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Mechanische Schwingung 06:12 min

Textversion des Videos

Transkript Mechanische Schwingung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, aus dem Themengebiet Schwingungen und Wellen, mit mechanischen Schwingungen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über mechanische Wellen gesehen haben. Wir lernen heute was, eine mechanische Schwingung ist, wie man sie beschreiben kann und zum Schluss werden wir noch die Schwingungsgleichung aufstellen, die den ganzen Vorgang beschreibt. Wir haben im letzten Film erfahren, eine mechanische Welle ist die Ausbreitung von mechanischen Schwingungen durch ein Übertragungsmedium. Aber nun wollen wir natürlich wissen, was ist denn überhaupt eine mechanische Schwingung? Als mechanische Schwingung bezeichnet man die periodische, also mit der Zeit immer wiederkehrende Bewegung eines Körpers, um seine Gleichgewichtslage. In der Animation rechts könnt ihr ein Beispiel für so eine Schwingung sehen. Wenn ihr eine Kugel hochhebt und dann loslasst, dann wird sie, um den Gleichgewichtspunkt an ihrer Feder, schwingen. Die Ursache für eine Schwingung, wie gerade im Beispiel, ist folgende. Ein Körper wird durch eine Störung aus seiner Gleichgewichtslage entfernt, woraufhin eine rücktreibende Kraft einsetzt, die versucht, das Gleichgewicht wieder herzustellen. Unsere Kugel schießt aber nun mit Schwung über den Gleichgewichtspunkt hinaus, bis sie auf der anderen Seite der Feder gebremst und wieder zurückgeschleudert wird. Und so fängt sie an, zwischen den beiden Maximalpunkten ihrer Auslenkung zu schwingen. Als Nächstes wollen wir uns ansehen, anhand welcher Eigenschaften man eine mechanische Schwingung beschreiben kann. Im Bild seht ihr ein Auslenkung-Zeit-Diagramm für unsere Metallkugel. Ich habe die Auslenkung mit y bezeichnet. Nun kann ich natürlich praktisch die Auslenkung y zu jedem Zeitpunkt einfach in meiner blauen Kurve ablesen. Wie ihr seht, wiederholt sich ja die gleiche Schwingung immer wieder und die Dauer, die mein System benötigt, um einen einzigen Schwingvorgang auszuführen, nenne ich die Periodendauer. Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Schwingung ist die maximale Auslenkung. Diese nenne ich die Amplitude. Wir merken uns also, Eigenschaften, die ich zur Beschreibung meiner mechanischen Schwingung verwenden kann, sind unter anderem: Die Auslenkung, die die Entfernung zur Gleichgewichtslage ist, ich habe sie mit y(t) bezeichnet. Die Amplitude, die die maximale Auslenkung meines Systems ist. Sie trägt den Buchstaben A. Die Periodendauer ist die Zeit, die mein System benötigt, um einen einzelnen Schwingvorgang durchzuführen. Sie trägt den Buchstaben T. Ebenfalls wichtig ist die Frequenz einer mechanischen Schwingung. Sie gibt mir an, wie viele Schwingvorgänge mein System pro Sekunde ausführt. Die Letzten beiden hängen natürlich direkt zusammen. Die Frequenz gibt mir die Anzahl der Schwingvorgänge pro Sekunde an und die Periodendauer ist die Dauer eines Schwingvorgangs. Also ist die Frequenz f=1/T. Außerdem merken wir uns. Die Amplitude A ist die maximale Auslenkung. Ich schreibe A=ymax. Zum Schluss wollen wir nun noch versuchen, die Schwingungsgleichung aufzustellen, mit deren Hilfe wir unsere mechanische Schwingung mathematisch beschreiben können. Wir wissen, F=m×a oder anders geschrieben F=m×y^.. also die zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit. Dies ist das 2.Newtonsche Axiom. Außerdem könnte eine Kraft wirken, die unseren Schwingvorgang dämpft. Die Formel für so eine dämpfende Kraft wäre FD=-beta×v oder anders geschrieben FD=-beta×v^. Denn die erste Ableitung der Auslenkung nach der Zeit, ist ja die Geschwindigkeit. Als Letztes fehlt uns nun noch die Feder, die die rücktreibende Kraft auf unsere Kugel ausübt. Die Formel für die Federkraft gibt uns das Hooksche Gesetz, das besagt: Die von einer Feder ausgeübte Kraft FH=-k×y, wobei k die Federkonstante ist. Damit kann ich schreiben: Die Summe aller Kräfte F=m×y^..=-beta×y^.-ky.  Wenn ich das nun alles auf eine Seite bringe, erhalte ich die Schwingungsgleichung. Sie lautet my^..+beta×y^.+ky=0. Dabei ist, damit wir nicht durcheinander kommen, M die Masse, beta die Dämpfungskonstante, k die Federkonstante, y^.. die Beschleunigung, y^. die Geschwindigkeit und y die Auslenkung. Wir stellen gleich mal fest, da hier sowohl die Auslenkung, als auch ihre erste und zweite Ableitung nach der Zeit vorkommen, handelt es sich bei der Schwingungsgleichung um eine Differenzialgleichung und wie wir die für eine harmonische Schwingung lösen können, das sehen wir im nächsten Film. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Als mechanische Schwingung bezeichnet man die periodische Bewegung eines Körpers um seine Gleichgewichtslage. Eigenschaften einer mechanischen Schwingung sind unter anderem: die Auslenkung, also die Entfernung zur Gleichgewichtslage, die Amplitude A, die die maximale Auslenkung ist, die Periodendauer T, die mir angibt, wie lange mein System braucht, um einen einzigen Schwingungsvorgang auszuführen und die Frequenz F, die mir sagt, wie viele solcher Schwingungsvorgänge pro Sekunde stattfinden. Anders gesagt, die Frequenz F=1/T und die Amplitude A=ymax. Die Schwingungsgleichung einer mechanischen Schwingung mit Dämpfung lautet: m×y^..+beta ×y^.+ky=0. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

