Schwingungsdauer des Federpendels

Schwingungsdauer des Federpendels Übung

• Gib an, welche physikalischen Größen Einfluss auf die Periodendauer der Schwingung nehmen.

  Tipps

  Überlege dir genau, wie der Versuchsaufbau aussieht.

  Wir müssen die Schwingung für unterschiedliche Federn berechenbar machen.

  Lösung

  Die Schwingungsdauer des Federpendels lässt sich anhand zweier charakteristischer Größen bestimmen.

  Schauen wir uns zunächst einmal den Versuchsaufbau an. Eine Masse $m$ hängt an einer Feder. Es ist schon ganz logisch, dass die Auslenkung des Systems aus der Ruhelage umso größer ist, je schwerer die angehängte Masse ist. Dazu kommt noch ein Kennwert, der unterschiedliche Federstärken berücksichtigt. Dieser Wert $D$ wird als Federkonstante bezeichnet. Dabei ist es umso schwerer, die Feder zu verformen, je größer der Wert von $D$ ist. Die Federn, die in einem Auto verbaut sind, haben zum Beispiel einen viel größeren Wert für $D$ als die Feder aus einem Kugelschreiber.

  Kennen wir nun die Masse und die Eigenschaften der Feder, so kann daraus die Umlaufdauer berechnet werden.

  Die Umlaufdauer ist dann groß, wenn die Masse ebenfalls groß und die Federkonstante gering ist.

  Dann tritt eine große Amplitude in der Schwingung auf und es dauert dementsprechend länger, diese zu durchlaufen.

• Bestimme die Funktion der Formeln.

  Tipps

  Eine Periode entspricht einer kompletten Schwingung.

  Die Differentialgleichung der Bewegung beinhaltet Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

  Die Periodendauer kann streng mathematisch oder anhand der Feder und Masse aus dem Versuch berechnet werden.

  Lösung

  Bei der Berechnung der Periodendauer des Federpendels müssen wir uns mehrerer Formeln behelfen.

  Dabei muss zunächst einmal geklärt werden, was eigentlich überhaupt interessant zu wissen ist. Wir beschreiben mit der Schwingung hier eine Bewegung. Von daher ist es sinnvoll, den Ansatz der Differentialgleichung der Bewegung zu betrachten. Diese gibt uns Informationen über den Zusammenhang von Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

  Die Formel für die Auslenkung oder Amplitude lautet $y(t) = A \cdot sin( \phi(t))$ , für die Beschleunigung müssen wir die Formel $y''(t) = -A \cdot sin(\omega t) \cdot \omega^2$ berücksichtigen.

  Weiterhin interessant ist die Kreisfrequenz $\omega$. Diese gibt an, in welcher Frequenz eine Schwingung abläuft. Wir behelfen uns dabei einer Darstellung am Kreis, weshalb hier auch die Kreiszahl $\pi$ in die Rechnung integriert wird.

  Es gilt $\omega = \frac{2 \pi}{T}$.

  Zu guter Letzt betrachten wir nun die Periodendauer $T$.

  Diese gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis eine komplette Schwingung abgelaufen, also eine Periode vorüber ist. Die Einheit ist dementsprechend die Sekunde. Mit $T =\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$ stehen uns dabei zwei unterschiedliche Formeln zur Berechnung zur Verfügung, die einmal eine Darstellung mit den Materialkennwerten $m$ und $D$ und einmal die rein mathematische Darstellung mit $\omega$ erlauben.

• Erkläre, wie sich die Periodendauer verändert.

  Tipps

  $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$

  Die Umlaufdauer muss steigen, wenn die Masse steigt, und zwar mit der Wurzel des Anstiegs der Masse.

  Lösung

  Die Periodendauer der mechanischen Schwingung kann mit Hilfe der schwingenden Masse und der verwendeten Feder mit der Federsteifigkeit $D$ bestimmt werden.

  Es gilt der Zusammenhang $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$.

  Wie du siehst, muss die Umlaufdauer steigen, wenn die Masse steigt, und zwar mit der Wurzel des Anstiegs der Masse. Steht diese doch im Zähler unter der Wurzel. Für eine Veränderung der Federsteifigkeit gilt das umgekehrte Verhältnis. Wird $D$ erhöht, so wird $T$ verringert.

  Betrachten wir einmal die Verdopplung von $m$ und die gleichzeitige Halbierung von $D$.

  $T = 2 \pi \sqrt{\frac{2 m}{0,5 D}} = 2 \pi \sqrt{4 \frac{m}{D}} = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{m}{D}} = 2T$.

  Die Periodendauer $T$ wird in diesem Fall verdoppelt.

