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Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Du hast bestimmt schon einmal gehört, wenn jemand gesagt hat, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass es morgen regnet. Was versteht man in der Mathematik unter Wahrscheinlichkeiten?

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Themenübersicht in Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Absolute und relative Häufigkeit

Betrachte das Zufallsexperiment „Werfen einer Münze“. Auf der einen Seite der Münze befindet sich „Kopf“ (oder auch Wappen) und auf der anderen „Zahl“.

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Du kannst nun diese Münze zum Beispiel zehnmal werfen und notieren, wie oft „Zahl“ oben liegt. Die entsprechende Anzahl ist die absolute Häufigkeit für das Eintreten des Ergebnisses „Zahl“. Die Zahl kann in dem Beispiel zwischen $0$ und $10$ Male oben liegen. Dividierst du die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Würfe, erhältst du die relative Häufigkeit für das Eintreten des Ergebnisses. Deshalb ist die relative Häufigkeit eine Dezimalzahl, die zwischen $0$ und $1$ liegt. Dabei kann sie auch $0$ oder $1$ selbst sein. Die relative Häufigkeit kann auch in Prozent ($\%$) angegeben werden.

Die relative Häufigkeit hängt eng mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit zusammen. Wenn du eine Münze „unendlich oft“ wirfst und dir immer notierst, was oben liegt, werden sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse bei einer festen Zahl einpendeln. Diese Zahl entspricht der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ergebnisses: Je häufiger ein Zufallsexperiment durchgeführt wird, desto genauer stimmen die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit überein.

Dies ist das empirische Gesetz der großen Zahlen.

Wahrscheinlichkeiten

Die Ausgänge eines Zufallsexperiments werden als Ergebnisse bezeichnet. Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung $P$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, die im Intervall $[0;1]$ liegt. Diese Zahl ist die Wahrscheinlichkeit. Dabei muss unter anderem gelten, dass sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse zu $1$ summieren.

Die Menge aller Ergebnisse wird mit $\Omega$ (Omega) bezeichnet. Man nennt diese Menge auch Ergebnismenge. Im Folgenden werden zwei besondere Wahrscheinlichkeiten festgehalten:

  • Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des unmöglichen Ereignisses $\emptyset$ ist $P(\emptyset)=0$.
  • Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des sicheren Ereignisses $\Omega$, der Ergebnismenge, ist $P(\Omega)=1$.

Ergebnis und Ereignis

Wie bereits erwähnt ist ein Ergebnis ein Ausgang eines Zufallsexperiments und somit ein Element aus $\Omega$. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von $\Omega$. Es kann mehrere Ergebnisse beinhalten.

Zu jedem Ereignis $E$ gibt es ein Gegenereignis $\overline{E}$. In dem Gegenereignis befinden sich alle Ergebnisse aus der Ergebnismenge, die sich nicht in $E$ befinden. Es gilt $P(E)+P(\overline{E})=1$. Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{E})$ wird Gegenwahrscheinlichkeit genannt und es gilt $P(\overline{E})=1-P(E)$.

Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ keine gemeinsamen Ergebnisse enthalten, heißen die Ereignisse (Mengen) disjunkt. Es gilt also $A\cap B=\emptyset$. Du kannst dann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des verknüpften Ereignisses $A\cap B$ mit Hilfe der Summenregel berechnen:

$P(A\cap B)=P(A)+P(B)$

.

Es gibt viele weitere Anwendungsaufgaben zu Häufigkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten wie das Werfen mit einem Würfel, das Drehen eines Glücksrades usw.

Laplace-Experimente

Laplace-Experimente sind Zufallsexperimente, bei denen die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Ergebnisse gleich groß sind. Sei $n$ die Anzahl der möglichen Ergebnisse, dann gilt $P(e)=\frac1n$ für jedes Ergebnis $e$.

Anwendungsbeispiele für Laplace Experimente sind das Werfen einer perfekten Münze oder das Würfeln mit einem perfekten Würfel. Man spricht dann auch von einer „Laplace-Münze“ oder von einem „Laplace-Würfel“.

Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit der Laplace-Formel berechnen:

$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\dfrac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r }E \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$

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