Aufgaben zum Federpendel

Aufgaben zum Federpendel Übung

• Beschreibe, wie man die Periodendauer eines Federpendels berechnet.

  Tipps

  Die Periodendauer einer Schwingung ist proportional zu dem Quotienten von Masse und Federkonstante.

  Eine ganze Schwingung entspricht einem Winkel von $2\pi$.

  Lösung

  Die gezeigte Formel ist die Formel zur Berechnung der Periodendauer einer Federpendels.

  Hierbei gibt $T$ die Periodendauer an.
  Das ist die Zeit, die das Pendel für eine Schwingung benötigt.

  $m$ steht für die Masse, die an dem Federpendel hängt.

  $D$ steht für die Federkonstante. Diese ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Das Hookesche Gesetz lautet: $F = D \cdot y$. Es besagt: Die auf die Masse $m$ wirkende Federkraft $F$ ist proportional zur Auslenkung $y$. Die Auslenkung entspricht also dem zurückgelegten Weg.

• Beschreibe, wie man mit einem Federpendel eine Uhr baut.

  Tipps

  Es muss zuerst die Federkonstante $D$ bestimmt werden, wenn diese danach zur Berechnung weiterer Größen genutzt werden soll.

  Wenn das Pendel eine Schwingung pro Sekunde macht, ist die Periodendauer $T= 1 ~ s$.

  Zuerst legt man die gegebenen Größen und den Aufbau fest. Anschließend werden fehlende Größen berechnet.

  Lösung

  Zuerst überlegt man sich, was gegeben ist und was gesucht ist. Dies kann aus der Aufgabenstellung entnommen werden.

  Da man ein Maßband hat, kann man also etwas messen. Mit der Flasche Wasser kann man eine Masse bestimmen. Denn ein Liter Wasser wiegt ein Kilogramm. Das Gummi dient später als Feder. Diese Feder soll mit einer Periodendauer $T=1 ~s$ schwingen. Die Periodendauer gibt nämlich an, wie lange das Pendel für eine Schwingung braucht.

  Gesucht ist am Ende das Gewicht, welches an das Federpendel gehängt werden muss, damit $T=1 ~s$ folgt.

  Es gibt nun eine Formel, die beide Großen enthält. In der Formel für die Periodendauer eines Federpendels sind Periodendauer und Masse enthalten.
  Bei Betrachtung der Formel fällt auf, dass noch eine Größe nicht gegeben ist:
  $T=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$.

  Diese muss also zuerst berechnet werden.
  Nun folgt wieder die Überlegung: Mit welcher Formel kann man die Federkonstante $D$ berechnen?
  Hier hilft das Hookesche Gesetz. Dort gilt:
  $D=\frac{F}{y}$.
  Die Kraft, die auf das Gummi wirkt, kann mit dem Liter Wasser bestimmt werden. Die Auslenkung kann gemessen werden.

  Hat man die Federkonstante berechnet, muss nur noch die Formel für die Periodendauer nach der Masse umgestellt werden.

  $\begin{align} && T&=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} &|& \div (2\cdot \pi) \\ &\leftrightarrow& \frac{T}{2\cdot\pi} &= \sqrt{\frac{m}{D}} &|& ()^2 \\ &\leftrightarrow& \frac{T^2}{4\cdot\pi^2} &= \frac{m}{D} &|& \cdot D \\ &\leftrightarrow& \frac{T^2}{4\cdot\pi^2} \cdot D &= m \end{align}$.

  Hier müssen nur noch die gegebenen und gemessenen Werte eingesetzt werden.

• Erkläre, wie sich zwei verschiedene Federpendel im Vergleich zueinander verhalten.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Periodendauer eines Federpendels kann dir helfen, die Aussagen zu überprüfen.

  Die Formel zur Berechnung der Periodendauer gibt an, wie sich Veränderungen der Variablen auf das Ergebnis auswirken.

  Faktoren, die in einer Formel nicht vorkommen, haben keinen Einfluss auf das Ergebnis. Wird die Amplitude des Federpendels bei der Berechnung der Periodendauer benötigt?

  Ein Bruch wird größer, wenn sein Zähler vergrößert wird, und er wird kleiner, wenn sein Nenner vergrößert wird. Wie verändert sich $T$ dann, wenn $D$ vergrößert wird?

  Lösung

  Mit der Formel zur Berechnung der Periodendauer eines Federpendels können alle Aussagen überprüft werden.

