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Stetigkeit und Zwischenwertsatz

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Stetigkeit von Funktionen

Die Stetigkeit von Funktionen kannst du wie folgt überprüfen:

Eine Funktion $f$ ist stetig in $x_0$, wenn $f(x_0)$ und $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$ existieren und es gilt:

$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)$

Der Grenzwert $x$ gegen $x_0$ ist also gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$. Anschaulich bedeutet das, dass du den Graphen von $f$ komplett ohne abzusetzen durchzeichnen kannst. Viele Funktionen, die du bereits kennst, sind stetig. Dazu gehören alle linearen Funktionen, alle Parabeln oder auch die konstanten Funktionen.

Gerade Parabel.jpg

Du hast aber auch schon Funktionen kennengelernt, die nicht stetig sind. Zum Beispiel die Hyperbel zu folgender Funktion:

$f(x)=\frac{1}{x}$

An der Stelle $x=0$ ist diese Funktion nicht definiert, weil sonst durch $0$ geteilt werden müsste. Die Funktion hat an dieser Stelle eine sogenannte Polstelle. Wie du der folgenden Abbildung entnehmen kannst, werden die Funktionswerte in der Umgebung von $x=0$ unendlich klein bzw. unendlich groß. Klar, dass du da absetzen musst.

Hyperbel.jpg

Es gibt aber auch Funktionen, die zusammengesetzt sind. Du kennst sie unter dem Begriff abschnittsweise definierte Funktionen. Diese können stetig oder auch nicht stetig sein. Je nachdem ob du den Stift beim Zeichnen des Graphen absetzen musst oder nicht. Sieh dir dazu folgenden Graphen der Vorzeichenfunktion an:

Vorzeichenfunktion.jpg

Übrigens: Ein ausgemalter Kreis bedeutet, dass der Funktionswert an dieser Stelle angenommen wird. Nicht ausgemalte Kreise zeigen das Gegenteil an.

Bei manchen Beispielen können aber die „Lücken“ oder Abschnitte so festgelegt werden, dass die Funktion stetig wird. Manche Graphen haben dann eine sogenannte stetig hebbare Definitionslücke.

Stetigkeitssätze

Du weißt jetzt also, ob eine Funktion stetig ist oder nicht. Aber was passiert eigentlich, wenn du zwei oder mehrere stetige Funktionen kombinierst? Glücklicherweise gibt es dafür die Stetigkeitssätze.

  1. Addition, Subtraktion und Multiplikation von stetigen Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen.
  2. Wenn $f$ stetig ist in $x_0$ und $f(x_0)\neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ auch stetig in $x_0$.
  3. Alle Funktionen der Form $f(x)= a_{n} x^n + … + a_{2} x^2 + a_{1} x + a_{0}$, also Polynome, sind stetig in $\mathbb{R}$.
  4. Ist $f$ stetig in $x_0$ und $g$ stetig in $f(x_0)$ dann ist die Verkettung $g\circ f(x)=g(f(x_0))$ auch stetig in $x_0$.

Zwischenwertsatz

Sei $f$ eine reelle Funktion, welche auf dem geschlossenen Intervall $[a;b]$ stetig ist. Es existiert dann für jeden Funktionswert $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ein $x_0$ aus dem Intervall $[a;b]$, sodass Folgendes gilt:

$f(x_0)=c$

Puh! Das war eine komplizierte – aber dafür eine mathematisch exakte – Beschreibung des Zwischenwertsatzes. Kurz bedeutet dieser, dass die Funktion alle $y$-Werte zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt. Das folgende Bild zeigt den Zwischenwertsatz grafisch:

Zwischenwertsatz.jpg

Nullstellensatz

Wenn also alle $y$-Werte dazwischen angenommen werden, dann doch auch der Wert $y=0$. Der Nullstellensatz ist also nur eine logische Erweiterung des Zwischenwertsatzes:

Eine reelle Funktion $f$ sei stetig auf dem reellen Intervall $[a;b]$, wobei Folgendes gilt:

$f(a)\lt 0\lt f(b)\quad\text{oder}\quad f(b)\lt 0\lt f(a)$

Dann existiert mindestens eine Nullstelle von $f$ innerhalb des Intervalls $[a;b]$.

Nullstellensatz.jpg

Nullstellen kannst du z.B. durch Umformen, mit der $pq$-Formel oder auch durch Erraten und anschließender Polynomdivision berechnen. Doch bei manchen Funktionen ist keines dieser Verfahren möglich. Trotzdem kannst du die Nullstellen einer stetigen Funktion mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens näherungsweise berechnen. Ohne den Nullstellensatz wäre das nicht möglich.

Intervallhalbierungsverfahren

Satz vom Minimum und Maximum

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes kannst du sogar noch eine weitere Entdeckung machen! Wenn eine Funktion auf dem Intervall $[a;b]$ stetig ist, dann gibt es dort keine Definitionslücken oder Polstellen. Du kannst den Graphen der Funktion also ohne abzusetzen zeichnen. Das bedeutet also, dass du für das Intervall einen minimalen und einen maximalen Funktionswert bzw. deren $x$-Werte $x_{min}$ und $x_{max}$ angeben kannst.

Min Max Satz.jpg

Die formale Beschreibung des Satzes vom Minimum und Maximum lautet: Eine reelle Funktion $f$ sei stetig auf dem reellen Intervall $[a;b]$. Dann existiert ein Minimum und ein Maximum mit:

$a\leq x_{min} \leq b \quad \text{und} \quad a\leq x_{max} \leq b$