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Erzwungene mechanische Schwingung

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Erzwungene mechanische Schwingung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Erzwungene mechanische Schwingung

Inhalt

Erzwungene mechanische Schwingung – Physik

In diesem Text wird dir die erzwungene mechanische Schwingung erklärt. Als Grundlage hierfür solltest du dich bereits mit der gedämpften mechanischen Schwingung beschäftigt haben.

Erzwungene mechanische Schwingung – Definition

Die Definition der erzwungenen mechanischen Schwingung kann man folgendermaßen formulieren:

  • Von einer erzwungenen mechanischen Schwingung spricht man, wenn ein mechanischer Oszillator, also ein Körper, der schwingen kann, von einer äußeren Kraft angeregt wird.

Ein einfaches Beispiel für eine erzwungene mechanische Schwingung ist ein Kind auf einer Schaukel, das immer wieder angestoßen wird. Da dort zwei schwingende Systeme vorhanden sind, also das Kind und die Anschwung gebenden Hände, gibt es zwei verschiedene Bezeichnungen dafür. Man nennt den Oszillator, der in Schwingung versetzt wird, den Resonator und das anregende System den Erreger.

Erzwungene mechanische Schwingung – Erklärung

In der folgenden Grafik ist ein $y$-$t$-Diagramm dargestellt, in dem der zeitliche Schwingungsverlauf des Erregers blau und der des Resonators rot eingezeichnet ist. $y$ ist die Auslenkung und $t$ gibt die Zeit an.

Erzwungene Schwingung Resonanz

Sobald der Erreger eingeschaltet ist, schwingt er immer mit der gleichen Amplitude, also der gleichen maximalen Auslenkung in $y$-Richtung. In diesem Fall betrachten wir einen Erreger, der eine periodische Bewegung ausführt. Dabei versetzt er den Resonator, wie in der Grafik gut zu erkennen ist, in eine immer stärker werdende Schwingung. Dieser Vorgang wird Einschwingvorgang genannt und er dauert so lange, bis sich die Amplitude des Resonators nicht mehr ändert und das System eingeschwungen ist. Beide Schwingungen, also die des Resonators und die des Erregers, haben die gleiche Frequenz. Die Frequenz beschreibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Wir merken uns also:

  • Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Resonator mit der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers.

Die Kreisfrequenz gibt an, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie hat das Formelzeichen $\omega$ und die Einheit $\frac{1}{\pu{s}}$. Die Amplitude $A$ des Resonators hängt von der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers ab. Diese Abhängigkeit kann in der Resonanzkurve der erzwungenen Schwingung dargestellt werden. Den genauen Zusammenhang schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Erzwungene mechanische Schwingung – Formel

Mit der Schwingungsgleichung solltest du bereits vertraut sein. Du lernst sie in unserem Video zu mechanischen Schwingungen kennen. Bei der Schwingungsgleichung handelt es sich um eine Differenzialgleichung. Die Schwingungsgleichung für den Resonator lautet:

$m\ddot{y}+\beta\dot{y}+ky = F_a \cos(\omega_at)$

Die Masse des Resonators ist gegeben durch $m$. Die Variable $\ddot{y}$ gibt seine Beschleunigung an, also die zweifache Ableitung der Auslenkung $y$ nach der Zeit. Der Koeffizient $\beta$ ist die Dämpfungskonstante, $\dot{y}$ seine Geschwindigkeit, $k$ die Federkonstante und $y$ seine Auslenkung.


Da die Schwingung erzwungen ist, steht rechts der Gleichung die äußere Kraft. Wir betrachten wieder, wie im oben genannten Beispiel, eine periodische Kraft. Diese hat eine Amplitude $F_a$ und eine Kreisfrequenz des Erregers $\omega_a$. Die Zeit ist durch die Variable $t$ gegeben. Wie diese Gleichung gelöst wird, ist in der Schule meist nicht relevant, da es ziemlich schwierig ist. Die Lösung dieser Gleichung ist dennoch wichtig und sie lautet:

$y = A \cdot \sin(\omega_at + \phi_a)$

Dabei ist $\phi_a$ die Phasenverschiebung, die sich nach dem Einschwingvorgang eingestellt hat. Diese gibt an, wie die Phasen der beiden Wellen (Schwingung des Erregers und Schwingung des Resonators) gegeneinander verschoben sind. Die Formel für die Amplitude $A$ lautet:

