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Formen quadratischer Gleichungen

Gleichungen wie zum Beispiel

  • $x^{2}=7$,
  • $4x^{2}-9=-1$ oder
  • $x^{2}-6x+3=0$

werden als quadratische Gleichungen bezeichnet. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

$ax^{2}+bx+c=0$, mit $a \neq 0$

Dabei wird $ax^{2}$ der quadratische Term genannt, $bx$ der lineare Term und $c$ der absolute Term (oder auch die Konstante). Wichtig ist, dass der Koeffizient $a$, also der Faktor vor dem $x2$, ungleich $0$ ist. Ansonsten enthält die Gleichung keinen quadratischen Term.

Ist $b \neq 0$, so enthält die quadratische Gleichung ein lineares Glied. Solche Gleichungen werden gemischt quadratische Gleichungen genannt. Ist $b =0$, so handelt es sich um eine reinquadratischen Gleichung.

Quadratische Gleichung der Form

$x^{2}+px+q=0$, mit $p \neq 0$,

werden als quadratischen Gleichung in Normalform bezeichnet. Hierbei ist der Koeffizient $a=1$ und taucht deshalb in der Gleichung nicht auf.

Einführung pq-Formel

Eine der bekanntesten Lösungsformeln für quadratische Gleichungen in Normalform ist die sogenannte pq-Formel.

Liegt die Gleichung in der Form

$x^{2}+px+q=0$, mit $p \neq 0$

vor, so lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}$

$x_{1,2}$ steht dabei für die möglichen zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, $x_1$ und $x_2$.

Quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form $ax^{2}+bx+c=0$ lassen sich durch Division mit dem Koeffizienten $a$ in die Normalform überführen:

$\begin{array}{ccccccc} ax^2 &+& bx &+& c &=& 0 & ~\vert \div a\\ x^2 &+& \frac{b}{a}x &+& \frac{c}{a} &=& 0 &~ \end{array}$

Der Einfachheit halber werden die Brüche in dieser Gleichung durch die Variablen $p$ und $q$ ersetzt:

$x^2+px+q=0$, mit $p=\frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$

Herleitung pq-Formel

Zur Herleitung der pq-Formel werden kleine Tricks sowie das Wissen über die binomischen Formeln benutzt. Zunächst wird die quadratische Gleichung in Normalform umgestellt, anschließend quadratisch ergänzt und mit Hilfe der 1. binomischen Formel umgeformt, um die Gleichung nach x umstellen zu können. Klingt kompliziert, aber du wirst sehen, das ist es gar nicht:

$\begin{array}{cclll} x^{ 2 }+px+q & = & 0~ & \vert & -q \\ x^{ 2 }+px & = & -q & \vert & \text{quadratische Ergänzung mit}+\left(~\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\ x^{ 2 }+px+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & -q+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & \vert & \text{1. binomische Formel} \\ \left( x+\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q & \vert & \sqrt {~} \\ x+\frac { p }{ 2 } & = & \pm \sqrt {\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & \vert & -\frac { p }{ 2 } \\ x_{ 1,2 } & = & -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & ~ & ~ \end{array}$

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen, also die Anzahl der Lösungen einer Gleichung der Form $x^{2}+px+q=0$, entscheidet der Term unter der Wurzel der pq-Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\color{#669900}{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}}$

Dieser wird auch als Diskriminante $D$ bezeichnet.

Ist $D>0$, so hat die quadratische Gleichung genau 2 Lösungen, nämlich:

  • $x_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{D}$ und
  • $x_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{D}$

Ist hingegen $D=0$, so besitzt die quadratische Gleichung genau eine Lösung:

$x=-\frac{p}{2}$

Die dritte Möglichkeit ist, dass die Diskriminante $D$ einen negativen Wert annimmt, also ist $D<0$. Ist diesem Fall besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung. Denn unter der Wurzel würde ein negativer Wert stehen und im Reellen kann die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden.

Rechenbeispiel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in allgemeiner Form:

$2x^{ 2 }+8x+6 = 0$

Beachte zur Lösung dieser Beispielaufgabe, dass du die Gleichung zunächst in die Normalform bringen musst, um die pq-Formel anwenden zu können.

$\begin{array}{cclll} 2x^{ 2 }+8x+6 & = & 0 & \vert & \div2 \\ x^{ 2 }+4x+3 & = & 0 & \end{array}$

Nun musst du nur noch die Werte für $p$ und $q$ ablesen und in die pq-Formel einsetzen, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu berechnen.

$x^{ 2 }+4x+3 = 0$ mit $p=4$, $q=3$

$\begin{array}{cclll} x_{1,2} &=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q} & \vert & \text{Werte für } ~p~ \text{und} ~q~ \text{einsetzen} \\ x_{1,2} &=& -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{2} \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{\left( 2 \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{4 -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{1} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm 1& & \\ \end{array} $

Somit sind die Lösungen der quadratischen Gleichung:

  • $x_{1}=-2+1=-1$
  • $x_{2}=-2-1=-3$

Dass es bei dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen gibt, siehst du auch daran, dass die Diskriminante $D$ größer als $0$ ist, nämlich $1$.

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist somit:

$L=\{-1;-3\}$