  Analog kannst du nun sicher die übrigen Aufgaben leicht lösen. Viel Spaß dabei!

• Bestimme die Periodendauer der Schwingungen.

  Tipps

  Rechne in den Grundeinheiten.

  $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

  Lösung

  Um den Zusammenhang zwischen der Periodendauer, der Masse des Pendels und der Federkonstante zu bestimmen bedienen wir uns der gezeigten Formel.

  Wichtig ist auch hier, in den physikalischen Grundeinheiten zu rechnen, also in $kg$ statt in $g$ oder in $s$ statt $min$.

  Generell geben wir hier $m$ immer in $kg$ an und $D$ in $kg \cdot s^{-2}$ sodass wir für die Periodendauer $T$ schließlich die Einheit $s$ erhalten.

  Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben seien die Masse $m = 0,45 kg$ und die Federsteifigkeit $D = 710 \frac{kg}{s^2} $.

  Die Einheiten sind bereits passend, sodass wir einsetzen können: $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{0,45 kg}{710 \frac{kg}{s^2}}} = 0,158 s$.

  Die Dauer einer Periode beträgt in diesem Beispiel also $T = 0,158 s$.

  Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Gegeben seien nun die Masse $m = 10 kg$ und die Federsteifigkeit $D = 9.500 \frac{kg}{s^2} $.

  Die Einheiten sind bereits passend, sodass wir einsetzen können: $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{10 kg}{9.500 \frac{kg}{s^2}}} = 0,204 s$.

  Die Dauer einer Periode beträgt hier nun $T = 0,204 s$.

  Auf diesem Wege kannst du nun auch die restlichen Periodendauern berechnen.

• Gib an, was der Phasenwinkel ist.

  Tipps

  Eine Stoppuhr hat einen einzigen Zeiger, der sich um einen festen Punkt in einer bestimmten Zeit um einen bestimmten Winkel $\varphi$ dreht.

  Der Phasenwinkel wird genutzt, um einer Phase einen Winkel zuzuordnen.

  Lösung

  Der Phasenwinkel ist ein hilfreiches Werkzeug zur Beschreibung einer Schwingung.

  Doch was hat dieser mit einer Stoppuhr zu tun?

  Schauen wir uns einmal an, was die Stoppuhr macht. Wir haben einen einzigen Zeiger, der sich um einen festen Punkt in einer bestimmten Zeit um einen bestimmten Winkel $\varphi$ dreht. Dabei können wir, solange wir die Zeit wissen, immer vorhersagen, in welchem Winkel der Zeiger stehen muss, wenn sein Anfangswert bekannt ist.

  Wir können also jeder Phase einen Winkel zuordnen, den sogenannten Phasenwinkel.

  Wir müssen nur eine kleine Anpassung vornehmen, um diesen für die Schwingung zu nutzen. Und zwar sei der Wert $\varphi = 0$ an der Stelle, an der die Uhr $3$ zeigt, und die Bewegungsrichtung des Zeigers entgegen dem Uhrzeigersinn.

  So kann nun jedem Zeitpunkt der Schwingung ein Winkel zugeordnet werden.

• Berechne die Kreisfrequenzen.

  Tipps

  Die Einheit der Frequenz muss $s^{-1}$ beziehungsweise $ \frac{1}{s} $ sein.

  Es gilt $\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$.

  Lösung

  Die Kreisfrequenz ist, wie der Name es bereits vermuten lässt, eine Frequenz. Das bedeutet, die Einheit muss $s^{-1}$ beziehungsweise $ \frac{1}{s} $ sein.

  Um die Richtigkeit zu prüfen, können wir nun die Einheitenbetrachtung anhand der gegebenen Formel mit den bekannten Einheiten der Masse $kg$ und der Federkonstante $ kg \cdot s^{-2} $ vornehmen.

  Wir erhalten für $\frac{D}{m}$ somit $ \frac{kg}{s^2 kg} = \frac{1}{s^2}$. Ziehen wir nun die Wurzel, so erhalten wir $\omega = \sqrt{\frac{1}{s^2}} = \frac{1}{s} = s^{-1}$ .

  Betrachten wir nun ein Beispiel. Es seien $m = 0,01 kg$ und $D = 60 \frac{kg}{s^2} $ gegeben. Da wir bereits Grundeinheiten haben, können wir direkt einsetzen und erhalten damit :

  $\omega = \sqrt{\frac{60 \frac{kg}{s^2}}{0,01 kg}} = 77,46 \frac{1}{s} $.

  Das bedeutet, innerhalb einer Sekunde werden $77,46$ Schwingungen durchlaufen. Das Pendel schwingt also sehr schnell.