$A = \dfrac{F_a}{m\,\sqrt {({\omega_a}^{2}-{\omega_0}^{2})^{2}+4\,{\omega_a}^{2}\,\delta^{2}}}$

Hierbei ist ${\omega_0}$ die Eigenfrequenz des Resonators, das heißt die Frequenz, mit der der Resonator ohne Einwirken einer äußeren Kraft schwingt, und $\delta$ der Dämpfungskoeffizient, gegeben durch:

$\delta = \dfrac{\beta}{2m}$

Aus der Formel für $A$ geht hervor, dass bei gleicher Kraft $F_a$ die Amplitude umso größer wird, je kleiner die Zahl im Nenner ist. Soll die Amplitude bei einer gegebenen Pendelmasse $m$ maximiert werden, muss also der Wurzelterm minimiert werden. Wenn $\omega_a = \omega_0$ ist, hat der Wurzelterm ein Minimum. Das heißt, die Amplitude hat ein Maximum. Wir merken uns:

  • Bei einer erzwungenen mechanischen Schwingung ist die Amplitude am größten, wenn die Erregerfrequenz $\omega_a$ gleich der Eigenfrequenz des Resonators $\omega_0$ ist.

Erzwungene mechanische Schwingung – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Informationen zum Thema Erzwungene mechanische Schwingung zusammen:

  • Wird ein Oszillator (genannt Resonator) von einer äußeren Kraft (Erreger) angeregt, so führt er eine erzwungene mechanische Schwingung aus.
  • Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Resonator mit der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers, wenn es sich um eine periodische äußere Kraft handelt.
  • Die Amplitude $A$ des Resonators ist am größten, wenn die Erregerfrequenz $\omega_a$ gleich der Eigenfrequenz des Resonator $\omega_0$ ist.

Um das neu erlernte Wissen gleich anwenden zu können, gibt es zusätzlich zum Video Aufgaben und Übungen zum Thema Erzwungene mechanische Schwingung.

