Wachstum – Wertetabellen von Wachstumsfunktionen

Wachstum – Wertetabellen von Wachstumsfunktionen Übung

• Schildere, wie du beim Finden der Funktionsgleichung anhand einer Wertetabelle vorgehst.

  Tipps

  Beachte, dass bei linearem Wachstum die Differenz eines Wertes und seines Vorgängers jeweils gleich sein muss. Wie ist es beim exponentiellem Wachstum?

  Versuche auch die allgemeine Funktionsgleichung im Hinterkopf zu behalten und überlege, für was die einzelnen Buchstaben stehen.

  Die allgemeine Gleichung lautet $f(x)=b\cdot a^x$.

  Lösung

  Wir betrachten die Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 0{,}5 & 1 & 2& 4& 8\ \end{array}$

  und wollen bestimmen, welche Funktionsgleichung dazugehört.

  Wir fragen uns als erstes, welche Art von Wachstum vorliegt.

  • Jede Art des Wachstums braucht eine andere Herangehensweise. Deshalb ist es so wichtig vorher festzustellen um welche Art es sich handelt.

  Wir prüfen zuerst auf exponentielles Wachstum. Es zeichnet sich dadurch aus, dass der Bestand pro Zeiteinheit mit dem selben Faktor multipliziert wird. Wir überprüfen, indem wir den Quotienten aus jedem Funktionswert und seinem Vorgänger bilden.

  • Beim exponentielles Wachstum erhöht sich die Potenz bei jedem Schritt. Es wird also immer ein neuer Faktor dazu multipliziert. Wenn wir nun diesen Faktor herausfinden möchten, können wir einfach einen y-Wert durch seinen Vorgänger teilen. Wir sehen das an dieser Gleichung $y_1 \cdot a=y_2$. Der Faktor wird hier mit a bezeichnet. Wir sehen, dass wir den Faktor durch das Umstellen der Gleichung ausrechnen können. Die Gleichung $y_1\cdot a =y_2$ multiplizieren wir mit a und dividieren mit $y_2$ und erhalten so $a=y_2 : y_1 = \frac {y_2}{y_1}$. Auch alle anderen Quotienten aufeinanderfolgender y-Werte sind jeweils gleich. Es liegt also exponentielles Wachstum vor.

  Das Ergebnis für diesen Wachstumsfaktor ist 2.

  • Wir nennen diesen Faktor auch Wachstumsfaktor, vorausgesetzt die Funktion steigt, sonst wird der Faktor auch Abnahmefaktor genannt. Wir rechnen ihn aus, indem wir jeden y-Wert durch seinen Vorgänger teilen. Wir nehmen zum Beispiel die Wert von $y_4=8$ und teilen ihn mit $y_3=4$. Wir erhalten so $y_4 : y_3 = 8:4=2$. Das gleiche Ergebnis kommt auch für die anderen Quotienten heraus. Damit ist 2 der Wachstumsfaktor.

  Man muss drauf achten, dass alle Quotienten gleich sind.

  • Dieser Schritt ist sehr wichtig. In einer solchen Wertetabelle müssen wir immer alle Quotienten ausrechnen. Denn es liegt kein exponentielles Wachstum mehr vor, falls auch nur ein Faktor anders ist. Auch hier sollten wir alle y-Werte durch ihre jeweiligen Vorgänger teilen, falls sie einen Vorgänger haben.

  Den Anfangswert lesen wir bei $x=0$ ab. Er ist somit 0,5.

  • Bei $x=0$ finden wir den Anfangswert. Er gibt an, an welcher Stelle die Funktion die y-Achse schneidet. Wir lesen aus der Wertetabelle den Anfangswert ab, indem wir schauen, welchen Wert y bei $x=0$ hat. Es ist hier 0,5.

  Die fertige Funktionsgleichung ist also $\boldsymbol{f(x)=0{,}5\cdot 2^x}$.

  • Wir setzen die Funktionsgleichung aus den Werten zusammen, die wir gefunden haben. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=b\cdot a^x$. Hierbei ist das b der Anfangswert und das a der Wachstumsfaktor. Wir setzen also ein und erhalten $f(x)=0{,}5\cdot 2^x$.

• Bestimme die richtige Funktionsgleichung.

  Tipps

  Vergiss nicht die Reihenfolge:

  1. Überprüfe, ob exponentielles oder lineares Wachstum vorliegt.
  2. Bestimme die Kenngrößen. Was ist der Anfangswert? Wie wächst oder fällt die Funktion?
  3. Stelle die Funktiongleichung auf.

