel: Diese beschreibt, wie man eine Potenz in $x$ ableitet.

  $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

• Entscheide, welchen Wert der Parameter $a$ haben muss, damit die Ableitung an der Stelle $x=-1$ gerade $4$ ist.

  Tipps

  Multipliziere zunächst den Term mit der ersten binomischen Formel

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  aus.

  Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

  • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
  • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
  • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  Wenn du in der Ableitung $x=-1$ einsetzt, erhältst du einen Term, welcher nur von $a$ abhängt.

  Du erhältst eine Gleichung mit dem Parameter $a$, welche du nach diesem Parameter umformen kannst.

  Lösung

  Bei der Funktion

  $f(x)=(2x+a)^2$

  sind zwei Punkte zu beachten:

  • Zum einen muss man zunächst die Klammer auflösen, mit der ersten binomischen Formel, zu $f(x)=4x^2+4ax+a^2$ und
  • zum anderen, dass diese Funktion einen Parameter beinhaltet.

  Dieser Parameter wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt:

  $f'(x)=8x+4a$.

  Nun soll ein Parameter gefunden werden, für welchen an der Stelle $x=-1$ die Ableitung den Wert $4$ annimmt. Dies führt zu $f'(-1)=4$, also

  $-8+4a=4$.

  Durch Addition von $8$ und anschließende Division durch $4$ erhält man $a=3$.