  Wenn eine Variable in der Formel nicht vorkommt, so wird sie nicht zur Berechnung der Periodendauer benötigt.
  Das heißt, sie nimmt auch keinen Einfluss darauf, wenn sie verändert wird.
  Die Auslenkung spielt deswegen keine Rolle bei der Berechnung der Periodendauer.

  Um die Veränderung durch die anderen Variablen zu bestimmen, muss nur der Bruch $\frac{m}{D}$ betrachtet werden.

  Wenn bei einem Bruch $\frac{Zähler}{Nenner}$ der Nenner vergrößert wird, so verkleinert sich der gesamte Bruch. Das ist leicht an einem Beispiel ersichtlich:
  $\frac{1}{10}=0,1$ ist größer als $\frac{1}{100}=0,01$.
  Wird dagegen der Zähler vergrößert, so vergrößert sich der Bruch.

  Wenn bei fester Masse also die Federkonstante größer wird, wird die Periodendauer kleiner.

  Wenn bei fester Federkonstante die Masse vergrößert wird, wird die Periodendauer größer.

  Dies gilt umgekehrt, wenn Masse oder Federkonstante verkleinert werden.

• Berechne den Phasenwinkel des Federpendels.

  Tipps

  Mit dieser Formel kann man den Winkel $\varphi (t)$ berechnen.

  Es interessiert dich nur der Winkel am Ende. Dazu müssen alle ganzen Schwingungen herausgefiltert werden.

  Wenn du den Phasenwinkel in die Anzahl der Schwingungen umrechnest, kannst du den interessanten Anteil leicht herausfinden.

  Du musst die herausgefundene Teilschwingung wieder in einen Phasenwinkel umrechnen.

  Die Amplitude entspricht dem Radius des Kreises. Wie groß muss der Radius dann sein?

  Lösung

  Genutzt wird die Formel $\varphi (t) = \omega \cdot t + \varphi_0$.

  Mit den Werten $\omega =10\pi ~ Hz=10 \pi ~ \frac{1}{s}$, $t= 4 ~s $ und $\varphi_0=\frac{3}{4}\pi$ folgt
  $\begin{align} \varphi(4~s) &= 10\pi ~ \frac{1}{s} \cdot 4 ~ s + \frac{3}{4}\pi \\ &= 40\pi+ \frac{3}{4}\pi \\ &=40,75 \pi \end{align}$

  Insgesamt wird somit ein Winkel von $40,75 \pi$ zurückgelegt. Wichtig ist aber nur der Winkel, der übrig bleibt, wenn alle ganzen Schwingungen abgezogen werden.

  Es wird berechnet, wie viele Schwingungen gemacht wurden:
  Eine Schwingung entspricht $2\pi$, deswegen teilt man den berechneten Winkel durch $2\pi$.

  $\frac{40,75 \pi}{2 \pi}= 20,375 $

  Es wurden in $5 ~ s $ also 20,375 Schwingungen gemacht.
  Für das Zeigerdiagramm ist nur die Zahl hinter dem Komma wichtig. Alle ganzen Umdrehungen werden weggelassen und es bleiben 0,375 Umdrehungen.
  Das ist eine $\frac{3}{8}$ Umdrehung.

  Diese muss noch wieder in den Phasenwinkel umgerechnet werden. Dazu wird wieder mit $2\pi$ multipliziert.
  Es folgt
  $0,375 \cdot 2\pi = \frac{3}{8} \cdot 2\pi = \frac{6}{8} \pi = \frac{3}{4} \pi$.

  Dies ist der gesuchte Winkel $\varphi (4~s)=\frac{3}{4} \pi$.
  Dieser muss nun noch in das Zeigerdiagramm eingetragen werden.

  Es gibt im Bogenmaß einige Winkel, die leicht zu merken sind. Diese sind in der Skizze eingezeichnet.
  Wenn man sich einen Kreis in acht Abschnitte von je $45°$ aufteilt, dann kann man die wichtigsten Winkel in Bogenmaß ablesen.
  Ein Kreis hat insgesamt $360°$ in Grad und in Bogenmaß $2\pi$. Teilt man dies durch acht, ergeben sich Teilschritte von $45°$ oder $\frac{1}{4}\pi$.

  Somit folgt $45°=\frac{1}{4}\pi$, $90°=\frac{2}{4}\pi=\frac{\pi}{2}$,...

  Es gibt auch eine Formel zum Umrechnen von Bogenmaß in Grad. Wenn man einen Winkel $\varphi$ in Bogenmaß in einen Winkel $\alpha$ in Grad umrechnen möchte, ergibt sich:
  $\alpha ° = \frac{360°}{2\pi} \cdot \varphi$.