  Beachte: Manchmal kann keine Aussage getroffen werden, da keine Wachstumsfunktion vorliegt.

  Die allgemeine Gleichung für exponentielles Wachstum lautet $f(x)=b \cdot a^x$.

  Die allgemeine Gleichung für lineares Wachstum lautet $f(x)=m\cdot x+n$.

  Bei linearem Wachstum liegt Differenzengleichheit und bei exponentiellem Wachstum haben wir Quotientengleichheit.

  Setze in die angegebenen Funktionen verschiedene x-Werte ein und bestimme die y-Werte. Prüfe, ob die y-Werte mit denen aus der Wertetabelle übereinstimmen.

  Lösung

  Wir betrachten die Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 4 & 6 & 8& 10& 12\\ \end{array}$

  und wollen die Funktionsgleichung bestimmen.

  Wir prüfen wieder auf exponentielles Wachstum, indem wir die Quotienten zwischen den Funktionswerten und ihren Vorgängern bilden. Wenn exponentielles Wachstum vorliegt, müssen diese Quotienten der y-Werte immer komplett gleich sein. Gibt es auch nur einen Quotienten der abweicht, liegt kein exponentielles Wachstum mehr vor.

  Wir sehen für $y_4=12$ und $y_3=10$ ist der Quotient noch $12 : 10=1{,}2$, jedoch ist für $y_3=10$ und $y_2=8$ der Quotient $10 : 8=1{,}25$.

  Somit liegt kein exponentielles Wachstum vor und wir testen auf lineares Wachstum. Falls allgemein kein exponentielles Wachstum vorliegt, können wir immer noch auf lineares Wachstum testen. Wenn eine Wertetabelle vorliegt, können wir auch beim linearen Wachstum auf eine Funktionsgleichung schließen.

  Bei linearem Wachstum steigt die Funktion immer um den gleichen Wert. Wir bilden also jetzt die Differenzen zwischen jedem Funktionswert und seinem Vorgänger. Auch diese Differenzen zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern müssen gleich sein. Haben wir hier auch nur zwei unterschiedliche Differenzen, liegt kein lineares Wachstum vor.

  Wir rechnen also

  $y_4 - y_3 = 12 - 10 = 2 \\ y_3 - y_2=10-8=2 \\ y_2- y_1 = 8-6=2 \\ y_1-y_0=6-4=2$

  Wir sehen also das die Differenzen zwischen jedem y-Wert und seinem Vorgänger gleich 2 sind. Damit liegt lineares Wachstum vor.

  Die Differenzen beschreiben auch direkt die Steigung in der Funktionsgleichung.

  Den Anfangswert lesen wir in der Wertetabelle bei $x=0$ ab, er ist hier 4. Der Anfangswert beschreibt, ob die Funktion auf der y-Achse verschoben ist, also wo die y-Achse geschnitten wird. Wir sehen uns also den y-Wert bei $x=0$ an und stellen fest, dass er hier 4 ist.

  Nun müssen wir die gefundenen Werte nur noch in die allgemeine Gleichung $f(x)=m\cdot x +n$ eintragen und so die Funktionsgleichung aufstellen. Das m steht hier für die Steigung und das n für die Verschiebung auf der y-Achse. Die fertige Formel lautet dann also $f(x)=2\cdot x+4 $.

  Die vierte Gleichung war also richtig.

• Prüfe, ob die Funktionsgleichen zu den Wertetabellen passen.

  Tipps

  Das Vorgehen ist immer gleich:

  1. Teste, ob es sich um exponentielles oder lineares Wachstum handelt.
  2. Finde den Wachstumsfaktor bzw. die Steigung.
  3. Suche nach dem Anfangswert bzw. dem y-Achsenabschnitt.
  4. Stelle die Funktionsgleichung mit diesen gefundenen Variablen auf.

  Bei exponentiellem Wachstum müssen die Quotienten zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern immer gleich sein.

  Bei linearem Wachstum müssen die Differenzen zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern gleich sein.

  Alternativ kannst du die x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die y-Werte aus der Tabelle korrekt sind.

  Lösung

  Wir rechnen die Formeln der einzelnen Wertetabellen nacheinander aus.

  Erste Wertetabelle: $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 2 & 4 & 8& 16& 32\\ \end{array}$

  Wir überprüfen zuerst, ob wirklich exponentiellen Wachstum vorliegt. Hierzu bilden wir zuerst von jedem y-Wert den Quotienten mit seinem Vorgänger. Wir sehen so

  $ y_4 : y_3 =32 : 16 = 2 \\ y_3 : y_2 =16 : 8 = 2\\ y_2 : y_1 =8 : 4 =2\\ y_1 : y_0=4 : 2 =2 $.