Transkript Erzwungene mechanische Schwingung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute wollen wir uns aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen mit der erzwungenen mechanischen Schwingung beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die gedämpfte mechanische Schwingung gesehen haben. Wir lernen heute, was eine erzwungene mechanische Schwingung ist, was dabei genau passiert und wie ihre Schwingungsgleichung plus deren Lösung aussieht und was wir daraus ableiten können. Wird ein mechanischer Oszillator, also ein Körper, der schwingen kann, von einer äußeren Kraft periodisch angeregt, so spricht man von einer erzwungenen mechanischen Schwingung. Ein einfaches Beispiel für eine erzwungene mechanische Schwingung wäre z. B. ein Kind auf einer Schaukel, das ihr immer wieder anschubst. Da wir dann ja quasi zwei schwingende Systeme haben, nämlich das Kind und die Hände, nennt man, damit man nicht durcheinander kommt, den Oszillator, den man in Schwingung versetzen will: Den Resonator und das anregende System nennt man: Den Erreger. So, dann wollen wir uns mal ansehen, was dabei genau passiert. Im Bild seht ihr ein y/t Diagramm, in dem der Erreger grün und der Resonator blau eingezeichnet ist. Sobald der Erreger eingeschaltet ist, schwingt er immer mit der gleichen Amplitude und versetzt den Resonator, wie man im Bild gut sehen kann, in immer stärkere Schwingungen. Dies nennt man den sogenannten Einschwingvorgang und der dauert so lange, bis die Amplitude des Resonators sich nicht mehr verändert und das System eingeschwungen ist. Außerdem hat die Schwingung im Resonator die gleiche Frequenz wie die Schwingung im Erreger. Wir merken uns also, nach dem Einschwingvorgang, denn während des Einschwingens muss das nicht unbedingt so sein, schwingt der Resonator immer mit der Kreisfrequenz  (Omega a) des Erregers. Durch Versuche kann ich außerdem feststellen: Die Amplitude A des Resonators hängt von der Kreisfrequenz Wa (Omega a) des Erregers ab. Aber wie genau dieser Zusammenhang ist, das wollen wir uns nun mithilfe der Schwingungsgleichung ein wenig näher ansehen. Inzwischen haben wir ja schon ein wenig mehr Übung mit der Schwingungsgleichung und deswegen können wir sie gleich schon hinschreiben: Auf der linken Seite steht wieder unsere gedämpfte Schwingung: my.. + by. + ky = (ist diesmal aber nicht null, sondern die periodische äußere Kraft und die schreiben wir hin, als) Fa ×cos (Wa ×t) Wie man diese Differenzialgleichung löst, ist ziemlich schwierig und wird normalerweise in der Schule nicht durchgenommen. Ihre Lösung lautet: y=A×sin(Wa t + phy a). Dabei ist Wa die Kreisfrequenz des Erregers und phy a ist die Phasenverschiebung, die sich nach dem Einschwingvorgang eingestellt hat. Die Formel für die Amplitude A in dieser Gleichung ist aber nun sehr kompliziert. Sie lautet: A = Fa/m×\sqrt (Wa²-Wo²)²+4Wa² Delta² Zur Erinnerung: Delta war die Dämpfungskonstante ß/2m (Masse) und Wo ist die Eigenfrequenz des Resonators, das heißt, die Frequenz, mit der der Resonator ohne Einwirkung einer äußeren Kraft schwingt. Wenn ich die Formel für A betrachte, sehe ich, will ich die Amplitude maximieren, muss ich die  Wurzel minimieren. Und ich sehe schnell, wann das der Fall ist. Wenn Wa=Wo ist, ist meine Wurzel am kleinsten, d. h. die Amplitude am größten. Wir merken uns also: Bei einer erzwungenen mechanischen Schwingung ist die Amplitude am größten, wenn die Erregerfrequenz Wa gleich der Eigenfrequenz des Resonators Wo ist: Wa=Wo Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Wird ein Oszillator (genannt Resonator) periodisch  von einer äußeren Kraft (Erreger) angeregt, so führt er eine erzwungene mechanische Schwingung aus. Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Resonator mit der Kreisfrequenz Wa des Erregers. Und wir haben an der Schwingungsgleichung gesehen: Die Amplitude A des Resonators ist am größten, wenn die Erregerfrequenz Wa gleich der Eigenfrequenz des Resonators Wo ist. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Gute Videos! Danke!

    Von Sam233, vor fast 5 Jahren
  2. echt spitze, wie immer! das einzige, was noch stark wäre, wären Übungsaufgaben.
    Ansonsten: weiter so! =)

    Von Jojoseeger, vor mehr als 8 Jahren
  3. Super Video :)

    Von Bojana Risti, vor mehr als 8 Jahren
  4. Gute Vides Kalle!
    Lass dir nichts erzählen!

    Von B Bistritz, vor mehr als 9 Jahren
  5. Bei dir lernt man voll viel.
    Skyliner ist ein noob.

    Von Silence, vor etwa 11 Jahren
Mehr Kommentare

Erzwungene mechanische Schwingung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erzwungene mechanische Schwingung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Besonderheiten der erzwungenen Schwingung an.

    Tipps

    Denke daran, dass bei einer erzwungenen Schwingung stetig Energie hinzugefügt wird.

    Lösung

    Auch diese Schwingung hat wie die gedämpfte und die harmonische Schwingung ihre Besonderheiten. Diese Schwingung hat eine Art Antrieb, wodurch sie wie eine harmonische Schwingung nicht zum Erliegen kommt und dabei sogar eine verstärkte Amplitude erhält.

    Das Ganze läuft wie folgt ab:

    Der Erreger bringt den Resonator zum Schwingen, indem er harmonisch oszilliert. Die Amplitude der Resonatorschwingung wird stetig größer bis hin zu einem Maximum, welches über der Amplitude des Erregers liegt.

  • Beschreibe das y-t-Diagramm der erzwungenen Schwingung.

    Tipps

    Der Erreger vollführt meist eine gleichmäßige und konstante Schwingung.

    Lösung

    Viele Schwingungen sind erzwungen. Ein Beispiel dafür ist ein Kind auf einer Schaukel, das jemand wiederholt anstößt.