  Damit folgt für $\varphi=\frac{3}{4}\pi$, dann
  $\alpha ° = \frac{360°}{2\pi} \cdot \frac{3}{4}\pi = 135 °$.

  Zu beachten ist bei der Aufgabe noch, den richtigen Radius zu wählen. Die Amplitude entspricht dem Radius des Kreises und muss damit 30 cm sein.

• Beschreibe das Zeigerdiagramm eines Federpendels.

  Tipps

  Der Kreis gibt die Schwingung an. Was gibt dann der Radius an?

  Der Radius gibt die maximale Auslenkung an.

  Die momentane Auslenkung hängt vom Winkel ab.

  Lösung

  Beim Zeigerdiagramm wird der Winkel im Bogenmaß beschrieben. Wenn man von einem Winkel $\alpha$ in Grad in den Winkel $\phi$ in Bogenmaß umrechnen möchte, muss man
  $\alpha °\cdot \frac {2\pi}{360°} = \Phi $
  rechnen.

  Man kann an einer Skizze einige Winkel leicht ablesen.
  Wenn man sich einen Kreis in acht Abschnitte von je $45°$ aufteilt, dann kann man die wichtigsten Winkel im Bogenmaß ablesen.
  Ein Kreis hat insgesamt $360°$ in Grad und in Bogenmaß $2\pi$. Teilt man dies durch acht, ergeben sich Teilschritte von $45°$ oder $\frac{1}{4}\pi$.

  Somit folgt $45°=\frac{1}{4}\pi$, $90°=\frac{2}{4}\pi=\frac{\pi}{2}$,...

  Die maximale Auslenkung entspricht der Amplitude und in der Zeichnung dem Radius.
  Die momentane Auslenkung gibt den y-Wert zu dem entsprechenden Winkel an.
  Man zeichnet dazu den Winkel ein und eine Gerade bis zum Kreis. An der Stelle, wo die Gerade auf den Kreis trifft, misst man horizontal in Richtung der y-Achse. Dort kann die momentane Auslenkung abgelesen werden.

• Berechne das Gewicht des Federpendels.

  Tipps

  Achte darauf, in welcher Einheit das Ergebnis angegeben ist. Man kann eine Masse in Gramm oder Kilogramm angeben.

  Formeln müssen richtig umgestellt werden.

  Wenn ein Federpendel pro Sekunde eine halbe Schwingung macht. In wie vielen Sekunden macht es dann eine ganz Schwingung?

  Lösung

  Es sind zwei Federpendel gegeben, deswegen sollten sie zur Unterscheidung benannt werden.
  Ansonsten ist später nicht klar, welche Masse zu welcher Periodendauer gehört.
  Die Federpendel können nummeriert werden, aber auch anders benannt werden. Zum Beispiel mit den Buchstaben a und b.

  Die gegebenen Größen können aus dem Eingangstext herausgelesen werden. Zu bedenken ist hierbei, das $T$ die Periodendauer angibt.
  Das ist die Zeit, in der das Pendel eine ganze Schwingung macht.

  Wenn ein Pendel also eine halbe Schwingung pro Sekunde macht, dann braucht es $2 ~s$ für eine ganze Schwingung.
  Also ist $T=2 ~ s$.

  Eine weitere Schwierigkeit ist das richtige Umstellen der Formel. Es gilt für das Umstellen nach der Federkonstante* $D$

  $\begin{align} && T &=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} &|& ()^2 \\ &\Leftrightarrow& T^2 &= 4\cdot\pi^2 \cdot \frac{m}{D} &|& \cdot D \\ &\Leftrightarrow& T^2 \cdot D &= 4 \cdot \pi^2 \cdot m &|& \div T^2 \\ &\Leftrightarrow& D &= \frac{4\cdot \pi^2}{T^2} \cdot m \end{align}$

  Ausgehend von diesem Ergebnis kann weiter nach der **Masse $m$ umgestellt werden:

  $\begin{align} && D &= \frac{4\cdot \pi^2}{T^2} \cdot m &|& \cdot T^2\\ &\Leftrightarrow& D \cdot T^2 &= 4\cdot \pi^2 \cdot m &|& \div (4\cdot \pi^2) \\ &\Leftrightarrow& D \cdot \frac{T^2}{4\cdot\pi^2} &= m \end{align}$.

  Am Ende ist noch zu beachten, dass die Lösung in Kilogramm und nicht in Gramm angegeben wird.