  Der Quotient ist also immer gleich. Es liegt also exponentielles Wachstum vor. Dieser Quotient ist auch direkt der Wachstumsfaktor. In der allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=b \cdot a^x$ kennen wir also schon a.

  Den Anfangswert lesen wir einfach in der Wertetabelle ab. Es ist der y-Wert bei $x=0$; hier also auch 2.

  Wir setzen die komplette Gleichung zusammen: $f(x)=b \cdot a^x = 2\cdot2^x$. Die gegebene Gleichung war also richtig.

  Zweite Wertetabelle: $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 1 & 4 & 16& 64& 256\\ \end{array}$

  Wir testen wieder, ob exponentielles Wachstum vorliegt. Dazu ermitteln wir wieder die Quotienten der einzelnen y-Werte mit ihren jeweiligen Vorgängern. Wir rechnen also

  $ y_4 : y_3 = 256 : 64=4 \\ y_3 : y_2 =64 : 16=4\\ y_2 : y_1 =16 : 4=4\\ y_1 : y_0=4 : 1=4 $.

  Der Quotient ist immer gleich. Somit liegt exponentielles Wachstum vor. Der Quotient ist direkt wieder unser Wachstumsfaktor.

  Uns fehlt noch der Anfangswert, den wir bei $x=0$ ablesen. Wir schauen in die Wertetabelle und sehen, dass bei $x=0$ der y-Wert gleich 1 ist.

  Nun müssen wir die Funktionsgleichung nur noch zusammensetzen: $f(x)=1\cdot4^x=4^x$. Die gegebene Gleichung war also richtig.

  Dritte Wertetabelle: $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 100 & 50 & 25& 12{,}5& 6{,}25\\ \end{array}$

  Wir überprüfen die Wertetabelle auf exponentielles Wachstum. Wir rechnen dazu wieder die einzelnen Quotienten aus

  $ y_4 : y_3 = 6{,}25 : 12{,}5=\frac{1}{2} \\ y_3 : y_2 =12{,}5 : 25=\frac{1}{2}\\ y_2 : y_1 =25 : 50=\frac{1}{2}\\ y_1 : y_0=50 : 100=\frac{1}{2} $.

  Da der Quotient immer $\frac{1}{2}$ ist, liegt wieder exponentielles Wachstum vor.

  Wir lesen den Anfangswert wieder in der Wertetabelle bei $x=0$ ab. Er ist hier 100.

  Nun müssen wir nur noch die Funktionsformel zusammensetzen: $f(x)=100\cdot (\frac{1}{2})^x$. Die angegebene Gleichung war also falsch.

  Vierte Wertetabelle: $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 162 & 54 & 16& 6& 2\\ \end{array}$

  Wir überprüfen zunächst wieder auf exponentielles Wachstum, dazu bilden wir die Quotienten

  $ y_4 : y_3 = 2 : 6=\frac{1}{3} \\ y_3 : y_2 =6 : 16=\frac{3}{8} $.

  Nun haben wir aber schon zwei Quotienten gefunden, welche nicht gleich sind.

  Wir können die Wertetabelle noch auf lineares Wachstum untersuchen. Dazu müssten alle Differenzen zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern gleich sein. Wir rechnen also

  $y_4 - y_3=2-6= -4 \\ y_3-y_2=6-16=-10$.

  Also auch diese Differenzen sind unterschiedlich. Somit liegt auch kein lineares Wachstum vor. Wenn jedoch weder exponentielles noch lineares Wachstum vorliegt, können wir keine Rückschlüsse auf eine Funktionsgleichung ziehen. Wir können also keine Gleichung ermitteln und sind damit zu diesem Zeitpunkt schon am Ende. Die angegebene Gleichung war also falsch.

• Bestimme die Funktionsgleichungen anhand ihrer Wertetabellen.

  Tipps

  Die allgemeine Formel für Exponentialfunktionen ist $f(x)=b \cdot a^x$

  Das a ist der Wachstumsfaktor. Also welcher Faktor bei jedem Schritt dazu multipliziert wird.

  Das b ist die Verschiebung auf der y-Achse und gibt damit an, an welchem Punkt die y-Achse geschnitten wird.

