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Geraden – Gleichungen und Lagebeziehungen

Die analytische Geometrie behandelt verschiedene geometrische Elemente. Dazu gehören zum Beispiel Geraden.

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Themenübersicht in Geraden – Gleichungen und Lagebeziehungen

Geraden im $\mathbb{R}^{3}$

Eine Gerade im $\mathbb{R}^{3}$ kann durch eine Geradengleichung beschrieben werden:

$g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v$

Dabei haben die einzelnen Größen die folgende Bedeutung:

  • $\vec x$ ist ein Vektor, welcher auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigt.
  • $\vec a$ ist ein Vektor, welcher auf einen gegebenen Punkt der Geraden zeigt. Dieser Vektor wird als Stützvektor bezeichnet.
  • $r\in\mathbb{R}$ ist ein Parameter.
  • $\vec v$ ist der Richtungsvektor der Geraden.

Lagebeziehung Punkt zu Gerade

Sei $P$ ein Punkt im $\mathbb{R}^{3}$. Es ist für viele Anwendungen interessant, mehr über die Lagebeziehung zwischen $P$ und der Geraden $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v$ zu erfahren.

Dazu werden die Koordinaten des Punktes in die Gleichung $\vec p=\vec a+r\cdot \vec v$ eingesetzt und so mit dem Geradenverlauf verglichen. Ergibt sich eine eindeutige Lösung für $r$, liegt der Punkt auf der Geraden. Ist die Gleichung nicht lösbar, liegt der Punkt auch nicht auf der Geraden. Dieses Verfahren wird als Punktprobe bezeichnet.

Punkt_Gerade.jpg

Lagebeziehung Gerade zu Gerade

Seien $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v$ und $h:\vec x=\vec b+s\cdot \vec w$ zwei Geraden im $\mathbb{R}^{3}$. Es ist für viele Anwendungen interessant, mehr über die Lagebeziehung zwischen $g$ und $h$ zu erfahren.

Sind die Richtungsvektoren $\vec v$ und $\vec w$ beider Geraden kollinear, das heißt, es gilt $\vec v = t \cdot \vec w$ mit $t\in\mathbb{R}$, dann gibt es zwei Möglichkeiten: Die Geraden sind entweder parallel oder identisch. Parallele Geraden haben keinen Punkt gemeinsam.

parallel.jpeg

Identische Geraden haben dagegen unendlich viele Punkte gemeinsam. Das ermittelt man durch Gleichsetzen der Geradengleichungen.

identisch.jpeg

Sind die Richtungsvektoren $\vec v$ und $\vec w$ beider Geraden nicht kollinear, gibt es wieder zwei Möglichkeiten: Die Geraden können einen Schnittpunkt $S$ haben.

schneiden_sich.jpeg

Oder die Geraden laufen versetzt im Raum aneinander vorbei, ohne sich zu schneiden. Diese Variante bezeichnet man als windschief. Auch hier setzt man die Geradengleichungen gleich und schaut, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben.

windschief.jpeg

Geradenscharen

Manchmal ist neben dem Geradenparameter, der mit dem Richtungsvektor multipliziert die Gerade aufspannt, ein weiterer Parameter gegeben. Dann ist die Gerade nicht eindeutig definiert und durch diesen zweiten Parameter werden weitere, in der Regel sogar unendlich viele Geraden beschrieben. Dieser zweite Parameter taucht meist (manchmal auch mehrfach) in den Koordinaten des Stütz- oder Richtungsvektors auf. Dieses Bündel von Geraden nennt man eine Geradenschar.