Von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen – absolute Häufigkeiten

Hallo, wir wollen von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe schließen. Dazu brauchen wir eine Grundgesamtheit, wie dieses Bällebad hier zum Beispiel. Wir haben 10000 Bälle und wir wissen, dass ein Viertel aller Bälle rot ist. Dann wollen wir eine Stichprobe ziehen, 100-mal mit zurücklegen und wir wollen uns überlegen, was wir für diese Stichprobe schätzen können, da wir ja wissen wollen, was in der Grundgesamtheit los ist. Wenn wir von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen, haben wir mehrere Möglichkeiten, zum Beispiel können wir den Erwartungswert der Stichprobe schätzen. Und weil der Erwartungswert eine Zahl ist und eine Zahl einem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht, ist das eine Punktschätzung. Wir können auch angeben mit welchen Wahrscheinlichkeiten welche Erfolgsanzahlen auftreten werden und weil das mehrere Zahlen sind, die sich auf einem Intervall der Zahlengerade befinden, heißt das dann Intervallschätzung, gut. Wir haben eine Grundgesamtheit mit einem Anteil roter Bälle, von einem Viertel. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit P von r, also die Wahrscheinlichkeit einen roten Ball zu ziehen gleich ein Viertel. Wir ziehen 100-mal mit zurücklegen und deshalb ist jedes Stichprobenergebnis e ein hunderter Tupel in dem sich rote und oder nicht rote Bälle befinden. Wir können nun eine Zufallsgröße X definieren, die jedem Stichprobenergebnis die Anzahl der roten Bälle zuordnet. Diese Zufallsgröße ist binomialverteilt und deshalb ist der Erwartungswert Mü gleich n-mal p, in unserem Fall also 100-mal ein Viertel gleich 25. Die Angabe dieses Erwartungswertes ist eine Punktschätzung. Wir können uns mal eine Grafik der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X ansehen. Wir sehen hier Erfolgsanzahlen und nach oben hin abgetragen die Wahrscheinlichkeiten dieser einzelnen Erfolgsanzahlen. Der Erwartungswert Mü liegt bei 25 und um diesen Erwartungswert herum sind die Wahrscheinlichkeiten der Erfolgsanzahlen hoch und am Rand wie hier oder dort sind die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Erfolgsanzahlen gering. Es gibt um den Erwartungswert herum ein Intervall in dem sich circa 95 Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befindet. Wir können dieses Intervall näherungsweise mit einer Sigma Regel berechnen. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit von Mü minus 1,96-mal Sigma kleiner gleich X kleiner gleich Mü plus 1,96 Sigma ungefähr gleich 95 Prozent ist. Und das heißt in unserem Fall 25 minus 1,96-mal Wurzel aus 100-mal ein Viertel mal drei Viertel und das ist ungefähr gleich 16,51. Und das bedeutet in unserem Fall 25 plus 1,96 mal 100-mal ein Viertel mal drei Viertel und das ist ungefähr 33,49. Und deshalb können wir hinschreiben, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe vom Umfang 100 zwischen 17 und 33 rote Bälle sind ungefähr gleich 95 Prozent ist. Und weil wir hier jetzt ein Intervall angegeben haben, ist das eine Intervallschätzung. So dann haben wir das schon mal erledigt. Wenn wir eine Punktschätzung machen, müssen wir nicht unbedingt den Erwartungswert schätzen. Wenn wir eine Intervallschätzung machen, müssen wir auch nicht unbedingt Erfolgsanzahlen schätzen. Es gibt viele weitere Eigenschaften oder auch Parameter, die man schätzen kann. Erwartungswert und Erfolgsanzahlen kommen in unserem Zusammenhang aber besonders häufig vor und deshalb haben wir die auch gerade gesehen. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.