  Die allgemeine Formel für die lineare Funktion ist $f(x)=m\cdot x+n$

  Das m ist hierbei die Steigung, also der Faktor der pro Zeiteinheit dazu addiert wird.

  Das n ist die Verschiebung auf der y-Achse und gibt damit an, an welchem Punkt die Funktion die y-Achse schneidet.

  Lösung

  Wir untersuchen wieder alle Wertetabellen einzeln und finden so die Funktionsgleichungen.

  Erste Wertetabelle $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 1& 3 & 9& 27& 81\\ \end{array}$

  Wir untersuchen die Wertetabelle wieder und versuchen exponentielles Wachstum zu beweisen. Dazu bilden wir den Quotienten der y-Werte mit ihren Vorgängern:

  $ y_4 : y_3 = 81 : 27=3 \\ y_3 : y_2 =27 : 9=3 \\ y_2 : y_1 =9 : 3=3 \\ y_1 : y_0=3:1=3 $

  Der Quotient ist überall 3, somit liegt exponentielles Wachstum vor und wir kennen auch direkt den Wachstumsfaktor.

  Wir lesen als nächstes den Anfangswert bei $x=0$ in der Wertetabelle ab. Er ist hier 1.

  Nun können wir die Funktionsgleichung als $f(x)=1\cdot3^x=3^x$ aufstellen.

  Zweite Wertetabelle $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & -2& 0 & 2& 4& 6\\ \end{array}$

  Wir untersuchen die Wertetabelle als erstes wieder auf exponentielles Wachstum, indem wir die Quotienten bilden:

  $ y_4 : y_3 = 6 : 4=\frac {3}{2} \\ y_3 : y_2 =4 : 2=2 $

  Es kann also kein exponentielles Wachstum vorliegen, da schon zwei Quotienten nicht gleich sind.

  Die Wertetabelle können wir noch auf lineares Wachstum überprüfen. Dazu müssen die Differenzen zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern gleich sein. Wir prüfen dies, indem wir rechnen

  $ y_4 - y_3 = 6 - 4=2 \\ y_3 - y_2 =4-2=2\\ y_2- y_1 =2-0=2\\ y_1 - y_0=0-(-2)=0+2=2 $.

  Die Differenzen sind alle gleich, es liegt also lineares Wachstum vor. Diese Differenz zwischen den Werten und ihren Vorgängern ist in der Gleichung auch direkt die Steigung m.

  Wir lesen noch die Verschiebung auf der y-Achse ab, den Anfangswert. Wir setzen wieder $x=0$ und bestimmen den y-Wert. Dieser Wert ist hier -2.

  Nun können wir in die allgemeine lineare Gleichung einsetzen:

  $f(x)=m \cdot x +n=2\cdot x-2$.

  Dritte Wertetabelle $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 3& 4 & 6& 7& 8\\ \end{array}$

  Als erstes müssen wir diese Wertetabelle wieder auf exponentielles Wachstum untersuchen. Wir bilden also wieder die Quotienten

  $ y_4 : y_3 = 8 : 7=\frac{8}{7} \\ y_3 : y_2 =7 : 6= \frac{7}{6} $.

  Diese beiden Quotienten sind nicht gleich, damit kann auch kein exponentielles Wachstum vorliegen. Wir können die Wertetabelle als nächstes auf lineares Wachstum untersuchen.

  Wir bilden die Differenzen

  $ y_4 - y_3 = 8 - 7=1 \\ y_3 - y_2 =7-6=1\\ y_2- y_1 =6-4=2$.

  Wir haben also wieder einen Ausreißer gefunden. Damit liegt auch kein lineares Wachstum vor und wir können keine Funktionsgleichung bilden. Wir gehen also zur nächsten Wertetabelle über.

  Vierte Wertetabelle $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 10& 14 & 18& 22& 26\\ \end{array}$

  Wir untersuchen die Wertetabelle zunächst wieder auf exponentielles Wachstum, indem wir die Quotienten ausrechnen

  $ y_4 : y_3 = 26 : 22=\frac{13}{11} \\ y_3 : y_2 =22: 18= \frac{11}{9} $.

  Da schon die ersten beiden Quotienten ungleich sind, müssen wir nicht mehr weiter rechnen. Es liegt kein exponentielles Wachstum vor.

  Die Wertetabelle untersuchen wir als nächstes auf lineares Wachstum. Wir bilden die Differenzen

  $ y_4 - y_3 = 26 - 22=4 \\ y_3 - y_2 =22-18=4\\ y_2- y_1 =18-14=4\\ y_1 - y_0=14-10=4 $.

