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Quadratische Gleichungen

Alle quadratischen Gleichungen lassen sich in der Form $ax^2+bx+c=0$ schreiben, wobei stets $a \neq 0$ gelten muss, da ansonsten der quadratische Term $ax^{2}$ weg fällt und somit keine quadratische Gleichung mehr vorliegt. Die Buchstaben $a$, $b$ und $c$ werden Koeffizienten genannt, die Variable $x$ ist die Unbekannte der Gleichung.

Beispiele für quadratische Gleichungen

Mit Ausnahme von $a$ lassen sich für die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen einsetzen. Beispiele für quadratische Gleichungen sind also:

  • $3x^2+2x-1=0$ mit $a=3$, $b=2$ und $c=-1$
  • $x^2-1 = 0$ mit $a=1$, $b=0$ und $c=-1$
  • $2x^2+x=0$ mit $a=2$, $b=1$ und $c=0$

Wir können die quadratischen Gleichungen als Beschreibung der Nullstelle(n) einer quadratischen Funktion interpretieren, für die ja $f(x)=0$ gilt. Quadratische Gleichungen können graphisch oder rechnerisch gelöst werden. Wir wollen nun eine wichtige Formel näher untersuchen, mit der quadratische Gleichungen rechnerisch gelöst werden können.

abc-Formel

Mit der abc-Formel können quadratische Gleichungen gelöst werden. Das bedeutet, dass wir mit dieser Formel diejenigen $x_1$ und $x_2$ ermitteln, welche die Gleichung lösen. Diese Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird, kann im Gegensatz zur p-q-Formel direkt auf die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ angewendet werden. Sie lautet:

$x_{1, 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Anwendung

Wir wollen die abc-Formel auf die Gleichung $2x^2+2x-4=0$ anwenden. Die Koeffizienten lauten $a=2$, $b=2$ und $c=-4$ und können nun in die Formel eingesetzt werden.

$\begin{align} x_{1, 2} & =\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}\\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4}\\ x_1 & = 1\\ x_2 & = -2 \end{align}$

Die quadratische Gleichung $2x^2+2x-4=0$ wird also durch $x_1=1$ und $x_2=-2$ gelöst.

Wie du vielleicht schon gemerkt hast, entscheidet bei der abc-Formel der Term unter der Wurzel darüber, wie viele Lösungen die Gleichung hat. Ist der Term unter der Wurzel

  • größer als $0$, so gibt es zwei Lösungen.
  • gleich $0$, so gibt es eine Lösung.
  • kleiner als $0$, so gibt es keine Lösungen.

Herleitung

Die abc-Formel kann direkt aus der quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c=0$ hergeleitet werden. Dabei verwenden wir in einem Rechenschritt die quadratische Ergänzung (q. E.):

$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 &|& -c\\ ax^2 + bx &= -c &|& \cdot 4a\\ 4a^2x^2+ 4abx & = -4ac &|& +b^2 ~ \text{ q. E.}\\ (2ax)^2+2 \cdot 2axb + b^2 & = b^2 - 4ac &|& ~\text{bin. Formel}\\ (2ax+b)^2 & = b^2 - 4ac &|& \pm \sqrt{~}\\ 2ax + b & = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} &|&-b\\ 2ax & = -b \pm \sqrt{b^2-4ac} &|& : (2a)\\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} &~& \end{align}$

Videos und Übungen in Mitternachtsformel (abc-Formel)

2 Videos

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Mitternachtsformel (abc-Formel)

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