3 Kommentare
  1. @all

    Hier sind die Links zu weiteren Videos die die Mathematischen Hintergründe beschreiben.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/winkelfunktionen-spezielle-funktionswerte
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinusfunktion-allgemein-mit-parametern
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-2
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/partielle-integration-mit-sinus-und-cosinustermen

    Von Karsten Schedemann, vor fast 5 Jahren
  2. Mathematisch sagt mir das so gar nichts.
    Bitte Verlinkung zu den Videos, die dafür nötig sind, etc., um dies Video dann zu verstehen...

    Von Rosenrot78, vor fast 5 Jahren
  3. Sehr gut erklärt,danke Kalle :-)

    Von Einfach Simon, vor mehr als 7 Jahren

Mechanische Schwingung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mechanische Schwingung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den Ablauf für den Beginn einer mechanische Schwingung bei einer Feder an.

    Tipps

    Bevor etwas passiert, ruht das System.

    Die Animation zeigt dir ja bereits den Ablauf der Bewegung. Versuche, diese Schritt für Schritt nachzuverfolgen.

    Lösung

    Um besser mit periodischen Schwingungen arbeiten zu können, betrachten wir einen einzelnen Schwingungsvorgang genauer.

    Zunächst befindet sich die Feder in Gleichgewichtslage, aus der sie dann mit einer Kraft ausgelenkt wird. Im Bestreben, wieder in ihre Gleichgewichtslage zu gelangen, schnellt die Feder zurück. Die dadurch komprimierte Feder stößt die Masse dann wieder zurück.

    Da es in der Praxis keine völlig ungedämpften Schwingungen gibt, wird dieser Massenpunkt sich früher oder später wieder in der Gleichgewichtslage befinden. In der Physik wird die Dämpfung allerdings oft vernachlässigt, um sich besser mit der Schwingung selbst beschäftigen zu können.

  • Nenne die Eigenschaften einer schwingenden Feder.

    Tipps

    Das Objekt schwingt um eine Art Zentrum oder Mittelpunkt. Welcher könnte das sein?

    Lösung

    Das Verhalten von schwingenden Objekten zu kennen und zu beschreiben, ist in der Physik oft unerlässlich.

    Eine ausgelenkte Feder schwingt um ihre Gleichgewichtslage. Das ist die Position, in der sie ruht, also keine Bewegungen durchführt.

    Die Amplitude ist die maximale Auslenkung.

    Die Schwingung verläuft in beide Richtungen gleichförmig.