  Die Differenzen sind also alle gleich, somit liegt lineares Wachstum vor. Mit den Differenzen haben wir auch direkt die Steigung m gefunden.

  Wir lesen aus der Wertetabelle noch den Anfangswert bei $x=0$ ab. Er ist 10.

  Nun können wir die Gleichung zusammensetzen

  $f(x)=4\cdot x +10$.

  Beachte: Die beiden Gleichungen $f(x)=1\cdot x +3$ und $f(x)=(-2)\cdot 2^x$ können keiner dieser Wertetabellen zugeordnet werden.

• Erstelle eine Vorgangsliste zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für Wachstumsfunktionen.

  Tipps

  Was wird alles für eine Funktionsgleichung gebraucht? Orientiere dich bei deinem Vorgehen am Video.

  Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum lautet $f(x)=b \cdot a^x$.

  Die allgemeine Formel für lineares Wachstum lautet $f(x)=m \cdot x+n$.

  Was bedeuten die einzelnen Variablen in diesen Gleichungen und wo bekommst du sie her?

  Lösung

  Wenn wir eine Funktionsgleichung aufstellen wollen, müssen wir als erstes festlegen, um was für eine Art Wachstum es sich handelt.

  Wir testen als ersten immer auf exponentielles Wachstum, indem wir die Quotienten der einzelnen Werte mit ihren Vorgängern bilden.

  Falls sich so ergibt, dass kein exponentielles Wachstum vorliegt, testen wir auf lineares Wachstum.

  Wir bilden anschließend die Quotienten bzw. Differenzen zwischen den y-Werten und ihren Vorgängern. So vergewissern wir uns auch, welche Art des Wachstums vorliegt.

  Nachdem diese beiden Sachen erledigt sind, ermitteln wir den Wachstumsfaktor bzw. die Steigung der Funktion, je nachdem ob exponentielles oder lineares Wachstum vorliegt. Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Wachstum ist nichts anderes als der Quotient eines y-Wertes mit seinem Vorgänger. Die Steigung bei linearem Wachstum ist die Differenz zwischen einem y-Wert und seinem Vorgänger.

  Nun müssen wir noch den Anfangswert bzw. den y-Achsenabschnitt ablesen. Der Anfangswert ist immer der y-Wert bei $x=0$.

  Als letztes können wir nun die Funktionsgleichung zusammensetzen. Wenn wir exponentielles Wachstum haben, setzen wir die Variablen in die Gleichung $f(x)=b\cdot a^x$ ein. Wenn lineares Wachstum vorliegt, brauchen wir die Gleichung $f(x)=m\cdot x+n$.

  Nun haben wir die Gleichung gefunden.

• Ermittle die Funktionsgleichungen anhand der Wertetabellen.

  Tipps

  Vergiss nicht die Reihenfolge:

  1. Überprüfe, welche Art von Wachstum oder von Abnahme vorliegt.
  2. Bestimme die Kenngrößen.
  3. Stelle die Funktionsgleichung auf.

  Die kompletten Wertetabellen müssen auf exponentielles bzw. linearen Wachstum überprüft werden.

  Stimmt auch nur ein Quotient oder eine Differenz nicht, liegt schon kein exponentiellen bzw. lineares Wachstum vor.

  Lösung

  Wir gehen wieder methodisch vor. Wir untersuchen die Wertetabellen zunächst auf exponentielles Wachstum und sonst auf lineares Wachstum, falls das nicht vorliegt . Danach bestimmen wir die Kenngrößen und bilden mit ihnen die Funktionsgleichungen.

  Die erste Wertetabelle lautet

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 5& 15 & 45& 135& 405\\ \end{array}$

  Wir untersuchen sie als erstes auf exponentielles Wachstum. Dazu berechnen wir die einzelnen Quotienten der y-Werte mit ihren Vorgängern

  $ y_4 : y_3 = 405 : 135=3 \\ y_3 : y_2 =135 : 45=3\\ y_2 : y_1 =45 : 15=3\\ y_1 : y_0=15 : 5=3 $.

  Alle Quotienten sind gleich; demnach liegt exponentielles Wachstum vor. Der ausgerechnete Quotient ist auch gleich der Wachstumsfaktor in der Funktionsgleichung.

  Wir müssen also noch den Anfangswert herausfinden. Wir können ihn einfach in der Wertetabelle bei $x=0$ ablesen, er ist hier 5.

  Mit diesen beiden Variablen können wir nun die Gleichung aufstellen

  $f(x)=5\cdot3^x$.

