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Mathematische Beschreibung des Federpendels

Erfahre, wie ein Federpendel grundsätzlich aufgebaut ist und durch das Hooksche Gesetz beschrieben wird. Entdecke die mathematische Herleitung seiner Schwingungen und die beeindruckende Beziehung zwischen Masse und Federkonstante für die Periodendauer. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Mathematische Beschreibung des Federpendels
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Die Autor*innen
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Lars Karlsson
Mathematische Beschreibung des Federpendels
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Mathematische Beschreibung des Federpendels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mathematische Beschreibung des Federpendels kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung.

    Tipps

    Die verschiedenen Punkte einer harmonischen Schwingung kann man mit einem Winkel ausdrücken.

    Lösung

    Dies ist die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung. Mit ihr kann man zu jedem Zeitpunkt $t$ sagen, wie groß die Auslenkung gerade ist.

    Dazu braucht man lediglich die Amplitude $A$, also die maximale Auslenkung, und den Phasenwinkel $\varphi$, welcher der Kreisfrequenz $\omega$ mal der Zeit $t$ entspricht. Die Kreisfrequenz bezieht sich auf die Zeit pro Umdrehung. Im Sinus und multipliziert mit der Zeit ergeben sich dann Werte zwischen 0 und 1 für den Sinus.

  • Beschreibe die Gesetze für die Kraft einer harmonischen Schwingung.

    Tipps

    $y$ ist die Auslenkung zu einer bestimmten Zeit $t$.

    Lösung

    Die harmonische Federschwingung lässt sich mit dem Hooke'schen Gesetz bestimmten. Allgemein gilt für die Kraft das 2. Newton'sche Axiom.

    Also gibt es hier 2 Wege, die zum gleichen Ergebnis führen.

    Setzt man beide gleich und stellt nach der Beschleunigung $a$ um, hat man eine Differenzialgleichung.

  • Nenne die Gleichungen, die bei der Herleitung der Schwingungsgleichung vorkommen.

    Tipps

    Die Beschleunigung $a$ ist die zweifache zeitliche Ableitung des Ortes.

    Lösung

    Möchte man die Schwingungsgleichung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$ herleiten, so beginnt man damit, das Hooke'sche Gesetz und das 2. Newton'sche Axiom gleichzustellen:

    $-D\cdot y(t)=m\cdot a(t)$.

    Die Beschleunigung $a$ ist die zweifache zeitliche Ableitung von $y$. Wenn man nach $a$ umstellt, folgt:

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=\dfrac{-D}{m}\cdot y(t)$.

    Um die folgende Lösung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$ zu überprüfen, wird man die erste Ableitung davon bilden müssen. Sie lautet:

    $\dfrac{dy(t)}{dt}=A\cdot \cos (\omega\cdot t)\cdot\omega$, wobei $\varphi (t)=\omega\cdot t$ ist.

  • Überprüfe die Lösung der Differenzialgleichung für die harmonische Schwingung.

    Tipps

    Mit Lösung ist $y(t)=A\cdot \sin (\omega\cdot (t))$ gemeint.

    Lösung

    Wie kommt man denn nun auf diese Lösung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$? Und ist sie richtig?

    Um auf diese Lösung zu kommen, muss zuerst das Hooke'sche Gesetz und das 2. Newton'sche Axiom gleichgesetzt werden. Das wird dann nach a umgestellt.

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=-\dfrac{D}{m}\cdot y(t)$

    Dadurch erhält man die Differenzialgleichung.

    Nun leitet man die Lösung zweimal nach der Zeit ab, wobei $\varphi (t)=\omega\cdot t$ ist, da sie beide die Phase beschreiben.

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=-A\cdot \sin (\omega\cdot (t))\cdot\omega^2$

    Setzt man das dann oben ein, und setzt auch für $y(t)$ die Lösung ein, kommt nach Umstellen und Kürzen heraus:

    $\omega=\dfrac{D}{m}$.

    Das kann man dann wieder in die Gleichung der zweiten Ableitung der Lösung einsetzen und stellt fest, dass es gleich mit der Differentialgleichung am Anfang ist.

    In diesem Fall reicht es, dass man der Einfachheit halber wie vorher mit $\omega$ ableitet und dann erst für $\omega$ einsetzt. Aber das kann man nicht immer so machen.

  • Nenne Eigenschaften der Größen im mathematischen Pendel.

    Tipps

    Der Punkt über $y$ steht für die zeitliche Ableitung.

    Lösung

    Was Ableitungen von Funktionen sind, weißt du ja vielleicht schon. Bei Bewegungsgleichungen ist es im Grunde dasselbe, aber die reale Bedeutung ist dann oft folgende:

    Leitet man die Ortskoordinate $y$ einmal nach der Zeit ab, erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man das nochmal ab, wird die Beschleunigung daraus.

    Da man die meisten Bewegungen im Verlauf der Zeit betrachtet, sind ihre Ortskoordinaten zeitabhängig.

    Besonders bei Schwingungen wird oft mit Sinus und Kosinus gearbeitet.

    Sinus ist abgeleitet Kosinus, Kosinus abgeleitet ist minus Sinus und so weiter.

  • Löse die Differenzialgleichung.

    Tipps

    Schritt 1: $y(x)$ einsetzen und ableiten

    Du brauchst Ergebnisse für $\lambda$. Dazu hilft dir eine Gleichung, die du vielleicht von der Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen kennst.

    Lösung

    Da mit $y(x)$ bereits der sogenannte Exponentialansatz gegeben ist, weißt du schon wie es losgeht: nämlich, $y(x)$ einsetzen. Dafür muss es aber auch ein- und zweimal abgeleitet werden:

    $y(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}$

    $y'(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot\lambda$

    $y''(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot\lambda^2$

    Die e-Funktion ist abgeleitet immer sie selbst, nur die innere Ableitung, das $\lambda\cdot x$, ist dann noch $\lambda$. Leitet man das dann nochmal ab, hat man $\lambda^2$.

    Das kann man dann für $y$, $y'$, $y''$ einsetzen.

    $C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot(\lambda^2-4\lambda+2)$

    Der Trick ist nun, dass man mit dem natürlichen Logarithmus $ln(\lambda\cdot x)$ multipliziert. Dadurch fallen alle $e$-Terme weg und es bleibt:

    $C\cdot (\lambda^2-4\lambda+2\lambda)=0$.

    Das $C$ ist eine Konstante. Diese lässt man erstmal weg. Dann sieht das doch nach einer p-q-Formel aus.

    $\lambda_{1/2}=-\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{(\dfrac{-4}{2})^2-2}$

    $\lambda_1=2+\sqrt{2}$

    $\lambda_2=2-\sqrt{2}$

    Das bedeutet, die Lösung ist:

    $y(x)=C_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}+C_2\cdot e^{\lambda_2\cdot x}$.

    Da es zwei $\lambda$ gibt, gibt es auch zwei dazugehörige $C$. Die Lösung ist dann die Summe der Lösungen, also hier die Summe aus 2 Lösungen.