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Gegenseitige Lage Gerade-Gerade

parallel, identisch, schneidend, Schnittpunkt, windschief, Schnittwinkel, Richtungsvektoren

Geradengleichungen im Raum

Geraden im Raum sind entweder durch einen Punkt und einen Vektor oder durch zwei Punkte gegeben. Eine Parametergleichung sieht so aus:

$g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec u$

Dabei sind

  • $\vec x$ ein Vektor, der auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigt,
  • $\vec a$ ein Vektor, der auf einen gegebenen Punkt der Geraden zeigt, der Stützvektor,
  • $\vec u$ der Richtungsvektor und
  • $r\in\mathbb{R}$ ein Parameter.

Allgemeines Vorgehen

Wenn zwei Geraden gegeben sind, untersuchst du zunächst die beiden Richtungsvektoren auf Kollinearität. Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn der eine Vektor sich als Vielfaches des anderen schreiben lässt.

Die Richtungsvektoren sind kollinear

In diesem Fall sind die Geraden entweder identisch oder parallel zueinander.

Wie kannst du diese beiden Fälle unterscheiden? Parallele Geraden haben keine gemeinsamen Punkte und identische unendlich viele gemeinsame Punkte.

Liegt also der Punkt, auf welchen der Stützvektor einer der beiden Geraden zeigt, auch auf der anderen Geraden, dann sind die Geraden identisch. Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, führst du eine Punktprobe durch.

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear

In diesem Fall schneiden sich die Geraden entweder oder sind windschief zueinander.

Jedes Mal musst du ein lineares Gleichungssystem lösen, welches du durch Gleichsetzen der Geradengleichungen erhältst. Ist dieses Gleichungssystem lösbar, dann schneiden sich die Geraden. Anderenfalls sind sie windschief.

Nun wirst du jeweils an einem Beispiel sehen, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst.

Identische Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden

$g:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{pmatrix}$

sowie

$h:\vec x=\begin{pmatrix} 5 \\\ 7 \\\ 10 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\\ 3 \\\ 6 \end{pmatrix}$

Die Richtungsvektoren, diese erkennst du daran, dass sie mit dem Parameter multipliziert werden, sind kollinear. Prüfe nun, ob der Punkt $P(5|7|10)$ auf der Geraden $g$ liegt. Für $r=4$ erhältst du den Ortsvektor dieses Punktes. Das bedeutet, dass der Punkt auch auf der Geraden $g$ liegt. Schließlich sind die beiden Geraden identisch.

Parallele Geraden

Dieses Mal schauen wir uns die beiden folgenden Geraden an:

$g:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{pmatrix}$

sowie

$h:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\\ 3 \\\ 6 \end{pmatrix}$

Wieder sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Punktprobe, ob $P(1|2|3)$ auf der Geraden $g$ liegt, führt zu einem Widerspruch. Das bedeutet, dass der Punkt nicht auf der Geraden $g$ liegt. Die Geraden sind somit parallel zueinander.

Bei parallelen Geraden kannst du auch noch deren Abstand zueinander berechnen.

1170_parallele_Geraden.jpg

Nun bleiben noch die beiden Fälle, in welchen die Richtungsvektoren der betrachteten Geraden nicht kollinear sind.

Sich schneidende Geraden

Betrachte die folgenden Geraden:

$g:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{pmatrix}$

sowie

$h:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\\ 5 \\\ 7 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{pmatrix}$

Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Du musst nun das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

$\begin{array}{lcccc} \text{(I)}&1+r&=&6-s\\ \text{(II)}&3+r&=&5+2s\\ \text{(III)}&2+2r&=&7+3s \end{array}$

  • Wenn du von der zweiten Gleichung die erste subtrahierst, erhältst du $2=-1+3s$. Addiere nun $1$ und dividiere anschließend durch $3$, dann erhältst du $s=1$.
  • Setze $s=1$ in die erste Gleichung ein. So erhältst du $r=4$.
  • $s=1$ und $r=4$ erfüllen auch die dritte Gleichung.

Die beiden Geraden schneiden sich. Den Schnittpunkt erhältst du, indem du einen der beiden Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. So kommst du zu $S(5|7|10)$.

Hier siehst du zwei sich schneidende Geraden:

1170_schneidende_Geraden.jpg

Zusätzlich zu dem Schnittpunkt kannst du auch noch den Schnittwinkel berechnen. Hierfür verwendest du die folgende Formel:

$\cos(\alpha)=\dfrac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot |\vec v|}$

Dabei sind $\vec u$ sowie $\vec v$ die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

Windschiefe Geraden

Nun bleibt noch der Fall windschiefer Geraden:

$g:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{pmatrix}$

sowie

$h:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\\ 5 \\\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{pmatrix}$

Wieder stellst du ein lineares Gleichungssystem auf:

$\begin{array}{lcccc} \text{(I)}&1+r&=&6-s\\ \text{(II)}&3+r&=&5+2s\\ \text{(III)}&2+2r&=&5+3s \end{array}$

Auch hier führen die ersten beiden Gleichungen zu $r=4$ sowie $s=1$.

Setze diese in die dritte Gleichung ein: Du erhältst dann $2+2\cdot 4=10$ auf der linken Seite sowie $5+3\cdot 1=8$ auf der rechten Seite und demnach einen Widerspruch. Das bedeutet schließlich, dass das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist.

Die beiden Geraden sind windschief.

1170_windschiefe_Geraden.jpg

Bei windschiefen Geraden kannst du noch den Abstand dieser Geraden zueinander berechnen.