  Die zweite Wertetabelle lautet

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 70& 35 & 17{,}5& 8{,}75& 4{,}375\\ \end{array}$

  Der erste Schritt ist immer der gleiche: Wir untersuchen die Wertetabelle auf exponentielles Wachstum. Dazu berechnen wir die Quotienten

  $ y_4 : y_3 = 4{,}375 : 8{,}75=\frac{1}{2} \\ y_3 : y_2 =8{,}75 : 17{,}5=\frac{1}{2} \\ y_2 : y_1 =17{,}5 : 35=\frac{1}{2} \\ y_1 : y_0=35 : 70=\frac{1}{2} $.

  Die Quotienten sind also immer gleich und wir haben damit nicht nur gezeigt, dass exponentielles Wachstum vorliegt, sondern haben auch unseren Wachstumsfaktor ausgerechnet.

  Wir suchen also noch nach dem Anfangswert, welchen wir bei $x=0$ in der Wertetabelle auslesen. Der Anfangswert ist 70.

  Zum Schluss können wir nun die Funktionsgleichung zusammensetzen

  $f(x)=70\cdot (\frac{1}{2})^x$.

  Die dritte Wertetabelle lautet

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & -3& 1 & 5& 9& 13\\ \end{array}$

  Auch diese Wertetabelle untersuchen wir als erstes auf exponentielles Wachstum. Wir berechnen die Quotienten wie folgt

  $ y_4 : y_3 = 13 : 9=\frac{13}{9} \\ y_3 : y_2=9 : 5=\frac{9}{5} $.

  Wir sehen hier direkt, dass die Quotienten nicht gleich sind; es liegt also kein exponentielles Wachstum vor. Der nächste Schritt ist nun, dass wir die Wertetabelle auf lineares Wachstum testen. Wir berechnen dazu die Differenzen der y-Werte mit ihren Vorgängern und schauen ob diese gleich sind

  $ y_4 - y_3 = 13 - 9=4 \\ y_3 - y_2 =9-5=4\\ y_2- y_1 =5-1=4\\ y_1 - y_0=1-(-3)=0+3=4 $.

  Es liegt also lineares Wachstum vor. Mit den Differenzen haben wir auch gleichzeitig die Steigung der Gleichung ausgerechnet.

  Wir müssen jetzt nur noch den Anfangswert bestimmen. Wir lesen ihn in der Tabelle bei $x=0$ ab, er ist -3.

  Alle wichtigen Variablen sind bestimmt und wir können die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=4\cdot x -3$.

  Die vierte Wertetabelle lautet

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 3& 12 & 46& 192& 768\\ \end{array}$

  Der Anfang ist wie immer. Wir untersuchen die Tabelle auf ihr exponentielles Wachstum. Also werden wieder die Quotienten berechnet

  $y_4 : y_3 = 768 : 192=4 \\ y_3 : y_2=192 : 46=\frac{96}{23}=4\cdot(\frac{4}{23}) $.

  Wir sehen also, dass diese Quotienten nicht gleich sind. Es kann sich also nicht um exponentielles Wachstum handeln. Der nächste Schritt ist nun, dass wir die Tabelle auf lineares Wachstum untersuchen.

  $ y_4 - y_3 = 768 - 192=576 \\ y_3 - y_2 =192-46=146$.

  Schon die ersten beiden Differenzen sind unterschiedlich. Es also auch kein lineares Wachstum vor und wir können also auf keine Funktionsgleichung schließen.

  Die fünfte Wertetabelle lautet

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0& 1& 2& 3&4 \\ \hline y & 101{,}25& 67{,}5 & 45& 30& 20\\ \end{array}$

  Diese Wertetabelle untersuchen wir wieder auf exponentielles Wachstum. Wir bilden also die Quotienten

  $ y_4 : y_3 = 20 : 30 = \frac{2}{3} \\ y_3 : y_2 =30 : 45=\frac{2}{3}\\ y_2 : y_1 =45 : 67{,}5=\frac{2}{3}\\ y_1 : y_0=67{,}5 : 101{,}25=\frac{2}{3} $.

  Es liegt also exponentielles Wachstum vor und der Wachstumsfaktor ist $\frac{2}{3}$.

  Wir suchen nun wieder den Anfangswert. Wie immer können wir ihn bei $x=0$ in der Wertetabelle ablesen; er ist 101,25.

  Die fertige Funktionsgleichung ist also

  $f(x)=101,25 \cdot (\frac{2}{3})^x$.