    Die Erregerschwingung(Grün) bringt die Resonatorschwingung(Blau) zum schwingen. Dessen maximale Auslenkung (Amplitude) verstärkt sich zu einem Maximum. Dann ist die Schwingung „eingeschwungen". Erst dann kann man sicher sagen, dass die Frequenzen beider Schwingungen gleich sind.

  • Nenne die richtigen Aussagen zu erzwungenen Schwingungen.

    Tipps

    Ein elektrischer Strom ist auch eine Schwingung.

    Lösung

    Hier hast du nochmal ein paar unterschiedliche Fakten zu erzwungenen Schwingungen gelernt.

    Im Lautsprecher regt der elektrische Strom die Membran zum Schwingen an. Da ein elektrischer Strom auch eine Schwingung ist, ist er der Erreger.

    Auch der Automotor hat durch seine Unwucht die Funktion des Erregers, denn seine Schwingungen übertragen sich auf die Karosserie und bringen diese zum Schwingen.

    Eine Wasserwelle ist keine erzwungene Schwingung, sondern eine gedämpfte.

    Die Amplitude des Resonators ist insofern von der Erregerfrequenz abhängig, als dass die Amplitude immer größer wird, je ähnlicher Erregerfrequenz und Eigenfrequenz des Resonators sind.

    Die periodische äußere Kraft, also die des Erregers, ist $F_a\cos{(\omega_at)}$.

    Erzwungene Schwingungen sind oft gedämpft, aber der Erreger dient unter anderem dazu, dieser Dämpfung entgegenzuwirken.

  • Beschreibe die Lösung der Schwingungsgleichung.

    Tipps

    Der Erreger ist immer der, der die Schwingung in Gang bringt.

    Lösung

    Wie zu jeder Schwingung gibt es auch hier wieder eine Schwingungsgleichung zu lösen. Diese sieht zwar erst einmal täuschend unkompliziert aus, aber inhomogene Differenzialgleichungen sind meist schwer zu lösen.

    Aber das überspringen wir hier.

    Will man die Amplitude maximieren, so muss man den Nenner des Bruchs minimieren, also die Wurzel.

    Das ist der Fall, wenn $\omega_a=\omega_0$.

    Deshalb sind die Frequenzen nach dem Einschwingvorgang auch gleich. Da ist nämlich auch die Amplitude maximal.

  • Unterscheide zwischen erzwungenen und nicht erzwungenen Schwingungen.

    Tipps

    Eine erzwungene Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass sie erst durch eine erregende Schwingung beginnt zu schwingen.

    Lösung

    Allerlei Schwingungen sind erzwungen, viele aber auch nicht.

    Selbst das Trommelfell des Ohres wird durch Schall zum Schwingen angeregt.

    Aber auch das Angestoßen werden auf der Schaukel ist eine erzwungene Schwingung, denn der Schaukel wird periodisch Energie hinzugefügt, sodass man immer höher schwingt.

  • Berechne die Eigenfrequenz der Brücke.

    Tipps

    Da die Brücke so stark ins Schwingen geriet, war die Amplitude der erzwungenen Schwingung wohl maximal. Die Erregerfrequenz war also gleich der Eigenfrequenz. Daher kannst du die Erregerfrequenz (die Soldaten) berechnen und kennst die Eigenfrequenz.

    Versuche zuerst zu berechnen, wie viele Schritte pro Sekunde gemacht werden.

    Lösung

    Durch solch eine Resonanz kam 1831 tatsächlich einmal eine Brücke in England zum Einsturz, als 74 britische Soldaten sie überqueren wollten.

    Zunächst musst du die Schritte pro Sekunde berechnen. Das ist dann deine Periodendauer $T$.

    $T=\dfrac{t}{N}=\dfrac{120~s}{250}=\dfrac{12}{25}~s$

    $N$ ist dabei die Anzahl der Schritte.

    Nun ist dir vielleicht bekannt, dass $f=\dfrac{1}{T}$ ist.

    $f=\dfrac{1}{\dfrac{12}{25}}=2,1~Hz$

    $Hz$ ist die Einheit Herz und ist $\dfrac{1}{Sekunde}$.

    Die Eigenfrequenz der Brücke ist also $f=2,1~Hz$.

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