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Mechanische Schwingungen und Wellen

Eigenschaften und Größen einer Schwingung und Welle sowie ihre mathematische Beschreibung durch Differentialgleichungen

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Themenübersicht in Mechanische Schwingungen und Wellen

Eigenschaften der mechanischen Schwingung

Was haben Uhren und Gitarren gemeinsam? Sie funktionieren beide nur durch einen schwingenden Körper. Bei der Gitarre sind es die Saiten, die einen Ton erzeugen, bei der Uhr ist es ein Pendel oder ein schwingendes Rad, das den Zeiger antreibt.

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Während einer Schwingung wird ein Körper zunächst aus seiner Ruhelage bzw. Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Anschließend schwingt er zeitlich periodisch hin und her, angetrieben durch eine rücktreibende Kraft: Beim Pendel einer Uhr ist dies die Schwerkraft, bei der Gitarrensaite hingegen die Spannkraft der Saite. Die Auslenkung führt einem Schwinger Energie zu, die während des Schwingens zwar umgewandelt wird, aber stets konstant bleibt. Die Energieerhaltung gilt damit natürlich auch bei einer mechanischen Schwingung. Eine Besonderheit der Schwingungen ist die Resonanz. Mechanische Schwingungen werden zudem in harmonische und unharmonische Schwingungen aufgeteilt. Außerdem unterscheidet man erzwungene Schwingungen von freien Schwingungen.

Beim Schaukeln kommen all diese Dinge vor: Zunächst wendest du Kraft auf, um ins Schaukeln zu kommen (die Schwingung anzuregen). Anschließend schwingst du mit dieser Energie immer wieder vor und zurück. Da du der Luftreibung ausgesetzt bist, ist deine Schwingung gedämpft und du schaukelst immer weniger hoch. Um dies zu vermeiden, musst du dir mit den Füßen neuen Schwung geben, indem du dich am Boden abstößt. Dies wäre eine erzwungene Schwingung, da du der Schwingung periodisch Energie zuführst. Du wärst dabei der Erreger und die Schaukel zusammen mit dir der Resonator.

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Wenn du das Schaukeln mathematisch betrachten willst, dann musst du eine Differenzialgleichung der mechanischen Schwingung aufstellen. Diese Art von Gleichungen werden, wenn überhaupt, erst am Ende deiner Schulzeit behandelt.

In normalen Gleichungen tauchen Variablen auf, die es zu bestimmen gilt und die einen bestimmten Wert haben. In Differentialgleichungen sind diese Variablen aber Funktionen. Im Beispiel der mechanischen Schwingung benötigst du zum einen die Auslenkung, die die rücktreibende Kraft bestimmt. Zum anderen gibt es eine Reibung, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Auslenkung. Zu guter Letzt ist nach den Newtonschen Axiomen eine Kraft immer proportional zur Beschleunigung, die die zweite Ableitung der Auslenkung ist. Die Variablen dieser Differentialgleichung sind also eine Funktion der Auslenkung und ihre Ableitungen. Dies ist tatsächlich etwas schwerer als normale Gleichungen, aber trotzdem lösbar. Das Schöne ist: Wenn du es einmal verstanden hast, kannst du jede Schwingung beschreiben: die einer Feder, aber auch die eines Atoms.

Mechanische Wellen

Nun solltest du die mechanischen Schwingungen und ihre wichtigsten Größen wie Schwingdauer, Frequenz und Amplitude verstanden haben. Stell dir nun vor, dass mehrere schwingende Körper durch eine Kraft miteinander verbunden sind. Diese Kraft kann ein Gummiband bei Federpendeln sein, aber auch die elektromagnetische Anziehung mehrerer Atome. Die Schwinger werden dann mit zeitlicher Verzögerung nach und nach alle zum Schwingen angeregt. Schließlich schwingen alle Körper mit der gleichen Frequenz, aber in unterschiedlichen Phasen. Dies nennt man eine mechanische Welle, also die räumliche Ausbreitung einer mechanischen Schwingung. Im Thema mechanische Wellen werden deren Eigenschaften behandelt.

Beispiele für mechanische Wellen sind Schallwellen, die in der Akustik ausgiebig behandelt werden, aber auch Wasserwellen. Während die einzelnen Schwinger zeitlich periodisch schwingen, ist die Welle als Ganzes zusätzlich räumlich periodisch: Wellenberge und Wellentäler wechseln sich regelmäßig ab. Bei Schallwellen sind die Höhe und die Häufigkeit der Berge und Täler verantwortlich für die Tonhöhe und die Lautstärke.

Im Alltag sind elektromagnetische Wellen von großer Bedeutung: Ohne sie kannst du kein fernsehen, nicht telefonieren und dein Navigationsgerät würde auch nicht mehr funktionieren. Diese Wellen sind allerdings keine mechanischen Wellen und haben eine größere Ausbreitungsgeschwindigkeit und kleinere Wellenlängen. Trotzdem gehorchen sie mathematisch gesehen den gleichen Gesetzen. Demnach legst du auch mit dem Verständnis für mechanische Wellen den Grundstein für viele weitere kompliziertere physikalische Phänomene.

Wie bei den Schwingungen kannst du auch Differenzialgleichungen der mechanischen Wellen herleiten und damit die Phänomene Beugung, Brechung, Reflexion und Interferenz berechnen.