  • Beschrifte das Auslenkungs-Zeit-Diagramm.

    Tipps

    Die maximale Auslenkung hat einen besonderen Namen.

    Der auf der x-Achse markierte Bereich grenzt eine ganze Schwingung ein.

    Lösung

    Solche Schwingungen werden dir noch oft begegnen.

    Die Auslenkung verläuft auf der y-Achse und ist meist zeitabhängig.

    Die maximale Auslenkung nennt man Amplitude.

    Die Periodendauer ist die Zeit, die vergeht, bis eine ganze Schwingung vollendet ist. Normalerweise lässt sich diese Zeit an der x-Achse ablesen, aber nur wenn diese auch die Zeit-Achse ist.

  • Entscheide in welche Richtung ein schwingendes System von äußeren Kräften beeinflusst wird.

    Tipps

    Unterscheide zwischen horizontaler und vertikaler Bewegung.

    Überlege dir Kräfte, die auf das System wirken könnten. Kräfte, die z.B. immer da sind. Denke an einen realen Aufbau.

    Lösung

    In der Realität sind mechanische Schwingungen noch anderen Kräften ausgesetzt. Dadurch läuft eine Schwingung gar nicht so gleichförmig ab, wie es in einem konstruierten Fall, in dem nur die Kraft der anfänglichen Auslenkung betrachtet wird, zu sein scheint.

    In diesem Fall geht es um eine Kraft, die in eine bestimmte Richtung wirkt: die Gewichtskraft $F_G$.

    Sie wirkt immer zum Erdmittelpunkt. Da die Aufbauten klassisch über dem Boden hängend aufgebaut sind, wirkt $F_G$ nach unten.

    Das bedeutet, sie verstärkt nach unten gerichtete Kräfte und schwächt bzw. dämpft nach oben gerichtete Kräfte. Dadurch ist die Federbewegung nach unten stärker als nach oben.

    Dies gilt allerdings nur für Objekte mit einer Masse. In der Quantenphysik werden diese Kräfte oft vernachlässigt.

    Am Fadenpendel wirkt die Gewichtskraft zwar auch, aber auf beide Richtungen gleich. Daher schwingt das Pendel nach links und rechts gleich.

  • Erkläre die Begriffe.

    Tipps

    Achte auf die Schreibweise f oder F.

    Lösung

    Ein paar der Begriffe hast du vielleicht schon in Aufgabe 2 benutzt.

    Nun gehen wir das aber mal etwas theoretischer an.

    Bei einer harmonischen Schwingung pendelt die Auslenkung um die Gleichgewichtslage. Die jeweils größte Auslenkung heißt Amplitude.

    Die Periodendauer ist die Zeit, die eine ganze Schwingung benötigt.

    Die Frequenz f hat die Formel $f=\dfrac{1}{T}$ und gibt die Schwingungen pro Sekunde an.

    „pro" Sekunde bedeutet immer $\dfrac{1}{\textrm{Sekunde}}$.

    Während die Periodendauer eine Zeiteinheit ist, ist die Frequenz die Anzahl der Schwingungen pro Zeit. Wir messen nun für eine einzige Schwingung die Zeit, also mit der Schwingungszahl 1.

    Diese Einheit, $\dfrac{1}{\textrm{Sekunde}}$ heißt übrigens Hertz (Hz).

  • Stelle eine Schwingungsgleichung auf.

    Tipps

    Überlege dir, welche Faktoren bei einer Federschwingung wichtig sein könnten.

    Lösung

    Mithilfe der Schwingungsgleichung kann man (gedämpfte)Schwingungen genau beschreiben. Es ist also klar, dass es hilfreich ist zu wissen, woraus sie gemacht ist.

    $m\ddot{y}$ ist das 2. Newton'sche Axiom. Dieses ist gleich $-\beta\dot{y}-ky$, wobei $\beta$ die Dämpfungskonstante, $\dot{y}$ die Geschwindigkeit v und $k$ die Federkonstante ist.

    Stellt man die Gleichung um, wird eine homogene Differentialgleichung (DGL) daraus: $\begin{align*} m\ddot{y} &=~-\beta\dot{y}-ky \\ 0&=~m\ddot{y}+\beta\dot{y}+ky \end{align*}$