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Energie eines harmonischen Oszillators

Erfahre, wie kinetische und potenzielle Energie im Schwingungsvorgang interagieren und sich aufteilen. Entdecke, wie Energie in Bewegungspunkten verteilt ist. Interessiert? Das und mehr findest du im folgenden Text!

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Energie eines harmonischen Oszillators
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Energie eines harmonischen Oszillators Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Energie eines harmonischen Oszillators kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie sich die potentielle und die kinetische Energie beim Pendel verhalten.

    Tipps

    An einem Wendepunkt, also Scheitelpunkt, ist die Bewegungsenergie =0, da sie dort dabei ist, ihre Richtung zu ändern.

    Lösung

    Mit der harmonischen mechanischen Schwingung hast du dich bestimmt schon auseinandergesetzt, aber auf die dort herrschenden Energien bist du vielleicht noch nicht so eingegangen. Deshalb betrachten wir sie nun.

    Die Gesamtenergie ist $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}$.

    Daraus lässt sich folgern: Ist $E_{pot}$ maximal, muss $E_{kin}$ minimal sein.

    Ist das System z.B. eine Feder maximal ausgelenkt, so geht seine Bewegungsenergie auf Null, während es seine Bewegungsrichtung von z.B. oben nach unten ändert. Das ist gleichzeitig der Punkt, an dem dessen potentielle Energie maximal ist.

    Die kinetische Energie ist in der Gleichgewichtslage am größten. Da die Geschwindigkeit dort aufhört zu steigen und beginnt zu sinken. $y=0$ hat also die höchste kinetische Energie.

  • Beschreibe das t-E-Diagramm der harmonischen Schwingung.

    Tipps

    An einem Wendepunkt, also Scheitelpunkt, ist die Bewegungsenergie =0, da sie dort dabei ist, ihre Richtung zu ändern.

    Lösung

    Wie erkennt man anhand solch eines Diagramms, in welchem Zustand sich die Feder gerade befindet?

    Dazu muss man wissen, dass die potentielle Energie (blaue Linie) maximal ist, wenn das System (Feder) maximal ausgelenkt ist. Dies ist am Anfang der Schwingung der Fall.

    Die maximale Auslenkung ist an den Punkten erreicht, in denen die Pendelbewegung ihre Richtung ändert. An diesen Punkten wird die kinetische Energie gleich 0.

    Am Gleichgewichtspunkt jedoch hat die kinetische Energie (rote Linie) ihr Maximum erreicht und die potentielle demnach ihr Minimum.

  • Vervollständige die Energiegleichungen.

    Tipps

    Denke daran: Die kinetische Energie ist praktisch die Bewegungsenergie.

    Lösung

    Hier sind zwei wichtige Gleichungen, bestehend aus Größen, die du kennen solltest.

    Die wohl wichtigste Gleichung ist $E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2$. In der Mechanik und in Bewegungsgleichungen könnte dir diese Gleichung noch oft unterkommen.

    Man sieht, dass die kinetische Energie besonders von der Geschwindigkeit $v$ abhängig ist. Und eher weniger von der Masse.

    Die Gleichung für die potentielle Energie ist $E_{pot}=\frac{1}{2}\cdot k \cdot A^2$.

    Sie ist abhängig von der Amplitude $A$, also wie weit die Feder ausgelenkt wurde, und der Federkonstante $k$.

  • Leite die Gleichung für die Gesamtenergie her.

    Tipps

    Die gesamte Energie besteht aus allen Energien zusammen.

    Du siehst ja schon die Gleichung für $E_{Ges}$. Wie muss also $(\sin²(\omega +\varphi)+\cos²(\omega +\varphi))$ aussehen?

    Lösung

    Die Berechnung der Gesamtenergie fällt durch die trigonometrische Identität $(\sin^2(\omega +\varphi)+\cos^2(\omega +\varphi))=1$ zu der sehr kurzen Gleichung $E_{Ges}=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$ zusammen.

    Das Ganze beginnt, indem wir $E_{Ges}=E_{kin}+E_{pot}$ als $E_{Ges}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+\frac{1}{2}\cdot k\cdot y^2$ schreiben.

    Dabei soll $y=A\cdot\sin(\omega +\varphi)$ und v dessen Ableitung die Geschwindigkeit $v=\omega A\cdot\cos(\omega +\varphi)$ sein. $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=>\omega^2 \cdot m=k$ ist die Kreisfrequenz.

    Das eingesetzt ergibt dann die oben stehende Gesamtenergie $E_{Ges}$.

  • Wiederhole noch einmal die Eigenschaften der (harmonischen) Schwingung.

    Tipps

    Das Besondere an harmonischen Schwingungen ist, dass sie nur der treibenden und rücktreibenden Kraft ausgesetzt sind.

    Lösung

    Diese Eigenschaften sind absolut elementar für das Beschreiben von Schwingungen. Da es hier insbesondere um die harmonische geht, wiederholst du noch einmal ihre besonderen Eigenschaften.

    Harmonische Schwingungen sind ungedämpft, d.h. ihre Amplitude bleibt konstant.

    Auch die Frequenz bleibt gleich. Sie hängt nicht mit der Dämpfung zusammen. Diese mildert nämlich nur die Amplitude.

    Allgemein bewegt sich ein Oszillator um seine Gleichgewichtslage. Diese liegt standardmäßig bei $y=0$.

    Eine Periode ist eine ganze Schwingung. Die Periodendauer ist also die Zeit, die während einer ganzen Schwingung vergeht.

  • Berechne die potentielle Energie und die Gesamtenergie.

    Tipps

    Die potentielle Energie ist gegeben durch $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$.

    Für $(\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))$ gibt es eine spezielle Lösung.

    Lösung

    Die potentielle Energie ist gegeben durch $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$, das heißt, es müssen nur noch Federkonstante und Amplitude eingesetzt werden.

    $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 0,3^2=0,09$ Nm.

    Die Gesamtenergie ist $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$.

    Setzt man nun $A=y$ und $v$ als Ableitung von $y=A\cdot \sin (\omega t+\varphi )$ und formt ein wenig um, so erhalten wir

    $E_{Ges}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2\cdot (\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))$.

    Da $(\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))=1$ ist, verkürzt sich die Gleichung auf

    $E_{Ges}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2=E_{pot}$.

    Das macht auch Sinn, da $E_{Ges}$ konstant ist und bei maximaler potentieller Energie die kinetische minimal ist. Das bedeutet: An der Amplitude A, mit der wir rechnen, ist $E_{pot}$ maximal und $E_{kin}=0$. Eingesetzt in $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}$ ist $E_{Ges}=E_{pot}$.